1、高二培优生数学试题（2）一、选择题（1）已知集合 ，则,|4,|AxRBxZAB（A） （0，2） （B）0，2 （C）|0，2| （D）|0，1，2|（2）a，b 为平面向量，已知 a=（4，3） ，2a+b=（3，18） ，则 a，b 夹角的余弦值等于（A） （B） （C） （D ）86586516565（3）已知复数 ，则 =23(1)izi(A) （B ） （C）1 （D ）241（4）曲线 在点（1,0）处的切线方程为2yx（A） （B）1yx（C ） （D）2yx 2（5）中心在远点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2） ，则它的离心率为（A） （B） （C） （D ）
2、656252（6）如图质点 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 （ ，p 0p2） ，角速度为 1，那么点 到 轴距离 关于时间 的函数图像大致为2pxdtC(7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A）3 a2 （B）6 a2 （C）12 a2 （D） 24 a2（8）如果执行右面的框图，输入 N=5，则输出的数等于（A） （B） （C ） （D）545(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x 0） ，则 =20xf（A） （B）24x或 4 或（C） （D）06或 x或（10）若 = - ，a 是第一象限的角，则 =
3、sin45sin()4a（A）- （B） （C） （D）721072102-10210（11）已知 ABCD 的三个顶点为 A（-1，2） ，B（3，4） ，C（4，-2） ，点A（x，y）在 ABCD 的内部，则 z=2x-5y 的取值范围是 （A） （-14 ，16） （B） （-14，20） （C） （-12，18） （D） （-12，20）（12）已知函数 f(x)= 若 a，b，c 均不相等，且 f(a)= f(b)= f(c)，lg1,06,2x则 abc 的取值范围是（A） （1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D ）(20，24)第卷本卷包括必考题和选考题两部
4、分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）圆心在原点上与直线 相切的圆的方程为-。20xy（14）设函数 为区间 上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有()yf,1，可以用随机模拟方法计算由曲线 及直线 ， ，01fx ()yfx01x所围成部分的面积，先产生两组 每组 个，区间 上的均匀随机数yiN,1和 ，由此得到 V 个点 。再数出其中满足1,2.nx1,2.ny,2.xy的点数 ，那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为()yfiN1_(15)一个几何体的正视图为一
5、个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱(16)在 中，D 为 BC 边上一点， , , .若ABC3BCD2A135B,则 BD=_2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）设等差数列 满足 ， 。na35109a（）求 的通项公式； （）求 的前 项和 及使得 最大的序号 的值。nnSnn（18） （本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形， , ,垂足为PABCDABCDB， 是四棱锥的高。H（）证明：平面 平面 ;PACBD（）若 , 60,求四棱
6、锥 的体积。6BPABCD请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（19） （本小题满分 12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如下：（）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（）能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（）根据（）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附：（20） （本小题满分 12 分）设 , 分
7、别是椭圆 E： + =1（0b1）的左、右焦点，过 的直线1F2 2xyb 1F与 E 相交于 A、B 两点，且 ， ， 成等差数列。l 2AFB2（）求 AB（）若直线 的斜率为 1，求 b 的值。l（21）本小题满分 12 分）设函数 2xxfea（）若 a= ，求 的单调区间；12xf（）若当 0 时 0，求 a 的取值范围（22） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图：已知圆上的弧 ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 ABDE 点，证明：（） = 。C（） =BE x CD。2B（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知直线 ： t 为参数。图 ： 为参数1 2C（）当 a= 时，求 与 的交点坐标：312（）过坐标原点 O 做 的垂线，垂足为 A、P 为 OA 的中点，当 a 变化时， 求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 （24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲X=1+tcosay=tsinaX= cosy= in设函数 = + 1。()x24（）画出函数 y= 的图像：()x（）若不等式 ax 的解集非空，求 n 的取值范围
