分数阶积分算子的谱半径及其应用.DOC

1、分数阶积分算子的谱半径及其应用 冯育强，朱兴，王蔚敏 （武汉科技大学理学院，武汉 430065） 摘要： 本文利用 Gelfand公式和 Stirling公式，计算了两种情形下分数阶积分算子谱半径。随后讨论了该结论在分数阶微分方程求解以及分数阶 Gronwall不等式中的应用。 关键词： 二级学科； 分数阶积分算子；谱半径； Gelfand公式； Stirling公式 中图分类号： O175.08 文献标识码： A 文章编号： Spectral radius of fractional integral operators and its applications FENG Yuqiang,

2、ZHU Xing, WANG Weimin (College of Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430065, China) Abstract: In this paper, Gelfand formula and Stirling formula are used to calculate the fraction al integral spectral radius in two cases. Then the conclusion is applied to discuss the solvabi

3、lity of fractional differential equations and fractional Gronwall Inequality. Key words: fractional integral operators; spectral radius; Gelfand formula; Stirling formula 0 引言 分数阶微积分是相对于传统意义上的整数阶微积分提出的 ， 由于分数阶微积分良好的记忆和遗传性 ， 分数阶微积分理论被广泛应用 于 自然科学的各个领域 ， 尤其是控制理论 、 粘弹性理论 、 电子化学 、 分形理论等领域 1。 大量研究成果的面世也极大

4、地推动了分数阶微积分的研究进展，一些学者纷纷投入到这个新兴的研究领域 。 在分数阶模型的使用中 ， 出现了一系列分数阶微分积分方程，因此对分数阶积分算子的研究有着十分重要的意义 。 分数阶积分算子本质上是 一类带奇异积分核的线性积分算子 ， 对于其谱半径的计算 ， 有助于进行分数阶微分方程的定性研究 。 在以往的文献中，不论是证明分数积分方程 可解性 ， 有解性，解的渐近性质， 还是推广Gronwall不等式，其实本质上都用到了分数阶积分算子谱半径的性质，但是没有明确地指出1,3,6。 本文正是从研究的需要出发，具体计算出分数积分算子的谱半径，并将所 得 结论用于分数 阶微 分 方程求解以及

5、分数 阶 Gronwall不等 式 。 1 预备知识 本节给出文中所涉及的一些基本概念和结论 。 定义 1 2 设 X 是 Banach空间 ， T 是 X 的线性子空间 )(TD 到 X 中的线性算子 ， 又设 是一复数 ， 若 )( TI 是正则算子 ， 即 )( TI 是 )(TD 到 X 上的一对一的线性算子 ， 且它的逆算子 1)( TI 是 X 到 X 中的有界线性算子时 ， 称 是 T 的正则点 ， 并称 1)( TI为 T 的豫解算子 ， 记为 ),( TR . 不是正则点的复数 ， 称为 T 的谱点 。 复平面上正则点全基金项目： 高等学校博士学科点专项科研基金（ 20134

6、219120003）；国家自然科学基金（ F030203）；湖北省自然科学基金重点项目（ 2013CFA131）；冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室基金（ z201302） 作者简介： 冯育强（ 1975-）， 男，教授，主要研究方向：非线性泛函分析理论、方法与应用 . E-mail: 体称为 T 的正则集或豫解集 ， 记为 )(T ， 谱点全体称为 T 的谱集 ， 记为 )(T . 定义 22 设 X 是 Banach空间 ， T 是 X 到 X 的有界线性算子 ， 则称 )(sup)( TTr 为算子 T 的谱半径 。 引理 12 设 X 为复的 Banach 空间 ， )(XBT ，

7、 则 1） 极限 n nn Tlim存在且有 ( ) lim nnr T T（ Gelfand 公式） ； 2） 当 )(Tr 时， 是 T 的正则点，则 TI 是可逆的 ， 并且 0 11)(n nnTTI. 引理 2（ Stirling 公式 3） 当 x 时 ， )1(1(2)1( oxexxx . 引理 33 设 0 为一常数 ， , baLu ，则分数阶积分 dttutxxa11 在 , ba 上几乎处处存在 。 进一步 ， 该变上限积分在 , ba 上是 Lebesgue 可积的 。 定义 34 设 X 为一 Banach 空 间 ， P 为 X 中一个非空凸集 ， 满足条件 1）

