1、函数值域及求法(配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等)难题：设 m 是实数，记 M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4 m2+m+ ).(1)证明：当 mM 时，f(x)对所有实数都1有意义；反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则 mM.(2) 当 mM 时，求函数 f(x)的最小值.(3)求证：对每个mM,函数 f(x)的最小值都不小于 1.例 1 设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为 ( 0a2)21 )恒成立，试求实数 a 的取值范围.歼灭难点训练一、选择题1.函数 y=x2+ (x )的值域是( )A.(, B. ,
2、+ C. ,+ D.(, 147)23)322.函数 y=x+ 的值域是( )A.(,1 B.(,1 C.RD.1,+二、填空题3.一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 千米，为了安全，两列货车间距离不得小于( )2 千米 ，那么这批物资全部运到 B 市，最快需要_小时(不计货车的车身长).04.设 x1、x 2 为方程 4x24mx +m+2=0 的两个实根，当 m=_时，x 12+x22 有最小值_.三、解答题5.某企业生产一种产品时，固定成本为 5000 元，而每生产 100 台产品时直接消耗成本要增加 2500 元，市场对此商品
3、年需求量为 500 台，销售的收入函数为 R(x)=5x x2(万元)(0x5), 其中 x 是产品售出的数量(单位：1百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？6.已知函数 f(x)=lg(a 21)x 2+(a+1)x+1(1)若 f(x)的定义域为 (,+)，求实数 a 的取值范围；(2)若 f(x)的值域为(,+ ),求实数 a 的取值范围.7.某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按 120 个工时计算) 生产空调器、彩电、冰箱共 360 台，且冰箱至少生产 60 台.已知生产家电产品每台
4、所需工时和每台产值如下表：家电名称 空调器 彩电 冰箱工时 21341产值(千元) 4 3 2问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8.在 Rt ABC 中， C=90，以斜边 AB 所在直线为轴将 ABC 旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为 S1， ABC 的内切圆面积为 S2，记 =x.(1)求函数 f(x)= 的解析式并求 f(x)的定义域.(2)求ABC21S函数 f(x)的最小值.参考答案难题：(1)证明：先将 f(x)变形：f(x)=log 3(x2m )2+m+ ,1当 mM 时，m1,(x m) 2+m+ 0 恒成
5、立，故 f(x)的定义域为 R.1反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则只须 x24mx+4m 2+m+ 0,令 0,即 16m24(4 m2+m+ )110,解得 m1,故 mM.(2)解析：设 u=x24mx +4m2+m+ ,y=log 3u 是增函数，当 u 最小时，f(x)最小. 而 u=(x2m )2+m+1,显然，当 x=m 时，u 取最小值为 m+ ,此时 f(2m)=log3(m+ )为最小值.1 1(3)证明：当 mM 时，m+ =(m1)+ +13,当且仅当 m=2 时等号成立.11log 3(m+ )log 33=1.1例题：1. 命题意图：本题主要考查建立函数
6、关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属级题目.知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.错解分析：证明 S( )在区间 上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解4,32决.技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.解：设画面高为 x cm,宽为 x cm,则 x2=4840,设纸张面积为 S cm2,则 S=(x+16)( x+10)= x2+(16 +10)x+160,将 x= 代入上式得：S=5000+44 (8 + ),当 8 = ,即 = 0,S( 1)S( 2)0 转化为关于
7、x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.(1)解：当 a= 时，f(x)=x+ +22121f(x)在区间1，+ 上为增函数，f(x)在区间1，+ 上的最小值为 f(1)= .)27(2)解法一：在区间1，+ 上，f(x)= 0 恒成立 x2+2x+a0 恒成立.xa2设 y=x2+2x+a,x1,+ )y=x 2+2x+a=(x+1)2+a1 递增，当 x=1 时，y min=3+a,当且仅当 ymin=3+a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a3.解法二：f(x)=x+ +2,x1,+ )当 a0 时，函数 f(x)的值恒为正；当 a0 时，函数 f(x)0 恒成立，故 a3.歼
8、灭难点训练一、1.解析：m 1=x2 在(, ）上是减函数，m 2= 在(, ）上是减函数，1x121y=x 2+ 在 x(, )上为减函数,y=x 2+ (x )的值域为 ，+ .答案：B47)2.解析：令 =t(t0),则 x= .112ty= +t= (t1) 2+11值域为( ,1 .答案：A2 二、3.解析：t= +16( )2/V= + 2 =8.答案：8V4040164.解析：由韦达定理知：x 1+x2=m,x1x2= ,x 12+x22=(x1+x2)22x 1x2=m2 =(m )2 ,又 x1,x24167为实根， 0.m1 或 m2，y=(m )2 在区间(,1）上是减函
9、数，在2，+ 上是增函数467又抛物线 y 开口向上且以 m= 为对称轴.故 m=1 时，y min= .答案：1 4 2三、5.解：(1）利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本 C(x) 之差，由题意，当x5 时，产品能全部售出，当 x5 时，只能销售 500 台，所以y= )1( 25.0150.74)5(2.05()21().2 xxx(2）在 0x5 时，y= x2+4.75x0.5,当 x= =4.75(百台）时，y max=10.78125(万元） ，当 x5(百台）1ab时，y120.25 5=10.75(万元） ，所以当生产 475 台时，利润最大
10、.(3）要使企业不亏本，即要求 025.105.7.4210xx或解得 5x4.75 0.1(百台）或 5x48(百台）时，即企业年产量在 10 台到 4800 台之间时，56.企业不亏本.6.解：(1）依题意(a 21）x 2+(a+1)x+10 对一切 xR 恒成立，当 a210 时，其充要条件是，135,0)(4)1(022 或或即a1 或 a .又 a=1 时，f(x)=0 满足题意，a=1 时不合题意.故 a1 或 a为 所求.35 35(2）依题意只要 t=(a21)x 2+(a+1)x+1 能取到(0 ，+）上的任何值，则 f(x)的值域为 R，故有 ,解得0121a ,又当 a
11、21=0 即 a=1 时，t=2x+1 符合题意而 a=1 时不合题意，1a 为所求.35 357.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台，由题意得：x+y+z=360 x0,y0,z60.120432假定每周总产值为 S 千元，则 S=4x+3y+2z,在限制条件之下，为求目标函数 S 的最大值，由消去z,得 y=3603x . 将代入得：x+(3603x )+z=360,z=2x z60,x30. 再将代入 S 中，得 S=4x+3(3603x)+22x,即 S=x+1080.由条件及上式知，当 x=30 时，产值 S 最大，最大值为 S=30+1080=1050(
12、千元）.得 x=30 分别代入和得 y=36090=270,z=230=60.每周应生产空调器 30 台，彩电 270 台，冰箱 60 台，才能使产值最大，最大产值为 1050 千元.8.解：(1）如图所示：设 BC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的高 h= ,cabS 1= ah+ bh= ,)2(),(2Scbf(x)= 22)(4a又 )1(222xcbcba代入消 c，得 f(x)= .在 Rt ABC 中，有 a=csinA,b=ccosA(0A ,则 x= =sinA+cosA= sin(A+ ).1x .2)cba242(2)f(x)= +6,设 t=x1,则 t(0, 1), y=2(t+ )+6 在(0， 1 上1)(21)x 是减函数，当 x=( 1)+1= 时， f(x)的最小值为 6 +8.
