1、可交换矩阵的几个充要条件及其性质在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩 有意义时,矩阵 未必有意义,即使 , 都ABBAAB有意义时它们也不一定相等.但是当 , 满足一定条件是,就有 ,此时也称 与是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其B常见的性质.本文矩阵均指 n 阶实方阵. 1 矩阵可交换成立的几个充分条件定理 1.1(1)设 , 至少有一个为零矩阵,则 , 可交换; ABAB(2)设 , 至少有一个为单位矩阵,则 , 可交换; (3)设 , 至少有一个为数量矩阵,则 , 可交换;
2、 (4)设 , 均为对角矩阵,则 , 可交换; (5)设 , 均为准对角矩阵,则 , 可交换; ABAB(6)设 是 的伴随矩阵,则 与 可交换; * *(7)设 可逆,则 与 可交换; 1(8)设 ,则 , 可交换. E证 (1)对任意矩阵 ,均有 , 表示零距阵,所以 , 至少有一个为零矩阵AOAAB时, , 可交换; AB(2)对任意矩阵 ,均有 , 表示单位矩阵，所以 , 至少有一个为单位矩E阵时, , 可交换; (3)对任意矩阵 ,均有 ,k 为任意实数,则 为数量矩阵,所以 ,AAk)()(kEA至少有一个为数量矩阵时, , 可交换; BB(4),(5)显然成立; (6) ,所以矩
3、阵 与其伴随矩阵可交换; E*(7) ,所以矩阵 与其逆矩阵可交换; A11(8)当 时, , 均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知 , 可交换. B AB定理 1.2(1)设 ,其中 , 为非零实数, 则 , 可交换, B(2)设 ,其中 为正整数, 为非零实数,则 , 可交换. EAmm证 (1)由 可得 ,即 ,故BAEBE)( EBA)(1依定理 1.1(8)得 ,于是 ,所以)(1A; ABB(2)由 得 ,故依定理 1.1(8)得 ,于是EmEBm)(1EABm)(1,所以可得 . Am定理 1.3(1)设 可逆,若 或 或 ,则 , 可交换; AOAB(2)设 , 均可逆,若
4、对任意实数 ,均有 ,则 , 可交换. BkkE)(A证 (1)若 ,由 可逆得 ,从而 ,故 ; OB)(11 BA若 ,同理可得 ,故 ; AA)(1 B若 ,则 ,故 . BE(2)因 , 均可逆,故由 得 可逆,且 ,则Bk)(kAkE1)(, )()( 11 ABAA两边取转置可得 .或由, )()()()( )(1 1112 11 ABkEAkBkEkA两边取逆可得 . 2 矩阵可交换成立的几个充要条件定理 2.1 下列均是 , 可交换的充要条件: AB(1) ; *)(B(2) ; (3) ; )()(2 BABAA(4) . 22)(BABA证 (1) 因为 ,两边同时取伴随矩
5、阵可得 ; *)( BA因为 ,两边同时取伴随矩阵可得 ; )*)(A(2) 因为 ,两边取转置可得 ; )(BAB因为 ,两边取转置可得 ; ) )(3) 因为 , ,22)(A )(2BA所以 ; BA同理由 ,可证 ,22)(B因为 ,且 ,)2)(AA所以 ; )(2BA同理由 ,可证 ; 22B)(2BA(4) 因为 ,又由条件知 ,所以)(A 22)(; BA因为 , ,所以 ; )22)( BB 22)(BAA定理 2.2 可逆矩阵 , 可交换的充要条件是 . A11)证 因为 ,两边取逆可得 ; )11)(因为 ,两边取逆可得 ; B11)(BA定理 2.3(1)设 , 均为(
6、反)对称矩阵,则 , 可交换的充要条件是 为对称矩阵; A AB(2)设 , 有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则 , 可交换的充要条件是为反对称矩阵. AB证 (1)设 , 均为对称矩阵,由定理 2.1(2) ,因此 为对称矩阵; BBA)(若 , 均为反对称矩阵,则 ,因此 也为对称矩阵. BA)(2)若 , 中有一个为对称矩阵,不妨设 为对称矩阵,则 为反对称矩阵,则A ,)()( AB因此 为反对称矩阵. AB定理 2.4 设 , 均为对称正定矩阵,则 , 可交换的充要条件是 为对称正定矩ABAB阵. 证 充分性由定理 2.3(1)可得,下面证明必要性. 因 , 为对称正定矩阵,故
7、有可逆矩阵 , ,使 , ,于是ABPQQ,AB1)(PAB所以 为对称正定矩阵,其特征值全为正数.而 与 相似,从而 的特征P1 1AB值也全为正数,因此 为对称正定矩阵. 3 可交换矩阵的一些性质定义 3.1 (1)幂等矩阵:若 为矩阵,且 ,则 幂等矩阵.AA2(2)幂零矩阵:若 为矩阵,且 ,则 为幂零距阵.)(*ZkO(3)幂幺矩阵:若 为矩阵,且 , 为单位矩阵,则 为幂幺矩阵.E性质 3.1 设 , 可交换,则有: AB(1) ; )( )B)(1-m211-m2Am(2) (矩阵二项式定理). nkkBCBA0)(3) , , ,其中 都是正整数; mk)(lllkm,(4)
