1、 第 8 讲 变倍问题专题简介1、 所谓“变倍问题” ，是指两个数量之间的倍数关系，随着一个或者两个数量的增加或者减少而发生改变的一类应用题。解答“变倍问题”一般要用到这样一个规律：甲数是乙数的 n 倍，如果乙数增加或者减少,那么甲数就要增加或者减少 mn，才能使甲数仍是乙数的 n 倍。2、 变倍问题牢固树立抓“不变量”的思想， 变倍问题中的不变量，一般有三类，如下：“甲是乙的 2 倍，甲是丙的 3 倍”不变量是甲 “甲是乙的 3 倍，甲给乙 2，甲变成乙的 2 倍”不变量是甲、乙之和（给来给去和不变） “甲是乙的 3 倍，甲、乙都减少 2，甲变成乙的 4 倍”不变量是甲、乙之差（同增同减差不
2、变）3、解题方法：图像法、假设法例题精讲一、图像法例 1、有甲、乙二人，今年甲的年龄是乙的 5 倍。22 年后，甲的年龄比乙的年龄的 2 倍少 16 岁。今年甲、乙二人各多少岁？分析：根据题意画出如右的线段图：如果乙今年的年龄是一倍量，那么乙在 22 年后的年龄就是一倍量多 22 岁，甲 22 年后的年龄就是5 倍量多 22 岁。甲的年龄比乙的年龄的 2 倍少 16 岁，我们画出乙的 2 倍：同样，再去掉两个人的相同部分：这时，甲剩下 3 倍量，乙剩下 6 岁，由此可得，一倍量为 63=2 岁。所以，乙今年的年龄为 2 岁，甲今年的年龄就是 25=10 岁。【练习一】1、7 年前 张老师的年龄
3、是王英的 21 倍，11 年后张老师的年龄是王英的 3 倍，问今年张老师和王英各多少岁？ 分析：用画线段的方法来解答比较直观。先画出 7 年前的情况：7 年前到 11 年后，一共经过了 71118（年） ，这 18 年中王英增长了 18 岁，张老师的年龄也增长了18 岁。在上图的基础上添加画出 11 年后的情况：11 年后张老师的年龄是王英的 3 倍，即王英的 3 倍长应该和张老师的一样长。因此，我们将代表王英年龄的线段再画出 2 个一样的，并使得它和代表张老师年龄的线段对齐。然后将两人相同部分同时去掉，这时我们可以看到，王英还剩下 2 个 18 岁长的线段，张老师还剩下 213=18 倍线段
4、。他们两个的剩下部分相等，说明 18 倍量就等于 2 个 18 岁，即 36 岁。所以，一倍量为 182182 （岁） 。那么，22142（岁） ，279（岁） ，42749（岁） 。2、 已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的 3 倍。小白兔吃了 13 个胡萝卜，小黑兔吃了 3 个胡萝卜后，小白兔与小黑兔所剩的胡萝卜的个数相同。求小白兔和小黑兔原来储藏胡萝卜多少个？分析：用线段图表示题目里的已知条件和所求问题。从图上可以看出，小白兔吃了 13 胡萝卜，小黑兔吃了 3 个胡萝卜后，小黑兔与小白兔所剩胡萝卜的个数一样多，也就是说原来小白兔比小黑兔多 13-3=10（个）胡萝卜，正好是小黑兔
5、储藏胡萝卜的（3-1）倍，把 10 个胡萝卜平均分成 2 份，每份就是小黑兔储藏胡萝卜的个数，然后可以求出小白兔储藏胡萝卜的个数。解：（13-3）（3-1）+3=8（个）小黑兔， 83=24（个）小白兔二、假设法例 2、师生二人，今年老师的年龄是学生的 4 倍。5 年后，老师的年龄是学生的 3 倍。今年师生二人各多少岁？分析一：今年老师的年龄是学生的 4 倍。5 年后，学生的年龄增加 5 岁,这时如果老师的年龄增加54 岁，那么老师的年龄仍将是学生的 4 倍。而实际上，老师的年龄只增加 5 岁，比假设少增加（54-5）岁，也就少了学生 5 年后年龄的（4-3 ）倍。因此学生 5 年后的年龄是（
