1、鲁教版初四知识点第一章 反比例函数一、 反比例函数1.定义:一般地,形如 ykx (k为常数,k0)的函数叫做反比例函数,其中 x是自变量，y 是 x的函数,k 是比例系数。若 y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如 y=2/3x的比例系数为 2/3反比例函数的定义中需要注意什么？(1)常数 k 称为比例系数,k 是非零常数；(2)自变量 x次数不是 1,x 与 y 的积是非零常数；(3)除 k、x 、y 三项以外,不含其他项。反比例函数自变量 x的取值范围是不等于 0的一切实数。2.反比例函数的三种表现形式:(k 为常数,k0)(1)ykx (2)xy=k(3)y=kx-1(即:y 等于
2、x的负一次方,此处 x必须为一次方)2.K的几何含义:反比例函数 ykx (k0)中比例系数 k的几何意义,即过双曲线 ykx (k0)上任意一点 P作 x轴、y轴垂线,设垂足分别为 A、B,则所得矩形 OAPB的面积为|k|，所得三角形面积|k|/2。二、反比例函数的图象和性质1.图像:反比例函数的图像是双曲线,他们关于原点成中心对称。双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交。因为在 y=k/x(k0)中,x 不能为 0,y也不能为 0,所以反比例函数的图象不可能与 x轴相交，也不可能与y轴相交。2.性质:当 k0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y 的值随 x值的增
3、大而减小；当 k0。二、30,45,60角的三角函数三角函数锐角 正弦 sin余弦 cos 正切 tan30 45 60 三.解直角三角形及其应用1.解直角三角形的概念:在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素。在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形。2.解直角三角形的依据:(2)三边之间的关系:a 2 +b2=c2 (勾股定理)(3)两锐角之间的关系:AB90(4)边角之间的关系:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/ b,cot=b/a3.解直角三角形的原则(1)有角先求角,无角先求边(2)有斜用弦,
4、无斜用切；宁乘毋除,取原避中。这两句话的意思是:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据。4.解直角三角形的应用(1)把实际问题转化成数学问题,这个转化包括两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系；(2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形；(3)仰角和俯角在进行观察或测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰
5、角；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角。第 2章 二次函数一.对函数的再认识定义:一般地,在一个变化过程中有两个变量,对于自变量 x某一范围内的每一个确定值,y 都有惟一确定的值与它对应,那么就说 y是 x的函数。强调:对于函数概念的理解,主要抓住以下三点函数不是数,是指在一个变化过程中两个变量之间的关系；自变量每一个确定值,函数有一个并且只有一个值与之对应； 自变量的取值范围。函数值的定义:对于自变量在可以取值范围内的一个确定的值函数有惟一确定的对应值,这个对应值叫做当时函数的值,简称函数值。一 二次函数及其表达式1. 定义:我们把形如 y=ax2+bx+c(其中 a,b,c是常数,a0
6、)的函数叫做二次函数。ax2叫做二次项,a 为二次项系数,bx 叫做一次项,b 为一次项系数,c 为常数项。注意:二次函数的二次项系数不能为零。因为如果 a为 0,就没有二次项,也就谈不上什么二次函数!31232321212.三种表达式:(1)一般式:y=ax 2+bx+c (2)顶点式:y=a(x-h) 2+k,对称轴 x=h,顶点坐标是(h,k)(3)交点式: y=(x-x 1)(x-x2),与 x轴两交点坐标为(x 1,0)、(x 2,0)3.确定函数的解析式一般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点式 y=a(x-h)2+k,在所给条件中已知抛物线与 x轴两交点坐标或已知抛物线与 x
7、轴一交点坐标与对称轴，可设交点式 y=(x-x1)(x-x2)；在所给的三个条件是任意三点时,可设一般式 y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解。三、 二次函数的图像与性质二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象,是一个轴对称图形,对称轴是直线 x=-b/2a对于一般式 y=ax2+bx+c(其中 a,b,c是常数,a0),当 x=-b/2a时,y 最大或最小。即抛物线顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a)(1)a决定开口方向:a0 开口向上；a0时,开口向上,对称轴左侧(即 x0,则-b/2a0) 对称轴在 y轴右侧b=0 对称轴是 y轴(3)c决定抛物线与 y