8、 ;0, PxPx 2） .0, xPxPx (0表示 X 的零元 )， 则称 P 为 X 中的锥 。 如果 P 为 X 中的锥 ， 则可定义 X 中的半序 “ ”为 .Pxyyx 定义 44 设 P 为 X 中的锥 ， 1）如果存在常数 N ， 满足 yNxyx 0 ， 则称 P 是正规的； 2）如果 PPX ， 则称 P 是再生的 。 2 主要结论 本节给出了计算分数阶积分算子谱半径的详细过程 ， 分为两种情况进行 讨论。 定理 1 假设 0 为一常数 ， 定义从 , baL 到 , baL 的分数阶积分算子为 ,1 1 baLudttutxxTu xa ， 则 0Tr . 证明 ： 由引

9、理 3 可知 ， ,: baLbaLT ， 易见 T 为线性算子 。 以下分两个步骤证明 0Tr . 第一步：利用数学归纳法证明有下式成立 ： dttutxnxuT nxan 11 . （ *） 事实上 ， 1） 当 1n 时 ， 由题设知 （ *） 式显然成立 ； 2） 假设当 kn 时 ，（ *） 式仍然成立 ； 3） 当 1kn 时 ， dttuTtxxuTTxuT kxakk 11 1 dtdssustktx ktxa 101 11 d s d tsutxstk xa ta k 111 d t d ssutxstk xa xs k 111 dttutxk kk kxa 111 dttu

10、txk xa k 1111 . 这里令 sxzst ， 并且利用 Beta 函数的性质可得下式成立 ： dzzztxdtsttx kkkxs 1110111 1 1111 , kktxk kktx 因此 ， 当 1kn 时 ，（ *） 式依然成立 ， （ *） 式得证 . 第二步 ， 证明 0Tr . 因为 dttutxnxuT nxan 11 ，所以 dxxuTT ba nun )(s u p1 d t d xtutxn xa nbau )()()( 1s u p 11 d x d ttutxn ba bt nu )()()( 1s u p 11 dttun tbn banu )()()(

11、1s u p1 un abnu )1()(sup1 )1( )( n abn . 由 Stirling 公式可知 enonenn nn nnnn lim)1(1(2lim)1(lim . 于是 ， 利用 Gelfand 公式可得 01)(lim1limlim 11 nnnnnnnn nabnTTTr. 因此 ， 0Tr . 定理 2 设 0 为一常数 ， 定义从 , baC 到 , baC 的分数阶积分算子为 ,1 1 baCudttutxxTu xa ， 则 0Tr . 证明 ： 分两个步骤来证明结论 。 第一步 ， 证明 ,: baCbaCT . 事实上 ， 对于任意取定的 , baCu

12、，设 , bahxx . 当 0,10 h 时 ，有 )()( xTuhxTu xahxa dttutxdttuthx )()()(1)()()(1 11 hxxxa dtthxudttxthxu 111 )()()()()( huKu)()( 1 . 对于 1K ， 有如下估计 ： xa dttxhtxK )()( 111 dsssh h ax )1( 10 1 1）如果 hax 0 ， 则有 hdssshK 101 )1( . 2）如果 hax ， 那么 xa dttxhtxK )()( 111 dssshdsssh h ax 1 11110 1 )1()1( dsshh h ax 1 2

13、)1( dsshh 1 2)1( h)11( . 综合 1） ， 2）可知 0)()(lim0 xTuhxTuh. 同理 ， 可以证明 0h 时 ， 也有 0)()(lim0 xTuhxTuh.于是知 , baCTu . 第二步 ， 证明 0Tr . 由定理 1 的证明过程可知 dttutxnxuT nxan 11 ，所以 xanbxaun dttutxnT111m a xs u p xanbxa dttxn11m a x nbxa axnn )(11m a x nabn )(11 . 类似定理 1 可知 ， 此时也有 0Tr . 3 应用 利用第 2 节所获结果 ， 可以得到一些有意义的结论

