1、- 1 -基础物理学习题解答配套教材：基础物理学 （韩可芳主编，韩德培 熊水兵 马世豪编委） ，湖北教育出版社（1999）第一章 质点力学思考题1-1 试比较以下各对物理量的区别：（1） 和 ； （2） 和 （3） 和rdtrt2dtr2t答：（1） 表示矢量 的模，位移的大小，而 表示位矢大小之差 的绝对值；（2） 表示rdtr速度的大小，而 表示位矢的长短随时间的变化率；（3） 表示加速度的大小， 位矢的长短dtr 2dtr2t对时间的二阶导数。1-2 质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线运动？答：质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不 变
2、。 质点位置矢量方向不 变，质点沿直线运动。1-3 设质点的运动学方程为 ， ，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出)(tx)(ty，然后根据 和 求得结果。又有人先计算速度和加速度的分量，再合成而求2yxrdtrv2tra得结果，即 和 。你认为哪一种方法正确？为什么？22tytxv 22dtytx答：后一种方法正确。位矢、速度、加速度均为矢量，在本题中先求出分量，再由分量合成得出矢量的大小是正确的，而前一种方法先出位矢 大小 ，再求出的 只是位矢大小的时间变化率，而不是速度的大小， 也不是加速度的大小。1-4 图示某质点在椭圆轨道上运动，任何时刻质点加速度的方向均指QPO思考题 1-4
3、图- 2 -vtagOXtaYngv向椭圆的一个焦点 O，试分析质点通过 P、Q 两点时，其运动分别是加速的，还是减速的？答：在 P 点，总加速度的切向分量与速度方向相反，该行星速率减小；在 Q 点，总加速度的切向分量与速度方向相同，行星速率正在增大。1-5 （1）匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒不变？（2）能不能说“曲线运动的法向加速度就是匀速圆周运动的加速度”？（3）在什么情况下会有法向加速度？在什么情况下会有切向加速度？（4）以一定初速度 、抛射角 抛出的物体，在轨道上哪一点的切向加速度最大？在哪一点的法向加0v0速度最大？在任一点处（设这时物体飞行的仰角为 ） ，物体的法向加速度为何
4、？切向加速度为何？答：1）在匀速圆周运动中质点的速率是保持不变的而速度的方向则每时每刻在变化所以不能说；速度恒定不变在匀速圆周运动中，质点的加速度量值 Rvan2始终保持不变，同时它的方向恒指向圆心而转变，所以加速度矢量也是恒定不变的。（2）匀速圆周运动是曲线运动的一个特例当质点作一般的曲线运动时，在某一时刻，位于曲线的一个确定位置处它的法向加速度02npva，其方向即 0n，指向该处曲线曲率中心从瞬时的观点看，它确实可以与匀速圆周运动的向心加速度类比但是这仅仅是类比而已，两者还是有本质区别的曲线运动中曲率中心位空时刻变化的，而匀速率圆周运动的圆心位置不变；此外，匀速圆周运动的速度大小保持不变
5、，故没有切向加速度而曲线运动中，一般说来，除了法向加速度外，还有切向加速度 0tdvat，亦即在曲线的各点切线处，质点运动的速度大小可以随时何而变的，因此法向加速度的数值也随时间而变，而匀速率圆周运动中加速度大小是不变的（3）法向加速度02npva， 0是指向曲率中心的单位矢量，P 为曲率半径，当质点运动的速度之方向改变时，就会有法向加速度切向加速度0tdvat， 是质点所在处的曲线之切线沿运动方向一侧的单位矢量，当质点运动的速度之数值改变时就会有切向加速度。（4）在抛射体运动中，当不计任何阻力时，其加速度是恒定的，即重力加速度 g，如图所示设在抛物线上某一点处其仰角为 ，则该物体的法向加速度
6、为0cosngan切向加速度为0sintgat。当时， 1，即位于抛物线的最高点处有最大的法向加速度 jmax。而切向加速度sit的最大值出现在 取得最大值处， 。即在抛出点 0ng。及在落地点 0singat(落地点在同一水平面处） ，若落地点为深渊则 t。 1-6 一质点做斜抛运动，试分别说明下列积分式的意义。（1） ， ， ，式中 t1 为落地时间。10txdv10ty10tvd- 3 -（2） ， ，式中 A 和 B 分别代表抛点和落地点位置。BArd答：（1） 水平方向的射程， 竖直方向的所经过的路程， 质点所经过的路程。10txv10tydv10tvd（2） 抛点和落地点之间的位移
7、， 抛点和落地点之间的路程。BArBAr1-7 试举例说明以下两种说法是不正确的：（1）摩擦力总是阻碍物体运动的；（2）物体受到的摩擦力的方向总是与物体运动方向相反。答：(1)传送带上的物体，摩擦力带动物体运动 。摩擦力只是阻碍物体的相对运动,，不一定阻碍物体的运动；（2）否。传送带上的物体，摩擦力带动物体运动1-8 有人认为牛顿第一定律是牛顿第二定律的特例，即合力为零的情形，那么为何还要单独的牛顿第一定律？答：不能认为牛顿第一定律是牛顿第二定律的特例.牛顿第一定律有它自身的物理意义和地位，牛顿第一定律阐明了物体不受外力作用时的运动规律，同时还引入物体惯性的概念，即物体具有保持原来运动状态的性
