1、1函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb
2、轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T4|ab|3.函数 图象本身的对称性（自身对称）)(xfy若 ，则 具有周期性；若 ，则 具有fab()fx()()faxfbx()f对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、 图象关于直线 对称)()(xff)(xfy2)(ax推论 1： 的图象关于直线 对称a 推论 2、 的图象关于直线 对称)2()xfxf )(xfyax推论 3、 的图象关于直线 对称2、 的图象关于点 对称cxbfaf)()()(xfy),2(cb推论 1、 的图象关于点 对称ba2a推论 2、 的图象关于点 对称xfx)()(xfy),(b推论 3、 的图象关于点
3、 对称例题分析：1设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则)(xf),)()2(xfxf10xf)(等于 ( )5.47（A）0.5 （B） （C ）1.5 （D ） 5.05.2、 （山东）已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ）R)(f()(ff6fA1 B0 C1 D23设 是定义在 上的奇函数， 求)(xf ,1),ffxf(10).f4函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则fx()(ff5f2_(5)f5已知 是定义在 上的奇函数，且它的图像关于直线 对称。xfR1x（1）求 的值；（2）证明 是周期函数；(0)(xf（3）若 ，求 时，函数 的解析式，并画出满足条件的函数1
4、fx)(xf至少一个周期的图象。)(f6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x) 当 x0,2时，f(x)2xx 2.(1)求证：f( x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式巩固练习：1函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0,2时，f(x)x1，则不等式 xf(x)0 在1,3上的解集为( )A(1,3) B (1,1) C(1,0) (1,3) D( 1,0)(0,1)2设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1) f (x1)，已知当x0,1时，f(x ) 1x ，则：2 是函数 f(x)
5、的周期；函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3) 上(12)递增；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x) x3 .(12)其中所有正确命题的序号是_3设定义在 R 上的奇函数 yf(x)，满足对任意 tR，都有 f(t)f(1t)，且 x 时，0，12f(x)x 2，则 f(3)f 的值等于( )A B C D( 32) 12 13 14 154若偶函数 yf( x)为 R 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x)( x1)(xa)( 3x3)，则 f(6)等于_ 5、 （1） ;_)1()21) xfaxfx） 对 称 ：，关 于 点 （2） )(
6、0214)( fxfx） 对 称 ：，关 于 （3）若 设),(af个 不 同 的 实 数 根 ， 则有 nxf(3._21nxx6设 f(x)是(，)上的奇函数，f (x2)f (x)，当 0x1 时，f(x) x.(1)求 f(3)的值；(2) 当4x4 时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积7设 是定义在 上以 2 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间)(xf),()(f上， 求 时， 的解析式.3,2.4322x,1x)(xf8.设函数 对任意实数 满足 ， )(f )2()(ff)7(f判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点.,07xf且 x30,x9.已知函数
7、是定义在 上的周期函数，周期 ，函数()yfR5T是奇函数.又知 在 上是一次函数，在 上是二次函()fx1()yfx0,11,4数，且在 时函数取得最小值 .25（1）证明： ；（2）求 的解析式；()40f(),4f（3）求 在 上的解析式.yx,910.已知 ， （1）判断 的奇偶性；（2）证明：)2()xf )(xf 0)(xf11、定义在 上的函数 是减函数，且是奇函数，若1大)(fy，求实数 的范围。054()(2afaf a12 （重庆文）已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbfa（）求 的值；（）若对任意的 ，不等式 恒成立，,abt22()()0ftftk求 的取值范
8、围。k4复习题：1已知数列 na，其前 项和为 nS，点 (,)n在抛物线 231yx上；各项都为正数的等比数列 nb满足 1351,632b.（）求数列 n， 的通项公式；（）记 nCab,求数列 n的前 项和 nT2在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且ABCc（其中 为 的面积） 283ABbcaSABC（）求 ；（）若 ， 的面积为 3，求 2sincos2bABa3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 依次为 1,2,3,4,5现从一批该X日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的
