1、2016-2017 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科201612一填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分，第 7 题至第12 题每小题 5 分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分（或 5分），否则一律得 0 分1. _2lim1n【解答】 =25lin2nli102. 已知抛物线 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在 轴上，若 经过点 ，则其焦点到CxC(1,3)M准线的距离为_【解答】由题意可知：由焦点在 x 轴上，若 C 经过点 M（1，3） ，则图象经过第一象限，设抛物线的方程：y 2=2
2、px，将 M（1，3）代入 9=2p，解得：p= ，92抛物线的标准方程为：y 2=9x，由焦点到准线的距离 d=p= ，p3. 若线性方程组的增广矩阵为 ，解为 ，则 _ba10221xyba【解答】解：由题意知 是方程组 的解，xy即 ，则 a+b=1+1=2，故答案为：24. 若复数 满足： （ 是虚数单位） ，则 =_z3iziz【解答】解：由 iz= +i，得 z= =1 i，故|z|= =2，故答案为：25. 在 的二项展开式中第四项的系数是 _ （结果用数值表示）62()x【解答】解：在（x+ ） 6 的二项展开式中第四项：=8C x3=160x3在（x+ ） 6 的二项展开式中
3、第四项的系数是 160故答案为：1606. 在长方体 中，若 ，则异面直线 与 所成角的1ABCD1,2ABC1BDC大小为_【解答】解：如图，连接 D1B1；CC 1BB 1；BD 1 与 CC1 所成角等于 BD1 与 BB1 所成角；B 1BD1 为异面直线 BD1 与 CC1 所成角；在 RtBB 1D1 中，cosB 1BD1= ；异面直线 BD1 与 CC1 所成角的大小为 故答案为： 7. 若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是_2,0()xfm,1m【解答】解：x0 时：f（x） =2x1x0 时，f（x）= x2+m，函数的对称轴 x=0，f（x）在（ ，0）递增，f（x）
4、= x2+mm，函数 f（x）= 的值域为（ ，1，故 m1，故答案为：（，18. 如图：在 中，若 ，则ABC13,cos,2ABCDB=_ADBC【解答】解：根据条件：= = = ； = = 9. 定义在 上的偶函数 ，当 时， ，则 在 上的零点R()yfx02()lg3)fxx()fxR个数为_个【解答】解：当 x0 时，f（ x）=lg（x 23x+3） ，函数的零点由：lg（x 23x+3）=0，即 x23x+3=1，解得 x=1 或 x=2因为函数是定义在 R 上的偶函数 y=f（x） ，所以函数的零点个数为： 4 个故答案为：410. 将 辆不同的小汽车和 辆不同的卡车驶入如图
5、所示的 个车位中的某 个内，其中 辆卡车621082必须停在 与 的位置，那么不同的停车位置安排共有 _种？（结果用数值表示）AB【解答】解：由题意，不同的停车位置安排共有 A22A86=40320 种故答案为 4032011. 已 知 数 列 是 首 项 为 ， 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 前 项 和 为 设 ，na12mnnS*()2nbN若数列 是递减数列，则实数 的取值范围是_b【解答】解：S n=n+ 2m=mn2+（1 m）nb n= = ，数列b n是递减数列，b n+1b n， ，化为：mn，对于nN *，即可得出因此 m1则实数 m 的取值范围是（，1） 故答案为：（
6、，1） 12. 若使集合 中的元素个数最少，则实数 的取值范围是2|(6)(40,AxkxZk_【解答】解：集合 A=x|（kxk 26） （x4）0，x Z，方程（kxk 26） （x4）=0，解得： ，x 2=4，（kxk 26） （ x4）0，xZ当 k=0 时，A=（，4） ；当 k0 时，4k+ ，A=（，4）（k+ ，+） ；当 k0 时，k+ 4，A=（k+ ，4） 当 k0 时，集合 A 的元素的个数无限；当 k0 时，k+ 4，A=（k+ ，4） 集合 A 的元素的个数有限，此时集合 A 的元素个数最少则有： ，解得：k0故答案为：（，0） 二选择题（本大题满分 20 分）本
7、大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得 0分13. “ ”是“ ”成立的（ ） ()4xkZtan1x（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件【解答】解：tanx=1，x=k+ （kZ）x=k+ （kZ）则 tanx=1，根据充分必要条件定义可判断：“x=k+ （k Z） “是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C14. 若 （ 是虚数单位）是关于 x的实系数方程 20xbc的一个复数根，则（ ）12i（A） ,3bc （B ） 2,1bc （C） ,1 （D）
8、2,3c【解答】解：1 i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根，1+ i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根， ，解得 b=2，c=3故选：D15. 已知函数 为 上的单调函数， 是它的反函数，点 和点 均在函 数xfRxf13,1A,B的图像上，则不等式 的解集为（ ）f 21xf（A） （B） （C ） （D）1,320,log32,log【解答】解：点 A（1，3）和点 B（1，1）在图象上，f（ 1）=3， f（1）=1 ，又 f1（x）是 f（x）的反函数，f 1（3）=1，f 1（1）=1，由|f 1（2 x）|1，得1f 1（2 x