8、,其中 是 的多项式,即 与 的多项式可交换; ff)()(f AB证 (1)对 用数学归纳法可证得.当 时,明显成立.1假设当 时,有km ),)(121kkk BABA下证当 时结论也成立.1 ),( )()(112111BABAkk kkkkk 故对一切正整数 ,结论成立.m(2)用数学归纳法当 时, ,结论成立. 1nBABA11)(假设当 时,有k ,C)( 1-k1kkk BA下面证当 时结论也成立.由 得 ,于是1nBAijji ,)(C)( )() 11ik1 -k ikikkk kAC AB而 . ikiki CkiiiiiC 11 )!(!)(!)()!)!( 所以 . 1
9、1k11)( kkk BBBA故对一切正整数 ,二项式定理成立. n（3）由 可得, ABmm)1( 个个个 mmA同理可证 , .kkBA)(ll(4)由(3)可证得.性质 3.2 设 , 可交换,(1)若 , 均为幂等矩阵,则 , 也为幂等矩阵; ABAB(2)若 , 均为幂零距阵,则 , 均为幂零距阵; (3)若 , 均为幂幺矩阵,则 也为幂幺矩阵; 证 (1)由 , , , ,及22 AB22)(,2)( 2ABA即可证得; (2)设 , ,取 ,则 ,即 为幂零距阵;令OkBl maxlkhOBAhh)(,则 ,所以 为幂零距阵. 1lmOBACAkm0)( (3)由 , , , 可
10、证得; EEkk2)(性质 3.3 设 , 可交换,若 , 分别为 阶 Hermite 正定矩阵和非负定矩阵,则ABABn为 Hermite 非负定矩阵; AB证 因为 ,所以 是 Hermite 矩阵. H)(又因为 ,所以存在 阶可逆 Hermite 矩阵 使 .于是0nC2A,)(1BBH则 与 具有相同的特征值.由 知 ,故 的特征值均为非负数,ABCH00C从而 的特征值均为非负数.即 . A性质 3.4(1) 与 的特征多项式相等,即 ,从而 与 的特征值B)()(BAAffBA也相同(包括重数也一致). (2)多项式 与 相等,即 . |AE| |E推论 3.4.1(1) 与 的
11、特征多项式相等. B(2) 与 的特征多项式相等. 证 因为 , ,由性质 3.4|)1(|)(| ABEAE |)1(|)(BAEAE可知 ,所以 . |)1(|B |同理可证 . |)(|)(|推论 3.4.2(1) 与 的特征多项式相等. A(2) 与 的特征多项式相等. AB证 (1)因为 , .根据性质 3.4 知 与)(EBAEB)()(EBA的特征多项式相等,故 与 的特征多项式相等. E)(A同理可证 与 的特征多项式相等. AB性质 3.5(1)矩阵 与 的秩相等 ,即秩 =秩 .BE)0()(ABE)(A特别地,秩 =秩 . )()(2) 与 的特征矩阵的秩相等 ,即秩 =
12、秩 .特别地, 秩AB)()()(=秩 . )(E)(性质 3.6 若 , 中有一个是可逆的,则 与 相似. ABAB证 不妨设 可逆,由 知, 与 相似. )(1性质 3.7(1) 与 同为可逆矩阵或同为不可逆矩阵. (2) . |BA(3) 与 的迹相等,即 . )()(BAtrt性质 3.8(1) 不可能相似于 . 0kE(2)对可逆矩阵 ,不可能有 . A证 (1)因为 ,而 (当 时),由于相似)()()( BAtrtBtr 0(knEtr矩阵的迹相等,所以 不可能相似于非零矩阵 . (2)若存在可逆矩阵 ,使 则 ,于是 ,即 与1 EBA1相似,从而 这是不可能的. EB)()(
13、trntrEtr性质 3.9(1)设 , 同为(反)对称矩阵,则 是对称矩阵, 是反对称矩ABBA阵. (2)设 , 有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则 是反对称矩阵,是对称矩阵. BA推论 3.9.1(1)设 , 同为实(反)对称矩阵,则 的特征值的实部为零.(2)设 , 有一为实对称矩阵,另一个为实反对称矩阵,则 的特征值的实部为BA零. 证 (1)由性质 3.9(1)知 是实反对称矩阵.因为实反对称矩阵的特征值只能是BA零或纯虚数,所以 的特征值的实部为零.AB同理可证(2).参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)M.高等教育出版社，2003.2戴华.矩阵论M.北京:科学出版社,2001.3戴立辉等.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质J.华东地质学院学报.2002:353-355.4闫家灏,赵锡英.可交换矩阵J.兰州工业高等专科学校学报.2002:51-54.5李瑞娟,张厚超.可交换矩阵浅析J.和田师范专科学校学报.2009:199-200.
