1、腾飞家教- 1 -二次函数解析式的 8 种求法二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a 0； 2、x 的最高次数为 2 次例 1、若 y =( m2+ m )xm2 2m 1 是二次函数，则 m = 解：由 m2+ m0 得:m 0，且 m 1由 m22m 1 = 2 得 m =1 或 m =3 m = 3 二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件
2、的解析式，所以他的答案并不唯一例 2、(1)经过点 A（0，3）的抛物线的解析式是 分析：根据给出的条件，点 A 在 y 轴上，所以这道题只需满足 中cbay2的 C=3，且 a0 即可 （注：答案不唯一）32y三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式 y = a( x h)2 + k，当图像向左（右）平移 n 个单位时，就在 x h 上加上（减去）n；当图像向上（下）平移 m 个单位时，就在 k 上加上（减去）m其平移的规律是： h 值正、负，右、左移； k 值正负，上下移由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改
3、变，所以 a 得值不变腾飞家教- 2 -例 3、二次函数 的图像是由 的图像先向 平移 25312y 21y个 单位，再向 平移 个单位得到的解： = ，22二次函数 的图像是由 的图像先向左平移 3 个5312y 21y单位，再向下平移 2 个单位得到的这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式 ，转化成一个三cbay2元一次方程组，以求得 a，b，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式 这顶点坐khxay2标为（ h，k ），对称轴方程 x = h，极值为当 x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根
4、式已知图像与 x 轴交于不同的两点 ，设二次函数的解析式为120， ， ，根据题目条件求出 a 的值21ay例 4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1图像经过（1，4），（1，0），（2，5）2图象顶点是（2，3），且过（1，5）3图像与 x 轴交于（2，0），（4，0）两点，且过（1， ）29解：1、设二次函数的解析式为： ，依题意得：cba2解得：0542abc31c腾飞家教- 3 -32xy2、设二次函数解析式为：y = a( x h)2 + k， 图象顶点是（2，3）h=2，k=3 ， 依题意得：5=a( 1 + 2)2+3，解得：a=2y = 2( x +2)2 + 3= 823
5、、设二次函数解析式为：y = a( x ) ( x )12图像与 x 轴交于（2，0），（4，0）两点，=2， =41依题意得： = a( 1 +2) ( 1 4)9a= 2y = ( x +1) ( x 4)= 232x七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数 ，要求其图象关于 x轴对称（也可以说沿 x轴cba2翻折）； y轴对称及经过其顶点且平行于 x轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转 180）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成 y = a( x h)2 + k 的形式（1）关于 x轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称，两个图象的开口方向相反，即a互为相反数（2）关于 y轴对
6、称的两个图象的顶点关于 y轴对称，两个图象的形状大小不变，即相同（3）关于经过其顶点且平行于 x轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即 a互为相反数例 6 已知二次函数 5632y，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于 x轴对称；（2）图象关于 y轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称腾飞家教- 4 -解： 5632xy可转化为 2)1(3xy，据对称式可知图象关于 轴对称的图象的解析式为 ，即： 2图象关于 y轴对称的图象的解析式为：)1(32x，即： 5632xy；图象关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称的图象的解析式为)(2y，即 12八
7、、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的例 7、如图，已知抛物线 和 x 轴正半轴交与 A、B 两点，cby271AB=4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为1，PAO=45 ， 求37cotPO1P 点的坐标； 求抛物线的解析式2yM A BO x P解: 设 P 的坐标为 (1，y )， P 点在第三象限y0，过点 P 作 PM X 轴于点 M 点 M 的坐标为( 1，0)|BM| = |BA|+ |AM|腾飞家教- 5 -PAO=45 |PM | = |AM| = |y | =y 374cot PMBOy = 3P 的坐标为(1，3)A 的坐标为(2，0)将点 A、点 P 的坐标代如函数解析式cb713240解得： ； 82抛物线的解析式为： 2187y