8、轴的交点(与 y轴交点的横坐标为 0,即 x=0,此时纵坐标 y=c):c0 与 y轴正半轴相交c0 与 x轴有两个交点b2-4ac=0 与 x轴有一个交点b2-4ac0且 b2-4acr直线 l 和O 相切 d=r直线 l 和O 相交 dR+r,公共点 0(两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部)(2)外切 d=R+r,公共点 1(两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部)(3)相交 R-rdR+r公共点 2(两个圆有两个公共点)(4)内切 d=R-r公共点 1(两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部)(5)内含 dR-
9、r公共点 0(两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的内部)注:两圆同心是两圆内含的一种特例；当两个圆有唯一公共点时,叫做两圆相切(包括外切和内切)。4.性质(1)相切两圆的性质:如果两圆相切,切点一定在连心线上；(2)相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦；证明:经过相交两圆的一个交点,作两圆的公共弦的垂线,则这条直线上被两圆所截得的线段等于圆心距的 2倍。在解决相交两圆的问题时,注意其公共弦和连心线的作用是探求思路的重要手段。七、弧长与扇形的面积1.把圆周等分成 360份,每一份的弧叫做 1的弧；1的弧所对的圆心角叫做 1的角。2.在半径为 R的圆中,n的圆心角所对的弧长的
10、计算公式为:l=nR/180=nR3.如果扇形的半径为 R,圆心角为 n,那么扇形的面积的计算公式为:S 扇形 =nR 2/360=nnR/2=1/2lR4.比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式,用弧长来表示扇形的面积 S=1/2lR八、圆锥的侧面积1.概 念 :圆 锥 可 以 看 成 是 直 角 三 角 形 以 它 的 一 条 直 角 边 所 在 的 直 线 为 轴 ,其 余 各 边 旋 转 一 周 而 成 的 面 所围 成 的 几 何 体 。 斜 边 旋 转 而 成 的 曲 面 叫 做 圆 锥 的 侧 面 。 无 论 转 到 什 么 位 置 ,这 条 斜 边 都 叫 做 圆 锥 的 母线
11、 。 另 一 条 直 角 边 旋 转 而 成 的 面 叫 做 圆 锥 的 底 面 。圆 锥 有 一 个 顶 点 和 一 个 底 面 ,底 面 是 一 个 圆 。 连 结 圆 锥 顶 点 和 底 面 圆 心 的 线 段 和 圆 锥 底 面 垂 直 ,这 条 线段 叫 做 圆 锥 的 高 线 。2.圆 锥 的 基 本 特 征 :(1)圆 锥 的 高 通 过 底 面 的 圆 心 ,并 且 垂 直 于 底 面 ；(2)圆 锥 的 母 线 长 都 相 等 ；(3)经 过 圆 锥 的 高 的 平 面 被 圆 锥 截 得 的 图 形 是 等 腰 三 角 形 ；(4)圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 半 径
12、 等 于 母 线 长 、 弧 长 等 于 圆 锥 底 面 周 长 的 扇 形 。3.圆锥体展开图由一个扇形(圆锥的侧面)和一个圆(圆锥的底面)组成。此扇形的半径 R是圆锥的母线,扇形的弧长是圆锥底面圆的周长一 个 圆 锥 的 体 积 等 于 与 它 等 底 等 高 的 圆 柱 的 体 积 的 1/34.圆锥的侧面积=1/2母线长圆锥底面的周长=圆锥底面半径母线长 即 rl5.高(h),底半径(r),母线(l)之间的关系:h 2 +r2=l2 (勾股定理得出)6.圆锥的全面积:圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积)第六章 对概率的进一步认识一、列表法求概率 1、列表法：用列出表格的
13、方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 二、树状图法求概率 1、树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 三、利用频率估计概率 1、利用频率估计概率：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 2、模拟实验：
14、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。 3、随机数：在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。四、用频率估计概率1.概率：一个事件发生的可能性的大小可以用一个数来表示,我们把这个数叫做这个事件发生的概率,一般用P（事件）表示。事件 A发生的概率也记为 P(A),事件 B发生的概率记为 P(B),依此类推 2.三种事件的概率:必然事件发生的概率为 1(或 100%),记作 P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为 0,记作 P(不可能事件)=0随机事件(不确定事件)发生的概率介于 0到 1之间,即 0P(不确定事件)1如果 A为随机事件(不确定事件),那么 0P(A)13.用频率估计概率当试验次数很大时,一个事件发生频率也稳定在相应的概率附近。因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。二、用列举法计算概率用列举法求概率的条件:(1)实验的所有结果是有限个(n)；(2)各种结果的可能性相等。一般地,如果在一次试验中,有 n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件 A包含其中的 m种结果,那么事件 A发生的概率为 P(A)=m/n。