14、 ， 为此 ， 首先介绍文 献 5中定理 3.2的一个推论 。 引理 4 设 X 为一 Banach 空间 ， P 为 X 中的正规、再生锥 ， “ ”是由锥 P 导出的半序 ，如果 T 是 X 到 X 的增映射 ， 且存在非负线性算子 XX : ， 1)( r ， 使得 xyXyxyxTyTx ,)( ， 则 T 在 X 中存在唯一不动点 x ， 且对任意 Xx ， 均有 xxT nn )(lim . 例 1（分数阶微分方程求解）考察 如下 分数阶微分方程的初值问题 ： 00 )0( )(,()( uu tutftuDC 其中 ， RRf 1,0: 连续 ， 且存在常数 0k ，当 vut

15、,1,0 时 ， )(),(),(0 vukvtfutf ； 0DC 表示 Caputo 导数 ； )1,0( 为常数 。 注意到方程的解满足积分方程 ： dssusfstutu t )(,()()(1)( 0 10 ， 定义 1,0C 上的算子 T 为 dssusfstutTu t )(,()()(1)( 0 10 ， 则 T 映 1,0C 到 1,0C ， 且为增算子 。 定义 1,0C 上的锥 1,0,0)(1,0 ttxCxP ，则 P 为 X 中的正规、再生锥 。 由于 xyXyxyxTyTx ,)( ， 其中 ， 1,0,10 Cudttutxkxu x . 由定理 2 知， 0)

16、( r ， 因此， T 在 1,0C 中有唯一不动点 ， 即原方程有唯一解 。 例 2（一个新的分数阶积分的 Gronwall不等式）考察积分不等式 dssuspsttgtatu t )()()()()()( 0 1 ， 其中 ， au, 为 R 上的非负局部可积 ； pg, 为 R 上的非负连续函数 ， )1,0( 为常数 对于任意的 0A ， 定义 ,0 AL 上的映射 T 如下 ： dssuspsttgtatTu t )()()()()()( 0 1 . 由引理 3， 则 T 映 ,0 AL 到 ,0 AL ， 且为增算子 。 定义 ,0 AL 上的锥 ,0.,0)(,0 AteatxA

17、LxP ，则 P 为 X 中的正规、再生锥 。 由于 xyXyxyxTyTx ,)( ， 其中 ， ,0,10 ALpdttptxMxp x . 这里 )()()(m a x,0 tptgM At . 由定理 1 知， 0)( r ， 因此， T 在 ,0 AL 中有唯一不动点，记为 u ， 且有 uuT nn )(lim. 由于 Tuu ，注意到 T 为增算子 ， 因此， uuTTuu )(2 . 取 )(ta 为迭代的初始值 ， 可以计算得到 )(0 tau n n 其中 )()(),()( 10 aatata nn . 这一结果推广了文献 6的定理 1. 特别 地， 当 1)(,)( t

18、pbtg 时， dssastnbtau t n nn 0 1 1 )()()( )()( . 这就是文献 6推论 1. 利用这些结论，可以进一步探讨分数阶微分方程解 的 有界性、稳定性及 Heyers-Ulam 稳定 性。 参考文献 (References) 1 Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I., Fractional Integrals and Derivatives: Theory and ApplicationsM. Switzerland; Philadelphia, Pa., USA: Gordon and Breach Science P

19、ublishers, 1993. 2 张恭庆，林源渠，泛函分析讲义（第一版，上册） M.北京：北京大学出版社， 2003. Zhang G Q, Lin Y Q. Functional Analysis(First Edition,Volume1)M. Beijing: Beijing University Press,2003. 3 Diethelm K., The Analysis of Fractional Differential Equations: An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of

20、Caputo TypeM,Springer-Verlag,2010. 4 郭大钧 .非线性分析中的半序方法 ,济南 :山东科学技术出版社， 1999. Guo D J. Partial Order Method in Nonlinear Analysis M.,JiNan: Shandong Science and Technology Press,1999. 5 Feng Y., Wang H., Characterizations of reproducing cones and uniqueness of fixed points, Nonlinear Anal.74(2011)5759-5765. 6 Ye H., Gao J., Ding Y. , A generalized Gronwall inquality and its applications to a fractional differential equation, J Math Anal. Appl 328(2007)1075-1081.