6、54-5）（4-3）=15（岁） ，那么学生今年是 15-5=10（岁） ，老师今年是 104=40（岁） 。注：上面的解题是依照题目中条件出现的先后顺序按照由前向后发展的思路展开的，我们称之为“正顺序顺向思维” 。若用“反顺序逆向思维”(按照由后向前还原的思路展开) 解答变倍问题则会显得更简便。分析二：5 年后，老师的年龄是学生的 3 倍。在此基础上，如果学生再减去 5 岁，老师再减去53 岁，那么学生的年龄等于原来年龄，老师的年龄比原来减少（53-5）岁，此时老师的年龄仍是学生的 3 倍。而实际上，老师的年龄是学生的 4 倍。故知：（53-5）岁是学生今年年龄的（4-3 ）倍。因此学生今年
7、是（53-5）（ 4-3）=10（岁） ，那么老师今年是 104=40（岁） 。此题还可以用“抓不变量”的方法来解。分析三：因为今年与 5 年后，师生二人的年龄差不变，所以可以把这个年龄差转化为“标准量” 。而今年学生的年龄是这个年龄差的 1/（4-1） ，5 年后学生的年龄是这个年龄差的 1/（3-1） 。故知：5 岁是这个年龄差的（1/（3-1）-1/（4-1） ） 。因此这个年龄差是 51/（3-1）-1/（4-1 ） =30（岁） 。那么学生今年是 301/（4-1）=10（岁） ，而老师今年是 104=40（岁） 。【练习 1】1、苹果的个数是梨子的 3 倍，如果苹果加上 6 个，梨
8、子也加上 6 个，此时苹果个数是梨子的 2 倍，问:原来苹果、梨子各多少个？ 2、在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的 3 倍，如果中学增加 450 棵，小学增加 400 棵，则中学是小学的 2 倍。求中、小学原来各植树多少棵？例 3.某工厂，甲车间人数是乙车间人数的 3 倍。根据工作需要，现在从乙车间调出 8 人到甲车间去，此时甲车间人数是乙车间人数的 5 倍。两个车间原来各有多少人？“正顺序顺向思维”解一：甲车间人数是乙车间人数的 3 倍。从乙车间调出 8 人，此时如果从甲车间调出 83 人，那么甲车间人数仍将是乙车间人数的 3 倍。而事实上，甲车间不但没有调出 83 人，反而调入
9、了 8 人，比假设多（83+8）人，也就多了乙车间调出 8 人后人数的（5-3）倍。因此乙车间调出 8 人后有（83+8）（5-3 ）=16（人） 。那么乙车间原有 16+8=24（人） ，甲车间原有 243=72（人）。“反顺序逆向思维”解二：调动 8 人后，甲车间人数是乙车间人数的 5 倍。在此基础上，如果乙车间调入 8 人，甲车间调入 85 人，那么乙车间人数等于原来人数，甲车间人数比原来人数多（85+8）人，此时甲车间人数仍是乙车间人数的 5。而事实上，甲车间人数是乙车间人数的 3 倍。故知：（85+8）人是乙车间原来人数的（5-3 ）倍。因此乙车间原来有（85+8）（5-3）=24（
10、人） ，那么甲车间原来有 243=72（人） 。“抓不变量”解三：因为调动前后，两个车间的人数和不变，所以可以把这个人数和转化为“标准量” 。而乙车间的人数是这个人数和的 1/（3+1） ，调出 8 人后，乙车间的人数是这个人数和的 1/（5+1） 。故知：8 人就是这个人数和的（1/ （3+1）-1/（5+1） ） 。因此两个车间一共有 8（1/ （3+1）-1/（5+1） ）=96（人） 。那么乙车间原来有 961/（3+1）=24（人） ，而甲车间原来有 243=72（人） 。注：像这样，例 1 可以找出不变的年龄差，例 2 可以找出不变的人数和。而更多的“变倍问题”则不能找出不变量，只
11、能假设倍数不变，用“正顺序顺向思维”或者“反顺序逆向思维” 解答。【练习 3】.1、两堆煤，第一堆的重量是第二堆重量的 5 倍。第一堆用去 36 吨，第二堆用去 4 吨，剩下的重量，第一堆是第二堆的 3 倍。两堆煤原来各有多少吨？“正顺序顺向思维”解一：第一堆重量是第二堆的 5 倍，第二堆用去 4 吨，如果第一堆用去 45吨，那么第一堆剩下的重量仍是第二堆剩下重量的 5 倍。而事实上，第一堆比假设多用去（36-45）吨，也就少剩下第二堆剩下重量的（5-3）倍。因此第二对剩下的重量是（36-4 5）（5-3）=8（吨） 。那么第二堆原来有 8+4=12（吨） ，第一堆原来有 125=60（吨）
