1、四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。1、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ，则体对角线长为cba,，几何体的外接球直径 为体对角线长 即22cbalR2l2cbR【例题】：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为ABCD，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。3,61，解：因为：长方体外接球的直径为长
2、方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为 的长AE即： 224DCABR所以16312 R球的表面积为 42S2、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上， 且 ，OBCA7P， ， ,求球 的体积。5PB1C0A解： 且 ， ， ， , A7P5B1PC0因为 所以知22722AA CDB E所以 所以可得图形为：PCA在 中斜边为BRt在 中斜边为 A取斜边的中点 ，O在 中ABCRtC在 中P所以在几何体中 ，即 为该四面体的外接球的球心OAB521AR所以该外接球的体积为
3、3504RV【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。3、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥 中， ， ，BCDAABC面120，求该棱锥的外接球半径。2CADB解：由已知建立空间直角坐标系)0(， )2(， )20(，D)031(，C由平面知识得 设球心坐标为 则 ,由空间两点间距离公式知),(zyxODOCBA2222zyx 2222 )(zyxzyx)3()1(zyx解得 zOABCPABCDzx y所以半径为 321122）（R【结论】：空间两点间距离公式： 212121 )()()( zyxPQ4、四面体是正四面体 处理球的“内
4、切” “外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。一、棱锥的内切、外接球问题例 1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图 1 所示，设点 是内切球的球心，正四面体棱长为 由图形的Oa对称性知，点 也是外接球的球心设内切球半径为 ，外接球半径为 rR正四面体的表面积 2234aS球正四面体的体积 222131
5、BEAEVBCDA 2213aa， BCDAVrS球3aSVrBCDA12633球在 中， ，即 ，得 ，得EORt22EO2rRaR46r3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径4h，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。43hBERt例 2设棱锥 的底面是正方形，且 ， ，如果ACDMMDAAB的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.AD解： 平面 ，B,图 2图 1由此，面 面 .记 是 的中点，MADCEAD从而 . 平面 ，EFM设球 是与平面 、平面
6、、平面 都相切的球 .如图 2，得截面图OBC及内切圆F不妨设 平面 ，于是 是 的内心.FOE设球 的半径为 ，则 ，设 , .rMFS2aEAD1AMDS,2,2aMFaE 22ar当且仅当 ，即 时，等号成立.2当 时，满足条件的球最大半径为 . EAD12练习：一个正四面体内切球的表面积为 ，求正四面体的棱长。 （答案为： ）32【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。二、球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为 ，球半径为 。aR如图 3，截面图为正方形 的内切圆
7、，得 ；EFGH2aR2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4 作截面图，圆 为正方形 的外接圆，易得 。Oa3 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 5，以对角面 作截面1A图得，圆 为矩形 的外接圆，易得 。CA1 aOAR231图 3 图 4图 5例 3.在球面上有四个点 、 、 、 .如果 、 、 两两互相垂直，且PABCPABC,那么这个球的表面积是 _.aCPBA解：由已知可得 、 、 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点 的一条对角线 ，则 过球心 ，对角线DOaD3 2234aS球练习：一
8、棱长为 的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱2适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为 ）33264aV4构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例 4.已知三棱柱 的六个顶点在球 上，又知球 与此正三棱柱的 51CBA1O2个面都相切，求球 与球 的体积之比与表面积之比。1O2分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图 6，由题意得两球心 、 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱 和它们12 1A的球心作截面，设正三棱柱底面边长为 ，则a，正三棱柱的高为 ，由aR632Rh32中，得ODAt122221 15633aaa， ，R51:2121RS1:5:21V练习：正四棱柱 的各顶点都在半径为 的球面上，求正四棱柱的1DCBAR侧面积的最大值。 （答案为： ）24【点评】 “内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。勾股定理知，假设正四面体的边长为 时，它的外接球半径为 。aa46图 6