9、恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求 ， ， 的值；abc（）在（1）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 ， ， ，等级系数为1x235 的 2 件日用品记为 ， ，现从 ， ， ， ， 这 5 件日用品中任取两件1y21x2y（假定每件日用品被取出的可能性相同） ，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率4. 如图，在三棱锥 ABCP中， 底面 ABC，ACB， H为 的中点， 2， 1.（）求证： 平面 ；（）求经过点 的球的表面积。AC5.已知抛物线 与 轴交点为 ，动点 在抛物线28()xyM,PQ上滑动，且 0MPQ（1）求 中点 的轨迹
10、方程 ；RW（2）点 在 上， 关于 轴对称，过点 作切线 ，且 与 平行，点,ABCD,AyDlBCl到 的距离为 ，且 ，证明： 为直角三角形12d12|dA6. 设函数 .（1）求 的极大值；2ln()xf()fx（2）求证： 2*()21()1()ennNX1 2 3 4 5频率 a02 045 bcABCPH5（3）当方程 有唯一解时，方程 也()0()2afxRe2()()0axtgxtf有唯一解，求正实数 的值；t函数的周期性与对称性1、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是
11、它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x) f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T4|ab|3.函数 图象本身的对称性（自身对称）)(xfy若 ，则 具有周期性；若 ，则 具有fab()fx()()faxfb
12、x()f对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、 图象关于直线 对称)()(xff)(xfy2)(ax推论 1： 的图象关于直线 对称a 推论 2、 的图象关于直线 对称)2()xfxf )(xfyax推论 3、 的图象关于直线 对称2、 的图象关于点 对称cxbfaf)()()(xfy),2(cb推论 1、 的图象关于点 对称ba2a推论 2、 的图象关于点 对称xfx)()(xfy),(b推论 3、 的图象关于点 对称例题分析：1设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则)(xf),)()2(xfxf10xf)(等于 ( )5.47（A）0.5 （B） （C ）1.5 （D ） 5.
13、05.2、 （山东）已知定义在 上的奇函数 满足 ，则 的值为（ ）R)(f()(ff6fA1 B0 C1 D23设 是定义在 上的奇函数， 求)(xf ,1),ffxf(10).f64函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则)(xfx1(2)(fxf()5f_5f5已知 是定义在 上的奇函数，且它的图像关于直线 对称。)(xfR1x（1）求 的值；（2）证明 是周期函数；0)(xf（3）若 ，求 时，函数 的解析式，并画出满足条件的函数()1fx)(xf至少一个周期的图象。f6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x) 当 x0,2时，f(x)2xx
14、2.(1)求证：f( x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式解：(1)证明：f (x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期为 4 的周期函数(2)x2,4 ，x4，2 ，4x 0,2 ，f(4x) 2(4x)(4x) 2x 26x8.又f(4x) f(x )f(x) ，f(x)x 26x8，即 f(x)x 26x8，x 2,4巩固练习：1函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x0,2时，f(x)x1，则不等式 xf(x)0 在1,3上的解集为( )A(1,3) B (1,1) C(1,0) (1,3) D( 1,0)(0,1)解析：选 C f(x )
15、的图像如图当 x( 1,0)时，由 xf(x)0 得 x( 1,0)；当 x(0,1)时，由 xf(x)0 得 x(1,3) 故 x( 1,0)(1,3)2设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1) f (x1)，已知当x0,1时，f(x ) 1x ，则：2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3) 上(12)递增；7函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x) x3 .(12)其中所有正确命题的序号是_解析：由已知条件：f(x 2)f(x)，则 yf(x) 是以 2 为周期的周期函数，正确；当1x0
16、时 0x 1，f (x)f (x) 1x ，(12)函数 yf(x) 的图像如图所示：当 3x4 时，1 x40 ，f(x)f (x4) x3 ，因此正确，不正确答案：(12)3设定义在 R 上的奇函数 yf(x)，满足对任意 tR，都有 f(t)f(1t)，且 x 时，0，12f(x)x 2，则 f(3)f 的值等于( )( 32)A B C D12 13 14 15解析：选 C 由 f(t)f(1t) 得 f(1t)f(t )f (t)，所以 f(2t) f(1 t)f(t)，所以 f(x)的周期为 2.又 f(1)f(1 1)f(0)0，所以 f(3)f f(1)f 0 2 .( 32)