12、。“反顺序逆向思维”解二：第二堆原来有（36-43）（5-3 ）=12（吨） ，第一堆原来有 125=60（吨）。注：当然，对于复杂的或者变式的变倍问题，有的只能用“正顺序顺向思维”解答，而有的就只能用“反顺序逆向思维”解答，这需要具体问题具体分析。2、丁晓原有书的本数是王阳的 5 倍，若两人同时各借出 5 本给其他同学，则丁晓书的本数是王阳的 10倍，两人原来各有书多少本？3、两堆煤，第一堆是第二堆的 2 倍，第一堆用去 8 吨，第二堆用去 11 吨，第一堆剩下的重量是第二堆的 4 倍。求第二堆煤原来是多少吨？例 4、王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的 3 倍多 6.40 元，若两个人各买了一
13、本 4.40 元的故事书后，王明的钱就是陈刚的 8 倍，陈刚多少元？分析：假设仍然保持王明的钱比陈刚的 3 倍多 6.40 元，则王明要相应地花去 4.403 13.20 元，但王明只花去了 4.40 元，比 13.20 元少 13.204.408.80 元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的3 倍多 6.40+8.8015.20 元，而题中已告诉：买书后王明的钱是陈刚的 8 倍，所以，15.20 元就对应着陈刚花钱后剩下钱的 835 倍。原来有零花钱:6.40+（4.40 34.40 （83）+4.40 7.44（元）【练习二】1、甲书架上的书比乙书架上的 3 倍多 50 本，若甲、乙两个
14、书架上各增加 150 本，则甲书架上的书是乙书架上的 2 倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？2、上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的 2 倍多 54 人，本学年马村中学增加了 20 人，牛庄小学减少了 8 人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的 4 倍少 26 人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？3、箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的 3 倍多 2 粒，每次从箱子里取出 7 粒白球和 15 粒红球，若干次后，箱子里剩下 3 粒白球和 53 粒红球，那么，箱子里白球原有多少粒？【奥 数 天 天 练】【星期一】1、甲数是乙数的 4 倍。如果甲数增大 20，乙数增大 70，则甲数是
15、乙数的 2 倍。问：甲、乙两数各是多少？ 【星期二】2、今年爸爸的年龄是小光年龄的 5 倍，6 年后，爸爸的年龄是小光年龄的 3 倍，问今年爸爸、小光的年龄各多少岁 【星期三】3、两个工程队，甲队的人数是乙队人数的 3 倍，因工作需要，从乙队调出 9 人进入甲队，这时，甲队的人数是乙队人数的 6 倍，问两个工程队原来各有多少人？ 【星期四】4、学生和老师去春游，已知男生和女生一样多，男生人数是男老师的 5 倍，女生人数是女老师的 4 倍，且男老师比女老师少 10 人，请问：去春游的学生一共有多少人？【星期五】5、四年级有两个兴趣班，A 班和 B 班。如果从 A 班调 14 人到 B 班，那么 A 班人数就是 B 班的一半，如果从 B 班调 11 人到 A 班，那么 A 班人数是 B 班的 3 倍，那么 A 班和 B 班各有多少人？