8、质.牛顿第一定律虽然引入了力的概念，但没有说明力怎样改变物体的运动状态.而牛顿第二定律却说明了物体受力时，力和物体加速度之间的关系.所以说，牛顿第一定律是用来阐明物体不受外力作用时的运动规律，而牛顿第二定律是用来阐明物体受到外力作用时的运动规律，二者不能替代.1-9 如图所示，一根绳子悬挂着小球在水平面内做匀速圆周运动。在求绳子对小球的拉力 时，有人把T投影在竖直方位，写出T，0cosmg也有人把重力 投影在绳子所在方位，写出。显然两者不能同时成立，哪种做法是正确的？说明其理由。答：第一种方法正确。小球在重力和拉力的共同作用下，受到的合力 指向圆心 O。所以，沿水平和竖直方向分解，竖直方向的加
9、速度为零，故第一式成立。但是，如果把重力投影在绳子所在方位，该方向上的 加速度并非为零，所以第二式不成立。习题解答1-1 一人站在 OXY 平面上的某点 (x1、y1)处，以初速度 v0 竖直向上抛出一球。（1）试以时间 t 为变量写出球的位矢 r（2）求出球的速度矢量 v 和加速度矢量 a解：（1） kgtjyixr)21(01（2） ，kgtv)(0a gmTO思考题 1-9 图- 4 -1-2 一质点做直线运动，它的运动学方程是 x=bt-ct2，方程中 a、b、c 是常数。 （1）此质点的速度和加速度与时间的函数关系是怎样的？（2）作出 x-t 图象、v-t 图象和 a-t 图象。解：
10、（1） ，ctbdtxv2cdtva（2）若 b0，c0，则图象如下所示：( 注意：要注明是 b0，c0 这种情况，另外，时间一定是大于零)cb2c42txtvtacb2b-2cx-t v-t a-t1-3 一质点从 P 点出发以匀速率 1cms-1 做顺时针转向的圆周运动，圆的半径为 1m。取 P 点为原点，坐标系如图所示，求：（1）当它走过 2/3 圆周时，位移是多少？走过的路程是多少？这段时间内，平均速度是多少？在该点的瞬时速度如何？（2）当它走过 1/2 圆周时，以上各值又如何？（3）写下该质点的运动学方程 x =x (t) 和 y =y (t) 的函数式。1-4 一质点运动学方程为
11、x=t2, y=(t-1)2 ，x 和 y 均以 m 为单位，t 以 s 为单位，试求：（1）质点的轨道方程；（2）在 t=2s 时，质点的速度 v 和加速度 a.解：（1） 2211xytyx（2）由运动学方程： jtijir2jtidtrv时， ， （注意矢量的写法，写成分量形式就不用加单位sm/s242m/sjidtva矢量了）1-5 如图湖中有一小船，岸上人用绳跨定滑轮拉船靠岸。当人以匀速 v 拉绳，船运动的速度 v为多少？设滑轮距水面高度为 h，滑轮到船原位置的绳长为 l0 。O XYPC题 1-3 图- 5 -解一：如图所示，当船发生元位移 dx 时，绳长的变化为 dl=dx co
12、scoscosvdtxl0sinlhvtli20)(1tlhiv解二： 22lhx等式两边微分得： dtlxlxvt20hlxvl20)(1tli解法 3：用矢量表示 jhixr则船的运动速度可以表示为dlx- 6 -222)(1)(1)(rhividtrhtidxrv vtlrtv020)(1vtlhi1-6 一质点具有恒定加速度 a=(6i+4j) ms-2。在 t=0 时，其速度为零，位置矢量 r0=10im。求（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在 XOY 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。解：由加速度定义式，根据初始条件 t0 = 0 时 v0 = 0，积分可得 tttt
13、v d)sm4(s6(d0 2200 ji)ajiv tt)()sm( 22又由 tdrv及初始条件 t = 0 时， r0 = (10 m)i，积分可得 ttttr d)sm4()s6(d0 2200 jiv jir )()m3(1 22tt由上述结果可得质点运动方程的分量式，即 2s310txm2ty消去参数 t，可得运动的轨迹方程： 203x这是一个直线方程，直线斜率 3antdxyk， 14。 - 7 -轨迹如图所示。1-7 在高处将一小石子以 15ms-1 的速度沿水平方向抛出。不计空气阻力，以抛出点为坐标原点，取 OX轴的正方向与初速度的方向一致，OY 的正向竖直向下，从抛出时刻开
14、始计时，并取 g=10ms-2，试求：（1）2s 末小石子的位置坐标；（2）小石子的运动轨道方程；（3）2s 末小石子所在处的轨道曲率半径。解：（1）t=2s 时，x=v 0t=30m， ，位置坐标为 (30, 20).m201gty（2）x=v 0t=15t， ，25t2451xy（3）石子轨迹如图所示。在 P 点建立自然坐标系。把 g 沿 ， 方向分解，设 g 与 之间的夹角为，n则： ，cosga2sinvga当 t=2s 时， m/s51522tvyx351sinvx（可以用曲率半径的定义直接计算 ）2.046i22g y2/3)1(1-8 有两个抛体以相同的速率 v0 抛出，但它们的