17、 (12) (12) 144若偶函数 yf( x)为 R 上的周期为 6 的周期函数，且满足 f(x)( x1)(xa)( 3x3)，则 f(6)等于_ 解析：yf(x)为偶函数，且 f(x)(x1)( xa)(3 x3)，f(x)x 2(1 a)x a,1a 0.a1.f(x) (x1)( x1)( 3x3) f (6)f (66)f(0)1.5、 （1） ;1)2 xfafx ） 对 称 ：，关 于 点 （2） 2)(10214)( ffx ） 对 称 ：，关 于 （8（3）若 设),2()xafx个 不 同 的 实 数 根 ， 则有 nf0(.naxxann )2()2(1121 ,(
18、1xk时 ， 必 有当6设 f(x)是(，)上的奇函数，f (x2)f (x)，当 0x1 时，f(x) x.(1)求 f(3)的值；(2) 当4x4 时，求 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积解：(1)由 f(x2)f( x)得， f(x4)f(x2) 2f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(3)f (34)f(1)1.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x2) f(x)，得 f(x1) 2f(x1)f (x1)，即 f(1x) f(1x )故知函数 yf (x)的图像关于直线 x 1 对称又 0x1 时，f( x)x ，且 f(x)的图像关于原点成中心
19、对称，则1x0 时， f(x)x ，则 f(x)的图像如图所示当4x4 时，设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4S OAB 44.(1221)7设 是定义在 上以 2 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间xf),()(xf上， 求 时， 的解析式.3, .432)2x,1x)(f解：当 ，即 ，,4)3(2)()() 22xxfxf又 是以 2 为周期的周期函数，于是当 ，即 时，,1243x).2(4)(243)()(2xxf有 .1(28.设函数 对任意实数 满足 ， )(xfx)()xff )7(f判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点.,07f且 (30
20、,解：由题设知函数 图象关于直线 和 对称，又由函数的性质得)xf2x是以 10 为周期的函数 .在一个周期区间 上，)(xf 1,9,)(0)(2()2()4,0)( 不 能 恒 为 零且 xffffff 故 图象与 轴至少有 2 个交点.x而区间 有 6 个周期，故在闭区间 上 图象与 轴至少有 13 个交点.3,3,)(xf9.已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数()yfxR5T是奇函数.又知 在 上是一次函数，在 上是二次函()f1()yfx0,11,4数，且在 时函数取得最小值 .25（1）证明： ；（2）求 的解析式；()40f(),4f（3）求 在 上的解析式.yx,9
21、解： 是以 为周期的周期函数，且在 上是奇函数，()f51,， .1(1)(4ff()40f当 时，由题意可设 ，,4x25 )xaa由 得 ， ，()0f2()5()a2 .2)14xx 是奇函数， ，(yf (0)f又知 在 上是一次函数，可设)x0, (1)xk而 ，2(153f ，当 时， ，3k1x()3fx从而 时， ，故 时， .0()f 1x()3fx当 时，有 ， .46x5x()5)15f 当 时， ，914 22()()(7)f x .235,6(7)xxf1010.已知 ， （1）判断 的奇偶性；（2）证明：)2()xf )(xf 0)(xf11、定义在 上的函数 是减
22、函数，且是奇函数，若1大(fy，求实数 的范围。0)54()(2afaf a12 （重庆文）已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbf（）求 的值；（）若对任意的 ，不等式 恒成立，,abt22()()0ftftk求 的取值范围。k10(1)偶函数 (2)奇函数 11(1)偶函数 12、 31,2复习题：2已知数列 na，其前 项和为 nS，点 (,)n在抛物线 2yx上；各项都为正数的等比数列 nb满足 1351,632b.（）求数列 n， 的通项公式；（）记 nCab,求数列 n的前 项和 nT2在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且ABCc（其中 为 的面积） 283AB
23、caSABC（）求 ；（）若 ， 的面积为 3，求 2sincos2bABa3某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 依次为 1,2,3,4,5现从一批该X日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求 ， ， 的值；abc（）在（1）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 ， ， ，等级系数为1x235 的 2 件日用品记为 ， ，现从 ， ， ， ， 这 5 件日用品中任取两件1y21x2y（假定每件日用品被取出的可能性相同） ，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率4. 如图，在三棱锥 ABCP中， 底面 ABC，ACB， H为 的中点， 2， 1.（）求证： 平面 ；（）求经过点 的球的表面积。AC5.已知抛物线 与 轴交点为 ，动点 在抛物线28()xyM,PQX1 2 3 4 5频率 a02 045 bcABCPH
