1、第 1 页 共 3 页第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义 1 设 在 A 中任取 k 行 k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。2. 矩阵的秩定义 2 设 有 r 阶子式不为 0，任何 r+1 阶子式(如果存在的话)全为 0 , 称 r 为矩阵 A 的秩，记作 R(A)或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至
2、少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质，(3) R(A) m, R(A) n, 0 R(A ) min m , n .(4) 如果 Ann , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分必要 条件是 R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。 例 1 设 为阶梯形矩阵，求 R(B)。解 由于 存在一个二阶子式不为 0，而任何三阶子式全为 0，则 R(B) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩= 台阶数。例如一般地，
3、行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数” 非零行的行数。nmijaA),(k10145643218243C43C102D1056323nmnkmcnija ,rD.T, 0.072431B20013A012B10C25340D1235807ER3RRE第 2 页 共 3 页例 2 设 如果 求 a .解 或例 3则 2、用初等变换法求矩阵的秩定理 2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即 则注： 只改变子行列式的符号。是 A 中对应子式的 k 倍。是行列式运算的性质。求矩阵 A 的秩方法：1）利用初等行变换化矩阵 A 为阶梯形矩阵 B2）数阶梯形矩阵 B 非零行的行数即为矩阵 A 的秩。例 4 求解R(A
4、) = 2 aA1,3AR3R0)1(221a2KA13R33(1)1AKB)(Rjir.ikj3216340A.R 12r 21040214第 3 页 共 3 页例 5三、满秩矩阵定义 3 A 为 n 阶方阵时，称 A 是满秩阵， （非奇异矩阵）称 A 是降秩阵， （奇异矩阵）可见：对于满秩方阵 A 施行初等行变换可以化为单位阵 E, 又根据初等阵的作用：每对 A 施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘 A, 由此得到下面的定理.定理 3 设 A 是满秩方阵，则存在初等方阵使得对于满秩矩阵 A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E .例如A 为满秩方阵。关于矩阵的秩的一些重要结论：定理
5、 5 R(AB) R(A), R(AB) R(B), 即 R(AB) minR(A)，R(B )设 A 是 矩阵，B 是 矩阵，性质 1性质 2 如果 A B = 0 则性质 3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。性质 4 设 A,B 均为 矩阵，则例 8 设 A 为 n 阶矩阵，证明 R（A+E）+R（A-E）n证： （A+E）+（E-A ） =2E R（A+E）+ R（ E-A ） R （2E）=n而 R（ E-A ）=R （ A-E ） R（A+E）+ R（A-E ）n,2,6321， 求）（且设 ARA5 45803101504321,2)(R10,R0.,21sP APs121,ARn213A3043201E10nmtn.)().(
