1、成都市实验外国语学校高 2013 级数学资料（10）第 1 页 共 12 页函数中易混易错的十个问题函数是高中数学的主干知识，在学习中应注意理解有关概念的内涵，甄别易混易错的概念，深入分析函数的性质。下面就几个易混易错的问题举例说明。一、复合函数 的定义域与复合函数的外层函数 的定义域()fgx )(xf复合函数 的定义域受函数 的定义域的制约，如“已知 的定义域为 ，()fx()fx,ab求 的定义域”是指求满足 的 的取值范围；而“已知复合函数()fxagb的定义域为 ”就是指 ，则 的定义域为 在 上的值g,bx()fxxg,域例 1.（1）设函数 的定义域为0,2，求函数 的定义域：)
2、(xf )12(f解： 由 解得 x .2103从而 的定义域为 .)(xf ,（2）设函数 )的定义域为 0,2，则 的定义域为_.12f )(xf解： 的定义域即 在0,2上的值域.)(xf|xg由 0x2 得-12x-13 ，从而 0|2x-1|3.所以 的定义域为0,3.)(f练习：1已知函数 的定义域为0，1 ，值域为1，2 ，求函数 的定义域和值域。)(xf 2xf答案：-2，-1 ，1，22已知函数 的定义域是0，2 ，求 f（-3x ）的定义域)2(f由函数 的定义域是0，2 ，可得 ，有 ，x2x02x故 f（x）的定义域为2，2二、函数的定义域为 A 与函数在 A 上恒有意
3、义“函数在 A 上恒有意义”中的 A 是 的定义域的一个子集，是不等式恒成立问题；而()fx“函数的定义域为 A”中的 A 是使函数有意义的自变量取值范围。例 2已知函数 mxfx421)(成都市实验外国语学校高 2013 级数学资料（10）第 2 页 共 12 页(1)若此函数在 上有意义，求 m的取值范围.1,(2)若此函数的定义域为 ，求 的取值范围.,解：（1）因为函数 在 上有意义，xfx421)( 1,(即 对 恒成立，042mx,xxm)2(4令 则 在 上单调递增xu)2()(u,(又 43143（2）若函数 的定义域为 ，则 1240xm的解集mxfx1)( ,(1,(从而有
4、 的解为02x1易解得 即4)(x2log1x 解得121logm3练习：已知函数 ，解答下列问题：21()logfxax（1）若函数在 内有意义，求实数 的取值范围；,（2）若函数的定义域为 ，求实数 的值；),3(),(a解：记 。222()ugxax（1） “函数在 内有意义”等价于“ 对 恒成立” ，1,()ugx01,或 ，解之得： 。()0ag240a23a（2） “函数的定义域为 ”等价于“不等式 的解为 或,13,20x1x” 是方程 的两根，3x2x230xa则21a三、函数 的值域为 A 与 A )(xf)(xf成都市实验外国语学校高 2013 级数学资料（10）第 3 页
5、 共 12 页“ A ”说明 的值域是 A 的一个子集；“函数的值域为 A”中的 A 是 的值域，)(xf()fx ()fx其解法是先求出 的值域，与已知值域相同，通过比较系数建立含参数的方程.例 3已知函数 246,()faxR（1）若 的值域为 ，求 的值；()x0,)（2）若函数的值均为非负值，求 的取值范围。解：（1）= 2(30a312a或（2）函数的值均为非负值即 ),0)(xf 12练习：已知函数 1()log3fxax（1）若函数的值域为 ，求实数 的值；,（2）若 的值不大于 ，求实数 的取值范围。)(xf1a解：（1）由对数函数的性质易得： 的值域为32xu2,又 即223
6、)(3xaxu a1（2）若 的值不大于 ， 的值不小于 2 )(f1x 即23四、二次与对数的复合函数的定义域为 与函数的值域为RR上面两个问题建立在函数的定义域与值域不同概念之上，处理的办法是截然不同的，下面结合例题来说明.例 4已知函数 ，解答下列问题：21()log3fxax（1）若函数的定义域为 ，求实数 的取值范围；R（2）若函数的值域为 ，求实数 的取值范围；解：（1）由题意知：对一切 ， 恒成立， ，x0u2min30ua，即实数 的取值范围是： 。3aa,（2） “函数的值域为 ”等价于“ 能取遍 的一切值” ，R()gx的判别式 。()ugx210,3,a练习：已知函数 4
7、)(loxmfa成都市实验外国语学校高 2013 级数学资料（10）第 4 页 共 12 页（1）定义域是 ，求实数 的取值范围；Rm（2）值域是 ，求实数 的取值范围。解：（1）因为函数 的定义域是 ，41)(log)(2xxfa R故而对任意 有 恒成立。00.当 m时，不符合题意；2.当 时，由二次函数的性质可得：20(1)0353522mmm综上，实数 的取值范围为20(1)0；（2）因为函数 的值域是 等价于41)(log)(2xxfa R取遍 的一切值41)(2mxu0,01.当 时，符合题意；02.当 时， 解的0)1(2253253m或综上，实数 的取值范围为m53或五、函数
8、的单调增（减）区间为 A 与 在区间 A 上为单调增（减）函数)(xf )(xf函数在某区间 A 上是增(减)函数，则此区间是函数增(减)区间的子集；函数 的单调增)(xf(减)区间为 A，其解法是先求出 的单调增(减)区间，与已知单调增(减)区间相同，通过比xf较系数建立含参数的方程.例 5 （1）函数 的增区间是 ，求实数 的取值范围。3)(2axg),2a（2）设函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围。),解：（1）函数 的增区间是 ，则恰有 ，可知)(2x),24（2）函数 的对称轴为 ，只需 ，解得 ，即3axg2axa,(成都市实验外国语学校高 2013 级数学资料（10）第 5
