1、分块矩阵在行列式计算中的应用分块矩阵在行列式计算中的应用0矩阵与行列式的关系矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生 1行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大
2、降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势1.1 矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样 特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理这就是所谓的矩阵的分1块把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩
3、阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵这是处理级数较高的矩阵时常用的方法定义 1 设 是 矩阵，将 的行分割为 段，每段分别包含 行，2AnmAr rm21将 的列分割为 段，每段包含 列，则Ass21，rsrsA 2121就称为分块矩阵，其中 是 矩阵（ ） ijAjim,1isj,2注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数 例如，对矩阵 分块，21030A21A其中分块矩阵在行列式计算中的应用1， ， ， 210A210312A101A21302A1.2 矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待加法运算 设 和 为同型矩阵（行数和列数
4、分别相等） ，若用相nmijaA)(nmijbB)(同的分块方法，即， ，tsijnAtsijB)(其中 、 是 矩阵， ，且 ， ，则 与ijijBjini.,21, mii1ntj1A可直接相加，即tsijij)(数乘运算 设分块矩阵 ， 为任意数，则分块矩阵与 的数乘为tsijnmA)kktsij)(乘法运算 一般地说，设 ， ，将矩阵 、 分块，snika)(nmkjbBAB， ，ststAA 212112 trtt r212112其中每个 是 小矩阵，每个 是 小矩阵，于是有ijjinsijBjimn，srsrCC 212112其中 是 矩阵， ijCjikmijniijBA1应该注
5、意，在进行乘法运算求乘积 时，对矩阵 、 分块要求，矩阵 的列的ABA分法必须与矩阵 的行的分法一致B矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有 分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；分块矩阵在行列式计算中的应用2(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数；(3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便而对于乘法，在矩阵 与矩阵 相乘时，对 的一个分块
6、方式， 可以有几种分块方式都可与 相乘，ABAB同样对 的一个分块方式， 也是如此但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义例如，已知， ，201A01B我们把 分块为B，2101BE其中 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性， 可以分块为2E A、 或 ，2020201我们可以看到第一种分法中有单位块，而，2AOE对于乘法运算显然更加简便，即 AB20101212BE221BE2设 ststAA 212112是一个分块矩阵，那么它的转置为分块矩阵在行列式计算中的应用3 sttt sAA 212121分块矩阵的转置应遵守如下规则
7、：(1) 的每一块都看成元素，对 转置；A(2) 对 的每一块都转置1.3 特殊的分块矩阵形式如 lAO21的矩阵，其中 是 矩阵 ，通常称为准对角矩阵iAin),1(l准对角矩阵具有如下性质：(1) 设，AlAO21则有；l21(2) 可逆 可逆 ，且Ai ),(l；1121lAA(3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵， ，AlAO21 lBOB21如果它们相应的分块是同级的，那么显然有分块矩阵在行列式计算中的应用4，lBAOBA21 llBAOOBA21它们还是准对角矩阵与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种：(1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2) 用一个可逆矩阵左乘
8、（右乘）分块矩阵的某一块行（列） ；(3) 将分块矩阵某一块行（列）的 （矩阵）倍加到另一块行（列） k定义 2 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵3E现将某个单位矩阵如下进行分块，nmEO对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵 ；某一行（列）乘以P矩阵 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：Q(1) 分块初等对换阵；OEmn(2) 分块初等倍乘阵， ；nPP(3) 分块初等倍加阵， nmEOQnmO与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵，DCBA只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：(1) ；DCBAO
9、Enm(2) ；PPn(3) ABnm同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果我们通过验证，当用分块初等矩分块矩阵在行列式计算中的应用5阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值定义 3 在一个 级行列式 中任意选定 行 列 位于这些行和列的交2nDk)(n点上的 个元素按照原来的次序组成一个 级行列式 ，称为行列式 的一个 级子k MDk式当 时，在 中划去这 行 列后余下的元素按照原来的次序组成的 级行nk n列式 称
10、为 级子式 的余子式M引理（拉普拉斯定理）设在行列式 中任意取定了 个行由这 行k)1(k元素所组成的一切 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 k定理 1 设 是 阶方阵， 是 阶矩阵， 是 阶矩阵，则AmBnCnAO证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式 C按后 行展开，在其所有的 阶子式中，除 外至少包含一列零向量，因此它们的值nn为零而 的余子式为 ，且 位于整个矩阵的第 行，第CA nm,2,1列，即可得m,2,1CAOB类似地行列式的形式为时，由行列式的转置值不变，因此仍有CABOA通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式换成 OCBA又会有怎样的结论，它的值等于 吗？ 分
11、块矩阵在行列式计算中的应用6定理 2 设 、 、 均为 阶方阵，则ABCnBCOAn2)1(证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后 行， 在其所有 阶子式中，除 外至少nC包含一列零向量，因此它们的值为零而 的余子式为 ，且 位于整个矩阵的第行， 第 列，因此nn,2,1 n,21，CBOAs)1(其中 ，即偶 数 2)()( ns2)(定理 3 是分块 阶矩阵，其中 为 阶方阵， 为 阶阵， 为DCBAPnArBsrC阶阵， 为 阶方阵rss(1) 若 可逆，则 ；1(2) 若 可逆，则 BAP证明 (1) 当 时，有0 BCADOCI 11两边取行列式可得PA1(2) 当 时，有0DDCBDI
12、OB11两边取行列式可得= PA1将定理 3 中条件特殊化，可得到如下推论推论 1 设 、 、 、 分别是 ， ， ， 矩阵，则有ABCrsrs(1) ；DEr(2) s分块矩阵在行列式计算中的应用7证明 (1) 只需在定理 3 中令 ，即有rEACBDODCBr (2) 只需在定理 3 中令 ，即有sAEAss推论 2 设 、 分别是 ， ，则有BrrBCCBErss 证明 只需在定理 3 中令 ， ，则有rAsEErss定理 4 设 、 、 、 都是 阶方阵，则5,BDn(1) 当 且 时， ； 0ACABCA(2) 当 且 时， ；(3) 当 且 时， ；0DDCBA(4) 当 且 时， B证明 由 、 、 、 均为 阶方阵，当 且 时，利用定理 3 得An0CADCBA1BD1B1，即，CBA(2)、(3)、(4)类似可得定理 5 设 、 都是 阶方阵，则有7,6ABnA证明 根据分块矩阵性质有分块矩阵在行列式计算中的应用8BAOAB定理 6 设 为 阶可逆方阵， 与 均为 维列向量，则8Ann)1(1TT证明 因， (1)010TTAE， (2) 11AT(1)式、(2)式两边各取行列式，又，00TE从而有)1(11AATTT
