1、圆的垂径定理应用精选一、双基导学：1、 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。垂径定理推论的规律：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：垂直于弦，过圆心，平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧。 （当以、为题设时， “弦”不能是直径。 ）2、运用垂径定理的注意事项：（1）牢记基本图形及变式图形（如右图）（2）半径 、弦长 、弦心距 和弓形高 h 四者的关系是：radd+h=r；r 2=d2+( )2当不能用勾股定理直接计算时，要用勾股定理列方程求解。(3)当弦是特殊的直径时，有的推论不成立。(4)常用辅助线：连接与弦的端点、过圆心作弦
2、的垂线。二、垂经定理的应用1、利用平分弦，解有关线段问题（1）证明线段间的关系（相等、和、差、倍、分等）例：如图，AB为O的直径， CD为弦，过C、D 分别作CNCD、DM CD， 分别交AB于N、M ，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由 图 2ODA BC图 3ODA BC（2）求半径例.高速公路的隧道和桥梁最多图 3 是一个隧道的横截面，若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，路面 =10 米，净高 =7 米，求圆的半径ABCA析解：由垂径定理可知 AOD 是直角三角形，解决本题关键是根据勾股定理列出方程.设半径 OA=x 米，则 OD=CD OC=7 x（米）.因为 OD AB,所以
3、 AD= =5（米）.在 Rt AOD12B中，因为 ，所以 ，解这个方程得：22DO225(7)x37x（3）求弦长例.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是 10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm，如图 4 所示，则这个小孔的直径 AB mmBA 8mm图 4DCOA B图5图 6COA Bd12arDCOEBABA C DON M析解：要求小孔的直径 AB， 关键是根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来解决.如图 5，设圆心为 O，连接 OA,过点 O 作 OC AB,交劣弧于 D， C 为垂足，则AC=CB， OA=OD= mm， OC=85=3mm，在
4、Rt AOC 中， AC=102 2OA，所以 AB=2AC=24=8(mm).234（4） 、求弦心距例.如图 6，O 的半径为 5，弦 ， 于 ，则 的长等于 8ABCC析解：连接 OA,因为 于 ，所以由垂径定理可得 AC= .在 RtOC1842ABAOC 中，由勾股定理可得 OC= .22543A2、利用垂径定理，构造直角三角形，利用勾股定理解题例：有一座圆弧形拱桥，桥下水面 AB 宽 24m，拱顶高出水面 8m.。现有一艘高出水面部分的截面为长方形的船要经过这里，长方形的长为 8m、高为 7m。此船能顺利通过这座桥吗?DCAOB图 8例.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图 5
5、所示，已知 AB=16m，半径 OA=10m，高度CD 为_m析解：由垂径定理可得 AD= .在 Rt AOC 中， OD=1682AB,所以 CD=OC OD=106=4(m).208OAD3、利用弦所对的弧等，进行角的计算与证明例： 如图，O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，EOD40。求DCF 的度数。CODA B图 10例：.如图 10，在 O 中， AB 为 O 的直径，弦 CD AB， AOC=60，则 B= 析解：因为 CD AB， AB为直径，所以由垂径定理可知 ，利用“在同圆或等圆中，ADOFEDCBA同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”定理可得： B= =12AOC.160324、探究线段的最小值例 6.如图 7， O 的半径 OA=10cm，弦 AB=16cm， P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离为 cmCOA BP图 7析解：因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以需作出弦AB 的弦心距.过点 O 作 OC AB, C 为垂足，则 AC= .在 Rt AOC 中，由勾1682AB股定理可得 OC= .故点 P 到圆心 O 的最短距离为 6cm221086A