9、 页 共 12 页练习：1、若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围。)(log21axy(,13)a解：令 ， 函数 在定义域上为减函数，2()uxauy21log 在区间 上递减，且满足 在区间 上恒成立2g(,13)0(,13) ，解得 ，所以， 的取值范围为 13()0a2aa2,2、是否存在实数 a, 使函数 f (x ) 在区间 上是增函数? 如果存在,说明)x(log2a4,a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由.解： 设 , 对称轴 .(1) 当 时, ; xa)(u2a2111a0)2(u(2) 当 时, . 综上所述: 1a0无 解0)4(2ua六、复合函数 的
10、奇偶性与复合函数的外层函数 的奇偶性xgf )(xf若函数 是偶函数，则 即函数 的图象关于直线 对)(a)(axf)(f ax称；若函数 是奇函数，则 即 ，也就是函数xf )(xf )2a的图象关于点 中心对称；)(f)0,(若函数 是偶函数，则 ；xf )()(axff若函数 是奇函数，则)(例 6已知函数 是偶函数，且 时， ，求 时 的解析式.1xf 1x1)(2xf)(xf解析：关键是理解“ 是偶函数”的意义为 即函数 的图象关)( )(f于直线 对称；然后利用对称性将 上 的解析式求解转化到 上的解析式计算.xx)(f 1x解：设 ，则 ，由题 ，112x12(f由函数 是偶函数
11、有 即)(f )x)2(xff成都市实验外国语学校高 2013 级数学资料（10）第 6 页 共 12 页 故 时 的解析式为541)2()2xxf 1x)(f 54)(2xf练习：已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，则 是( )fR)2(f 4x)fA奇函数且周期函数 B.奇函数且非周期函数C偶函数且周期函数 D.偶函数且非周期函数解析：关键抓住两个已知条件 为偶函数有 即)2(xf )2()(xff 为奇函数”即 在中令 为 得)4()xff)4(f 8(f4，在中令 为 得 ，x)4()xfx于是 ，从而 是奇函数.()()()( ffxff 由 得 从而知函数 是周期函数
12、48x)(xf七、方程 在 A 内有解与方程 的解在 A 内0)(xf 0)(f方程 f(x)0 在 A 内有解，只要求方程 在 A 内至少有一解就可以了，并不要求方x程的所有解都在 A 内；方程 的解在 A 内要求方程的所有解均在 A 内.)(xf例 7(1)关于 的方程 在区间(2,5)内有解，求 的取值范围；x0122mm(2)关于 的方程 的解在区间(2,5)内，求 的取值范围.2解：(1)易求得 ，1x2x由题意有 或 即 或 ，故 .52m5634161(2)由题意有 且 ，解得 .m练习：1、若关于 的方程 的所有解都大于 1，求 的取值范围x4)lg(2axa解：由原方程可化为
13、 ，变形整理有（*）， ，由于方程（*）的根为正根，则成都市实验外国语学校高 2013 级数学资料（10）第 7 页 共 12 页解之得 ，从而 说明：方程（*）不是关于 的方程，而是关于 的一元二次方程，故求出 的范围，另外，解得 ，其中 是真数，不要忽略 a0a2、已知函数 f(x)=logm3log)(xf 3x(1)若 的定义域为， ， （0） ，判断 在定义域上的单调性，并加以说明；x )(xf(2)当 时，使 的值域为 的定义域区间为10m)(xf)1(log),1(logmm,(0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.知识依托：函数单调性的定义
14、判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于 3 的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1） x3 或 x3.0xf(x)定义域为,3设 x 1x 2，有 0)3(632121 xx当 0m1 时，f(x)为减函数，当 m1 时，f(x)为增函数.（2）若 f(x)在,上的值域为log mm(1),log mm(1)0m1, f(x)为减函数. )1(log3l)(f mm即 3,0)()12( 又即 , 为方程 mx2+(2m1
15、)x3(m1)=0 的大于 3 的两个根成都市实验外国语学校高 2013 级数学资料（10）第 8 页 共 12 页 0m0)3(21602mf 432故当 0m 时，满足题意条件的 m 存在.4八、不等式恒成立与有解解决不等式恒成立和有解问题的基本策略常常是构造辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界） 、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下等价转化应细心思考，甄别差异，恰当使用，切不可混为一团。（1）不等式 f(x)k 在 x I 时恒成立 x I. 或 f(x)的下界大于或等于 k；kf,)(mi（4）不等式 f(