9、）1，即 f1（3）f 1（2 x）f 1（1） ，函数 f（x）为 R 的减函数，f 1（x）是定义域上的减函数，则 12 x3，解得：0xlog 23不等式|f 1（2 x）|1 的解集为（0，log 23） 故选：C16. 如图，两个椭圆 ， 内部重叠区域的边界记为曲线 ， 是曲线 上的259y2159xCP任意一点，给出下列三个判断： 到 、 、 、 四点的P1(4,0)F2(,)1(0,4)E2(,)距离之和为定值； 曲线 关于直线 、 均对称；Cyx 曲线 所围区域面积必小于 36.上述判断中正确命题的个数为（ ）（A） 个 （B ） 个 （C） 个 （D ） 个0123【解答】解
10、：对于，若点 P 在椭圆 + =1 上，P 到F1（4，0） 、F 2（4，0）两点的距离之和为定值、到 E1（ 0，4） 、E2（0，4）两点的距离之和不为定值，故错；对于，两个椭圆 + =1， + =1 关于直线 y=x、y=x 均对称，曲线 C 关于直线y=x、y= x 均对称，故正确；对于，曲线 C 所围区域在边长为 6 的正方形内部，所以面积必小于 36，故正确故选：C三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （ 本 题 满 分 14 分 ） 本 题 共 有 2 个 小 题 ， 第 1 小 题 满 分 8 分
11、 ， 第 2 小 题 满 分 6 分 如图，已知 平面 ， ， ，PABCA2BCP， 是 的中点30CBD（1）求 与平面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求 绕直线 旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留 ） 18. （ 本 题 满 分 14 分 ） 本 题 共 有 2 个 小 题 ， 第 1 小 题 满 分 6 分 ， 第 2 小 题 满 分 8 分 已知函数 3cosin()xfx（1）当 时，求 的值域；0,2()f（2）已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，ABC, ,abc()3,452Afabc求 的面积19. （ 本 题 满 分 14 分 ） 本 题 共 有 2
12、个 小 题 ， 第 1 小 题 满 分 6 分 ， 第 2 小 题 满 分 8 分 某 创 业 团 队 拟 生 产 A、 B 两 种 产 品 ， 根 据 市 场 预 测 ， A 产 品 的 利 润 与 投 资 额 成 正 比 （ 如 图 1） ， B产 品 的 利 润 与 投 资 额 的 算 术 平 方 根 成 正 比 （ 如 图 2） （ 注 ： 利 润 与 投 资 额 的 单 位 均 为 万 元 ）（1）分别将 A、B 两种产品的利润 、 表示为投资额 的函数；()fxgx（2）该团队已筹集到 10 万元资金，并打算全部投入 A、B 两种产品的生产，问：当 B 产品的投资额为多少万元时，生
13、 产 A、 B 两 种 产 品 能获得最大利润，最大利润为多少？20. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分如图：双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，过 作直线 交 轴于点 213xy12,FlyQ（1）当直线 平行于 的一条渐近线时，求点 到直线 的距离；l 1l（2）当直线 的斜率为 时，在 的右支上是否存在点 ，满足 ？若存在，1P10求出 点的坐标；若不存在，说明理由；P（3）若直线 与 交于不同两点 ，且 上存在一点 ，满足lAB、M4OABM（其中 为坐标原点），求直线 的方程Ol21. （本题满分
14、18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分正数数列 、 满足： ，且对一切 ， 是 与 的等差中项，nab1ab2,*kNka1kb是 与 的等比中项kb1ak（1）若 ，求 的值；2,b1,a（2）求证： 是等差数列的充要条件是 为常数数列；n na（3）记 ，当 时，指出 与 的大小关系并说明理由|c*2()N2nc 1c参考答案一、填空题：(共 54 分，第 1 题至第 6 题每小题 4 分；第 7 题至第 12 题每小题 5 分)1. 2. 3. 4. 5. 6. 292216047. 8. 9. 10. 01m3321
15、1. 12. ,二、选择题：(共 20 分，每小题 5 分)13. C 14. D 15. C 16. C 三、解答题17、解：（1） 平面 ， ，又 ，PABAPAB平面 ，C所以 就是 与平面 所成的角.4 分D在 中， ， 6 分Rt23,D所以 ，4arctnPA即 与平面 所成的角的大小为 .8 分DC43arctn（2） 绕直线 旋转一周所构成的旋转体，是以 为底面半径、 为高的圆锥B ABAP中挖去一个以 为底面半径、 为高的小圆锥. 10 分AP所以体积 . 14 分.23)(312)(31V18、解：（1）由条件得： ，21cos()cosincosin2xfxxx即 2 分
16、313()cos2infxx，3 分sin(2)因为 ，所以0,xsin(2),12x因此 的值域是 6 分3()i)f30,（2）由 ，化简得 ，()Afsin()2A因为 ，所以 ，所以 ，即 .8 分0,4,333A由余弦定理得： ，所以 ，216bc2()16bc又 ，解得 ，12 分5c所以 .14 分13sin24ABCS19、解：（1） .3 分，()0)fx.6 分5(4g（2）设 B 产品的投资额为 万元，则 A 产品的投资额为（ ）万元，x10x创业团队获得的利润为 万元，y则 .10 分51()10)(0)4ygxf x令 ， ，即 ，t 22tt 2156()(01)4ytt当 ，即 时， 取得最大值 13 分526.5xy4.625答：当 B 产品的投资额为 万元时，创业团队获得的最大利润为 万元.14 分. 62520、解：（1）易得 ， ， 的渐近线方程为 ，由对称性，1(2,0)F2(,)3yx不妨设 ,即 ，-2 分3:() lyx30y