15、速度与水平面的夹角分别为 和 ，其中4。 （1）试证这两个抛体有相同的射程；（2）计算证明它们飞行的时间差为 ；40 sin20gvt（3）讨论 时的情形。1-9 设从某一点 M，以同样的速率，沿着同一铅直面内各个不同方向，同时抛出几个物体。试证，在任意时刻，这几个物体总是散落在某一圆周上。- 8 -1-10 低速迫击炮弹以发射角 45发射，其初速率 v0=90ms-1。在与发射点同一水平面上落地。不计空气阻力，求炮弹在最高点和落地点其运动轨道的曲率半径。解：将炮弹视为质点,不计空气阻力. 在直交坐标系 O-xy 中,炮弹运动的速度与加速度为(1)在最高点 (2)在落地点 1-11 一质点沿半
16、径为 R 的圆周按规律 而运动， v0、b 都是常数。求：201btvs（1）t 时刻质点的总加速度；（2）t 为何值时总加速度在数值上等于 b？（3）当加速度到达 b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？解：（1） tvdts0 dtvanRbtvna202加速度大小 ，方向4022Rbtan t20t（2）令 ，即 ，有 ，b2402tvtv0bv0（3）当 时， ，代入方程，得：at，运行圈数bvbvs2100 bRvsn42201-12 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用下式表示：=2+4t 3，式中 t 以秒计。问：（1）在 t=2 秒时，它的法向加速度和切
17、向加速度各是多少？在 t=4 秒时又如何？（2）当切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，的值是多少？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰好有相等的值？jgtviv)sin(co00jgatyaaR20n2)s( m3.418.9)2(tev0v)45co(ngs20n2a698.92- 9 -解：,2.1.0d:)1( tttrv,4.1.0)(,2ttrvan)/(8422smt,/6.9.;3124atn,)4.1().2(14.,:)( ).(224tttasnn1-13 一质点从静止出发沿半径为 R=3m 的圆周运动，切向加速度为 =3ms-2。a（1）经过多少时间它的总加速
18、度 a 愉好与半径成 45角？（2）在上述时间内，质点经过的路程和角位移各为多少？解：已知 ，即 3dtvat dtv由初始条件: t =0 时， ，得质点的瞬时速率0tv0质点的法向加速度的大小为 223)(tRvan这样总加速度为： tt其中 为沿半径指向圆心的单位矢量， 为切向单位矢量。n（1）设总加速度与半径夹角为 ，则有： ， nacostasi当 =45 时，有 ，即要求nt3t2 =3，t =1s（另一负根舍去）所以 t =1s 时，总加速度 与半径成 45 角。（2）由 和初始条件：t =0 时，s 0=0 ，得：vds203tt将 t =1s 代入，求出这段时间内的路程： m
19、5.12311ts由角位移与路程的关系 Rs- 10 -当 t =1s 时, rad5.0311Rs1-14 一质点做半径 R=0.5m 的圆周运动，其运动学方程为t 3+3t，式中以弧度计，t 以秒计。试求t=2s 时，质点运动的角位置、角速度和角加速度。1-15 一敞顶电梯以 2 ms-1 的速率上升。当电梯底板离地面 10m 时，从电梯底板上竖直上抛一小球，小球相对电梯的初速率为 5 ms-1。以地面为参考系，求：（1）小球能达到的最大高度；（2）小球抛出后多长时间再回到电上。1-16 一人骑自行车向东而行。在速率为 10 ms-1 时，觉得有南风；速率增至 15 ms-1 时，觉得有东
20、南风。求风的速度。解：以地面为 S 系，运动的自行车为 S系。建立坐标系。在 S 系中，风的速度始终为 v在 S系中：在速率为 10ms-1 时，觉得有南风（速度矢量为北） ；即： jaSiu11,0系 中 速 度 为风 在在在速率为 15ms-1 时，觉得有东南风（速度矢量为西北） ；。系 中 速 度 为时 ， 风 在 jivi 225由相对运动的速度变换公式，得：21vu 5150ajijaijiv510Y(北)X(东)S系速度矢量指向东偏北（是西偏南风） 2.2)/arctn(角 度 ：1-17 在一只半径为 R 的半球形碗内，有一粒质量为 m 的小钢球。当钢球以角速度在水平面内沿碗的内壁做匀速圆周运动时，它距碗底有多高？解：由题意作示意图如图 2-6 所示。钢球 m 距离碗底高 h，沿碗内壁在水平面内以角速度 转动时，其向心加速度由图 2-5 可知为 ，钢球受两个力作用：重力 与碗内壁的支持力 ，arRn2sinmgNY (北)X(东)S