16、x)k 在 x I 时有解 x I. 或 f(x)的上界大于 k；ax例 8已知两函数 ， ，其中 为实数。kf168)(2g45)(2（1）对任意 x -3，3，都有 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（2）存在 x -3，3，使 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（3）对任意 x1、 x2 -3，3，都有 f（x 1)g(x2)，求 k 的取值范围。解：（1）设 h(x)=g(x)-f(x)=-3x2-12x+k，问题转化为 x -3，3时，h(x)0 恒成立 对 恒成立，k23,而 故61)()13(2max63k（2）据题意：存在 x -3，3 ，使 f（x)g(x)成
17、立，即为 h(x)=g(x)-f(x)0 在 x -3，3 有解， 在 上有解，k23,而 故12)3(minx12k（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意 x1， x2 -3，3 ，都有 f（ x1)g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x 1，x 2 的取值在-3，3 上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的条件是： 3,)()(minaxgf 54)2(45)(2g 54i成都市实验外国语学校高 2013 级数学资料（10）第 9 页 共 12 页又 . kxkxf 8)1(168)( 22 3,x.120)3(maxkff故 得54.10k0练习
18、：1、 （1）已知函数 的定义域为 ，求实数 a 的取值范围。3ax)(f ),3（2） 已知函数 上有意义，求实数 a 的取值范围。),x在解：（1）因函数 f（x）的定义域为 3， ，即不等式 的解集为3， ，有03x)。3ax当 a=0 时， ，不合题意。当 a0 时， 是不等式 的解集，所以 ，即 a=1 为所求。|03ax3a综上可知实数 a 的取值范围是 。1|（2）由题意知 上有意义，即不等式 上恒成立。),3x)x(f在 ),3x0a在当 a0 时，不等式 上恒成立，令 ， ， ，从而,a在 x)(g),(gmin，所以 。3a1a当 a=0 时，显然不合题意。当 a0 时，
19、，令 g（x）=x， 时没有最大值，不合题意。a3),3综上可知实数 a 的取值范围是1， 。点评：函数在某个区间上有意义（即在此区间上不等式恒成立） ，此区间是函数定义域的子集。2、定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 3 且对任意 x，yR 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)2(1)求证 f(x)为奇函数；(2)若 f(k3 )+f(3 -9 -2)0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围xx分析：欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(-x)=-f(x)成立在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-
20、x)于是又提出新的问题，求 f(0)的值令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令 y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有成都市实验外国语学校高 2013 级数学资料（10）第 10 页 共 12 页0=f(x)+f(-x)即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 成立，所以 f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log 30，即 f(3)f(0)，又 f(x)在 R
21、上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是2增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3 )-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2)， k3 -3 +9 +2，xxxxx3 -(1+k)3 +20 对任意 xR 成立2令 t=3 0，问题等价于 t -(1+k)t+20 对任意 t0 恒成立x2R 恒成立说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在 xR 上是增函数，把问题转化成二次函数 f(t)=t -(1+k)t+2 对于任意 t0 恒成立对二次函数 f(t)进行研究求2解本题还有更简捷的解法：分离系数由 k3 -3 +9 +2 得xx上述解法是将 k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖九、多元函数的自变量与参变量例 9 （1） 对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围。4,0x3ax42（2） 对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 x 的取值范围。,aax解：（1）原不等式转化为 ，设其解集为 A。对于任意 ，不等式03)4(2 4,0恒成立，所以 。又3ax42A,0x)1(3ax)4(2，即原不等式为 。)3( )a(x)1(
