1、教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 11 页 授课章节 第二章 矩阵 2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算 目的要求 理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算 重 点 矩阵的运算难 点 矩阵的乘法2.1 矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即 Cramer 法则。但是 Cramer法则有它的局限性：1. 系数行列式 ；0D2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。接下来要学习的还是关于解线性方程组，即 Cramer 法则无法用上的用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩
2、阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例 1 某种物资有 3 个产地，4 个销地，调配量如表 1 所示表 1 产地销地调配情况表销地产地B1 B2 B3 B4A1 1 6 3 5A2 3 1 2 0A3 4 0 1 2那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日
3、第 次 第 12 页 2104356在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。定义 2.1 由 个数 排成的 行 列数表mnija(1,2;1,2)mjn mn（2.1）121212nmmnaa称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵。这 个数称为矩阵的元素，其中 称mnnija为矩阵的第 行第 列元素.（2.1）式也简记为 或 . 有时ij ()ijmnaA()ijaA矩阵 A 也记作 .mn注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，
4、都指实矩阵.2.当 时，称 矩阵为长方阵（长得像长方形） ；n3.当 时，称矩阵为 阶方阵（长得像正方形） ，简称方阵；m=n4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵. 如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即()ijaA()ijbBijij(1,2;1,2)j 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作A B5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O . 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例 2 设 ， ，已知 A B，求 .12365xzA1368xyzB,xyz教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 13 页 【解】 因为 ， ， ，所以2x
5、2y58z1,2,二、几种特殊矩阵（1） 矩阵 ，当 时，即mn()ijmnaA121212nnna称为 n 阶方阵，记为 . 特别地，一阶方阵 .nA()a方阵中从左上角元素 到右下角元素 的这条对角线称为方阵的主对角线，从1an右上角元素 到左下角元素 的这条对角线称为方阵的副对角线。1nan（2）形如 12120nnaaA的 阶方阵称为上三角矩阵.n（3）形如 12120nnaaA的 阶方阵称为下三角矩阵.n（4）形如教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 14 页 1200n的 阶方阵称为 n 阶对角矩阵，记为 .n 12diag,（5）形如 00A的 阶方阵称
6、为 n 阶数量矩阵。n特别地，当 时，即矩阵110称为 n 阶单位矩阵，记为 .nE应该注意到，单位矩阵是数量矩阵，数量矩阵是对角矩阵，而反之则未必成立. 当然零矩阵也是数量矩阵.（6）只有一行的矩阵 112()nnaaA称为行矩阵，又称行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 12(,)na（7）只有一列的矩阵 12nnbB教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 15 页 称为列矩阵，又称列向量.就向量而言，称其元素为分量，分量的个数称为向量的维数. 例如，是 4 维行向量， 是 维列向量.(2,15)1243矩阵 121212nmmnaaA的每一行12()iiin
7、aa (1,2)都是 维行向量；A 的每一列n12jmja(,2)n都是 维列向量.m（8）分量都是 0 的向量称为零向量，记为 T(0,)三、矩阵的线性运算1.矩阵的加法定义 2.2 设有两个 矩阵 和 ，矩阵 A 与 B 的和记为 AB ，mn()ijaA()ijbB规定教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 16 页 11212 212() nijijmmmnababb AB两个同型矩阵的和即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 值得注意的是：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算.矩阵加法满足下列运算规律（设 都是 矩阵）：,ABCmn（1） .AB
8、（2） .()()C（3） .O2.矩阵的数乘定义2.3 设有 矩阵 ， 为任意常数，数 与矩阵A 的乘积称为矩mn()ijaAkk阵的数乘，记作 kA 或 Ak，规定为 1212212nmmnkkaakkk即矩阵的数乘就是用这个数乘矩阵的所有元素.设 ，记()ijaA()ijaA称为矩阵 A 的负矩阵. 显然有 ()O由此规定矩阵的减法为 ()AB即两个同型矩阵的减法为对应位置元素相减.数与矩阵的乘法满足以下运算规律（设 是 矩阵， , 为数）：,mnkl教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 17 页 （1） .()kllA（2） .kB（3） .()()kll（4
9、） ， .1AA（5）若 ，则 或 .kO0kO矩阵相加与矩阵数乘结合起来，统称为矩阵的线性运算.例 3 设矩阵 A = ， B = ，求 3A - 2B.325016-48217-【解】 先做矩阵的数乘运算 3A 和 2B，然后求矩阵 3A 与 2B 的差.3A = = ()5016-96158-2B = = 42(3)8()7-421-3A - 2B = - = 961508405-例 4 已知设 , ， , 243-82634BXBA2求 X【解】 21()13BA=-四、矩阵的乘法定义 2.4 设 是 矩阵， 是 矩阵，规定矩阵 A 与 B 的乘()ijaAms()ijbBsn教 案课
10、程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 18 页 积是一个 矩阵 ，其中mn()ijcC121sijijijisjikjcabab (1,2;1,2)imjn 即矩阵 C 的第 行第 列的元素 是矩阵 A 的第 行与矩阵 B 的第 列对应元素相乘ijijcij之和，记作 C注意 (1) 只有当左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数时， A, B 才能作乘法运算AB；(2) 两个矩阵的乘积 AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵 A 的行数，它的列数等于右矩阵 B 的列数；(3) 乘积矩阵 AB 中的第 行第 j 列的元素等于 A 的第 行元素与 B 的第 j 列对i i应元素的乘
11、积之和，故简称行乘列的法则.例 5 设矩阵103,2A41032B求 AB 及 BA.【解】 因为A是 矩阵， B是 矩阵，A 的列数等于 B 的行数，所以矩阵233A 与 B 可以相乘 . 其乘积 AB 是一个 矩阵：241010324()21031034()1()2()2 05由于 B 的列数不等于 A 的行数，因此 BA 没有意义.例 6 求矩阵教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 19 页 12(),naaA12nbB的乘积 AB 及 BA.【解】.1212121()()nn ibaaabab AB122()nnbaaBA1212212nnnbab例 7 某地
12、区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵 A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台） ，用 B 表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）：用矩阵 C = 表示这()32ijc三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，求矩阵 C。I II 单价 利润A = B = 2015893.50812【解】 C 中的元素分别为， c1230512045898. c123081285395.即C = =123c0284.5.矩阵的乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：教 案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日第 次 第 110 页
13、（1）乘法结合律 .()()ABC（2）数乘结合律 (其中 为数) kkB（3）左乘分配律 ，()右乘分配律 BCA例 8 求矩阵63,2126,1315C的乘积 AB、BA 及 AC.【解】 .636927213AB.0.635927213C由以上的例子可知：（1）矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下， .AB（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即由 ，一般不能得出 或OAO.BO（3）矩阵的乘法不满足消去律，即由 ，一般不能从等式两边消去A，C得出 .C若矩阵 A 与 B 满足 ，则称矩阵 A 与 B 可交换.单位矩阵在矩阵的乘法运算中占有特殊的地位. 任何矩阵与单位矩阵相乘（假设运算可以进行） ，都等于这个矩阵，即对任意的矩阵 A，,AE单位矩阵的这条性质，使得单位矩阵在矩阵乘法运算中的地位类似于实数乘法中的数. 不过应该注意，如果矩阵 A 不是方阵，上面两个式子中的单位矩阵的阶数是不同1的.五、矩阵的转置
