1、 1第十五单元 空间中有关角、距离的计算一.选择题.(1)已知 则 与 的夹角等于 ( ),12(),10(baabA90 B30 C60 D150(2) 正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 、 F 分别是棱 AB, BB1 的中点,A 1E 与 C1F 所成的角是 ，则 ( )A=60 0 B=45 0 C D52cos52sin(3)设 A， B，C，D 是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则BCD 是 ( )A0D0ABA钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不确定(4) 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1=AB=2，AD=1，点 E、F、G 分别是 DD
2、1、AB、CC 1 的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是 ( )A B5arcos4C D02(5) 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 ( )A 90 B 60 C 45 D 30(6) 如图,在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ( )A 直线 B 圆C 双曲线D 抛物线(7) 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= BB1, 则 A B1 与
3、 C1B 所成角的大小为 ( )2A 60 B 90 C 105 D 75(8) 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB=2，A A 1=1，则点 A 到平面 A1BC 的距离为 ( )A B C D433433(9) 将 =600,边长为 1 的菱形 ABCD 沿对角线 AC 折成二面角 ,若 60,120, 则折后两条对角线之间的距离的最值为 ( )A最小值为 , 最大值为 B最小值为 , 最大值为323C最小值为 , 最大值为 D最小值为 , 最大值为442(10) 如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，O 是底面 A1B1C1D1 的中心，则 O 到平面 AB
4、 C1D1 的距离为 ( )A B 21422C D223二.填空题(11) 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A 1B1C1=90, 且 AB=BC=BB1, E, F 分别是 AB, CC1 的中点, 那么 A1C与 EF 所成的角的余弦值为 .(12) 如图，在三棱锥 PABC 中，PA=PB=PC=BC，且 ，则 PA 与底面 ABC 所成角为 2BAC.(13) 如图，正方体的棱长为 1，C、D 分别是两条棱的中点， A、B、M 是顶点，那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 . (14) 已知平面 和平面 交于直线 ，P 是空间一点， PA ，垂足为 A，PB ，垂足 B，且l
5、PA=1，PB=2，若点 A 在 内的射影与点 B 在 内的射影重合，则点 P 到 的距离为l.三.解答题(15) 如图，正三角形 ABC 的边长为 3，过其中心 G 作 BC 边的平行线，分别交 AB、AC 于 、 将1C沿 折起到 的位置，使点 在平面 上的射影恰是线段 BC 的中点1CAB1CBA1ACB1M求：二面角 的大小M1(16) 在三棱锥 S-ABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC，SA=SC=2 3，M、N 分别为AB、SB 的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角 N-CM-B 的大小；（）求点 B 到平面 CMN 的距离.3(17) 已知直
6、四棱柱 中， ，底面 ABCD 是直角梯形，A 是直角，1DCBA21AB|CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线 与 DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）(18) 如图 3 所示，在四面体 PABC 中，已知 PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB= .F 是线段342PB 上一点， ，点 E 在线段 AB 上，且 EF PB.4175CF（）证明：PB平面 CEF；（）求二面角 BCEF 的大小.4B参考答案一选择题: 1.D 解析：以 D 为原点建立坐标系236|cosba 0152.C 解析： ),01(),210(1FCEA52|cos1EA3.C 解析：
7、0)( 2ABDBCDAB是锐角0|cos故同理, D, C 都是锐角.故BCD 是锐角三角形.4.D 解析：以 D 为原点建立坐标系)1,(),10(1 GFEA异面直线 A1E 与 GF 所成的角是 25.C 解析： DEAC如图,当平面 BAC 平面 DAC 时, 三棱锥体积最大取 AC 的中点 E,则 BE 平面 DAC,故直线 BD 和平面 ABC 所成的角为 DBEcos DBE= , DBE=4502BD6.D 解析：P 到直线直线 C1D1 的距离就是 P 到 C1 的距离,点 P 到直线 BC 与点 C1 的距离相等故动点 P 的轨迹所在的曲线是以 C1 为焦点、以直线 BC
8、 为准线的抛物线7.B 解析：以 A 为原点建立坐标系，AC，AA 1 为 y,z 轴，垂直于平面 AA1C1C 直线为 x 轴，则)2,3(),2,3(1 AB5BF故 =01ABC8.B 解析：点 A 到平面 A1BC 的距离为 h BABV1 SSCC331 h2 h9.B 解析：DEAC由题设 ED= ,E、F 分别是中点B则折后两条对角线之间的距离为 EF 的长在 中， ED= ，BE=DE=23当 =120时，EF 的最小值为 ,当 =60时，EF 的最大值为44310.B 解析：过 O 作 EF/C1D1 分别交 A1C1、B 1D1 于 E、F，EF/平面 ABC1D1，O 到
