1、高一数学必修 1 同步练习第三章第二节函数模型及其应用一. 教学内容：函数模型及其应用二. 重点、难点：利用函数解决实际问题1. 将实际问题抽象为具体函数（1）确定 x，通常为自由变化的量（2）确定 y，通常为所求的值（3）建立函数关系 )(xf，通常利用一些实际定义例如：利润=销售额成本 销售额=单价数量面积公式：距离=速度时间等（4）确定函数的定义域2. 利用函数相关内容，解决数学问题【典型例题】例 1 某产品进货单价 40 元，按 50 元一个出售可卖出 500 个，若每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个。（1）定价 元时，日销售额最大为 。（2）定价 元时，日利润最大为 。解：设定
2、价 x元，日销售为 y元 10)5(0y x102 5时， 2max元（2）设定价 元，日利润 元 )()4(x 402 70时， 90axy元例 2 A 地产汽油， B 地需汽油，只能用汽车运输。汽车满载的油量等于汽车往返 A、B 两地所需油耗，故无法直接由 A 运到 B，在 A、B 之间建立一个中转汽油库 P，从 A 将油运至 P，再由 P 运至 B，为使运油率最大。 （运油率 地 运 出 的 油地 收 到 的 油）P 的位置应满足 AP= AB。解：设 AB=1， )1,0(x，设 A 地有油 M 吨由 AP，P 地为 M 由 PB，B 地为 x)1( 运油率 4)2(2xy 21x时，
3、 41max例 3 某厂今年 1、2、3 月生产某种产品分别为 1 万件、 1.2 万件、1.3 万件。为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y与月份 x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 cbayx。已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好。解：（1）设 rqpf2)()0(p由3.)(2ff7.05.r7.035.)(2xxf设 cbaxgyx3.1)(24.58.4.1)2(8.0)(xxg4f万， 31)(g万 |.7|.7| y作为模拟函数误差较小例 4 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知
4、从二月一日起的 300 天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图 I 所示的一条折线表示，西红柿的种值成本与上市时间用 II 所示抛物线表示。（1）写出图 I、图 II 的函数关系式。 )(tfP， )(tgQ（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的收益最大。解： )302()(1tbtatf 30， )f， 0(f 30301221ba3021ba )302(30)(ttf)5()tg15)(ga 10)5(201)(2ttg设纯收益 (tgfh)302(105720)( ttt)302(1)35(2012tt ,t时 0， )maxh(时 t， 5.87(t t时， )(最大
5、 从二月一日起的第 50 天时上市的西红柿收益最大 例 5 某报刊摊点从报社批发进某种晚报的价格是每份 0.12 元，卖出价格为每份 0.2 元，卖不完的报纸可以每份 0.04 元的价格退回报社，在每月中（30 天计）有 20 天每天可以卖出 400 份，有 10 天只能卖出250 份。设每天从报社买进相同数额的报纸问应每天买进多少份，才能使每月获利润最大。解：设每天买进 x份， 4025x， N，利润为 y125).(0)1.20( y 10)4.2.0)(5(x48 x时 7maxy元例 6 若关于 的方程， 0)368lg()20lg( ax有唯一实数解，求实数 a取值范围。解：由题意
6、2xx即 )2(121, 0时1a（2）的解为 6不合题意 时， 0)(f23a 21,63a时方程有唯一解例 7 政府收购某种农产品的原价格为 200 元/ 担，其中征税率标准为每 100 元征 10 元（称税率为 10%） ，并计划收购 万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低 x个百分点，预计收购量可增加 x2个百分点。（1）写出税收 y与 x的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划税收的 83.2%，试确定 x的取值范围。解：（1）调节后税率为 )%10(x，预计可收购为 %)21(a万担 )2(0ay504(25xa10（2）原计划税收为 万元依题意：.83045x1
7、602x042x 2x ),( ,(例 8 公园要建造一个圆形的喷水池在水池，中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA，O 恰在水面中心，mOA25.1，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流到 OA 距离 1 米处达到距水面最大高度 2.25m。如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外。解：抛物线 25.)1(xay )25.1,0(A 1a .2 y时 x 水池半径至少 m才能使水不落在池外【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）1. ABC
8、D 是一个单位正方形，在正方形内 1O与 2相外切，且 1O与 AB、AD 两边相切，2O与 BC、CD 两边相切，两圆半径各为多少时，两圆面积之和最大或最小。2. 有一批影碟机原售价为每台 800 元，在甲、乙两家家电商场均有销售。甲商场用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台单价均为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均减少 20 元，但每台最低不能低于 440 元。乙商场一律按原价的 75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少。3. 某商品在 100 天内的价格 )(tf与时间 t的函数关系是),104(52,)( Nttttf销售量 )tg
9、与时间关系是 312(g),0(Ntt，求日销售额 )(tF的最大值。4. 某商场将空调先按原价提高 40%，然后打出广告“大酬宾八折优惠” ，结果每台空调比原来多赚了270 元，则原来每台空调多少元。5. 二次函数 cbxf2)(， 1,时 )(xf， 3,1时 0)(xf（1）求证 3c；（2）若 x在区间 1,上最大值为 8，求 cb,；（3）是否存在实数 m，使得 mfg2)(在区间 ),0(上。【试题答案】1. 解：设 1O半径为 1r，面积为 1S， 2O半径为 2r，面积为 2S 2121r 1r221)(rS)()46( 2114612r)3()(21,231r 1r时， 23minS231r或1时，)269(1maxS2.解：设某单位需购买 台影碟机，差价为 y)18(604)(8(xy )18(60)2x的解为 9 买 19 台应去乙商场，买 10 台甲、乙均可。买 10 台以上应去甲商场。3.解： )104(38)10(625)() tttgftF40,t时 12t，25)max(时 时， 687(tF t时， 30)(maxt4.解：设原价为 27%8)401(x2701.x 5x5.解：（1） (f cbcbf39)( 63 3c（2） )(1)12 xxx 1,为 8(ma fy ， 4b（3） g2) mc2对称轴),)1()c 2,0为 不存在