9、平面 AB C1D1 的距离等于 E 到平面 AB C1D1 的距离，而 E 到平面 AB C1D1 的距离为 42二填空题: 11. 32解析：分别以 BA、BC 、BB 1 为 ox、 oy、 oz 轴，则)21,(),(1EFCA3|,cos1EF12. 3解析：PA=PB=PC，P 在底面的射影 E 是 ABC 的外心，又2BAC故 E 是 BC 的中点，所以 PA 与底面 ABC 所成角为 PAE，而 PAE= 。313. 32解析：分别取 AB、CD 的中点 E、F，连 EF，过 M 作 MN EF 于 N，再作6EG MF 于 G则 MN 的长为点 M 到截面 ABCD 的距离。
10、先在 EFG 中计算 32sin,2tanCAMCA再在 MFN 中计算 MN=MF =si314. 5解析：点 A 在 内的射影与点 B 在 内的射影重合， 设射影为点 C，点 P 到 的距离为 PC 的长，l而 PC 为矩形 PACB 的对角线PC= 5三解答题(15) 解（）连接 AM，A 1GG 是正三角形 ABC 的中心，且 M 为 BC 的中点，A，G，M 三点共线，AMBC B 1C1BC，B 1C1AM 于 G，即 GMB 1C1，GA 1B 1C1，A 1GM 是二面角 A1B1C1M 的平面角点 A1 在平面 BB1C1C 上的射影为 M，A 1MMG ，A 1MG=90在
11、 Rt A1GM 中，由 A1G=AG=2GM 得A 1GM=90即二面角 A1B1C1M 的大小是 60.(16) 解法一：（）取 AC 中点 D，连结 SD、DB.SA=SC，AB=BC，ACSD 且 ACBD，AC平面 SDB，又 SB平面 SDB，ACSB.（）AC平面 SDB，AC 平面 ABC，平面 SDB平面 ABC.过 N 作 NEBD 于 E，NE平面 ABC，过 E 作EFCM 于 F，连结 NF，则 NFCM.NFE 为二面角N-CM-B 的平面角.平面 SAC平面 ABC，SDAC，SD平面 ABC.又NE平面 ABC，NESD.SN=NB，NE= 21SD= 2ADS
12、= 14= 2，且 ED=EB.在正ABC 中，由平几知识可求得 EF= MB= ，在 RtNEF 中，tanNFE= EFN=2 2，二面角 N-CM-B 的大小是 arctan2 .（）在 RtNEF 中，NF= 2ENF= 3，S CMN = 21CMNF= 3，S CMB = 1BMCM=2 3.7设点 B 到平面 CMN 的距离为 h，V B-CMN=VN-CMB，NE平面 CMB， 31SCMN h= SCMB NE，h= CMNSEA= 324.即点 B 到平面 CMN 的距离为 24.解法二：（）取 AC 中点 O，连结 OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO 且 ACB
13、O.平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABC=ACSO面 ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz.则 A（2，0，0） ，B（0，2 3，0） ，C（-2，0，0） ，S（0，0，22） ，M(1， 3，0)，N(0， 3， ). C=（-4，0，0） ， S=（0，2 3，2 ） ， ACSB=（-4，0，0）（0，2 ，2 ）=0，ACSB.（）由（）得 CM=（3， ，0） ， N=（-1，0， ）.设 n=（x，y，z）为平面 CMN 的一个法向量，则n=3x+ y=0，取 z=1，则 x= 2，y=- 6，n=( 2，- 6，1)，Nn=-x+ 2z=0，
14、 又 OS=(0，0，2 )为平面 ABC 的一个法向量， cos(n， OS)= |n= 31.二面角 N-CM-B 的大小为 arccos 31.（）由（） （）得 MB=（-1， ，0） ，n=（ 2，- 6，1）为平面 CMN 的一个法向量，点 B 到平面 CMN 的距离 d= |n= 4.(17) 解法一 由题意 AB/CD， 是异面直线 BC1 与 DC 所成的角.AC1连结 AC1 与 AC，在 RtADC 中，可得 ，5又在 RtACC 1 中，可得 AC1=3.在梯形 ABCD 中，过 C 作 CH/AD 交 AB 于 H，得 13,2,90BHB又在 中，可得 ，1Rt71
15、在 .173arcos,172cos, 11211 ABCBCAAC中异而直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 .3arcos解法二 如图，以 D 为坐标原点，分别以AD、DC 、DD 1 所在直线为 x、y、z 轴建立直角坐标系.8则 C1（0，1，2） ，B（2，4，0） ),23(1BC所成的角为 ，DD与设 1),(则 ,17arcos.73|cos1B异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 .3（18（I）证明： ，22PC10643ACPPAC 是以 PAC 为直角的直角三角形同理可证：PAB 是以PAB 为直角的直角三角形，PCB 是以PCB 为直角的直角三角形所以，PA平面 ABC又 ，30612|BCA|21SPBC而 ，PBCS7453|F| 故 CF PB,又已知 EFPB ，PB 平面 CEF（II）由（I）知 PBCE, PA平面 ABC，AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 ABCE在平面 PAB 内，过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1平面 ABC， EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影， EFEC ，故FEB 是二面角 BCEF 的平面角 3560cottanAPE二面角 BCEF 的大小为 arctn
