1、11.3.1 函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间例 1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间（1） ; （2） ;12xy 32xy（3） ; （4）)( 96962x相应作业 1：课本 P32 第 3 题.题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论取值，即 _；作差变形 ,作差 _,变形手段有_、_、_、_等；定号，即 _;下结论，即_。例 2.用定义法证明下列函数的单调性（1）证明： 在 上是减函数.1)(3xf,定义法证明单调性的等价形式：设 ， ,那么bax,21、 21x2在 上是增函数；)(0)(0)()( 21
2、2121 xfxffxffx ba,在 上是减函数.)()()()( 212121 fffff ,(2)证明： 在其定义域内是减函数；xxf（3）证明： 在 上是增函数；21)(xf0,法一： 作差 法二：作商（4）已知函数 在 上为增函数，且 ，试判断 在)(xfy,0)0()xf )(1xfF上的单调性，并给出证明过程；,03方法技巧归纳 判断函数单调性的方法：1、直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册 P27（2）P31（上 5、1）2、图象法；3、定义法；4、运算性质法：当 时，函数 与 有相同的单调性；0a)(xaff当 时，函数 与 有相反的单调性；当函
3、数 恒不等于零时， 与 单调性相反；)(xf )(xf1f若 ，则 与 具有相同的单调性；0f若 、 的单调性相同，则 的单调性与之不变；)(xfg)(xgf即：增+增=增 减+减 =减若 、 的单调性相反，则 的单调性与 同.)(f )(f)(xf即：增-减=增 减-增=增 注意：（1）可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，再利用上述结论判断；（2） 与 的单调性不能确定.)(xgff相应作业 2：（1）讨论函数 在 上的单调性（ ） ；1)(2xaf,0a（2）务必记住“对勾”函数 的单调区间（见练习册 P29 探究之窗.)0(k4探究 1）知识拓展复合函
4、数单调性（难点）一、复习回顾：复合函数的定义：如果函数 的定义域为 A，函数 的定义域为 D，值域为)(tfy)(xgtC，则当 时，称函数 为 与 在 D 上的复合函数，其中 叫做中间变量Axgf t， 叫内层函数， 叫外层函数。)(xgt)(fy二、引理 1 已知函数 y=fg(x).若 t=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(t)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数 y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.引理 2 已知函数 y=f g(x).若 t=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(t)在区间(c,d)
5、上是减函数，那么，复合函数 y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.引理 1 的证明：重要结论 1：复合法则若 )(xgt)(tfy则 )(xgfy增 增 增减 减 增增 减 减减 增 减规律可简记为“_” （四个字）重要结论 2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:若减函数有偶数个，则复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则复合函数为减函数.规律可简记为“_” （四个字）题型三、求复合函数的单调区间5例 3. 求下列函数的单调区间.（1） （2）267xy 321xy小结：1、注意：（1）求单调区间必先求定义域；（2）单调区间必须是定义域的
6、子集；（3）写多个单调区间时，区间之间不能用“ ”并起来，应用“， ”隔开.2、判断复合函数单调性步骤：求函数的定义域；将复合函数分解成基本初等函数： 与 ；)(tfy)(xg确定两个函数的单调性；由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.相应作业 3：求下列函数的单调区间.（1） （2）28xy 321xy（3） 42单调性的应用题型四、比较函数值的大小6例 4.已知函数 在 上是减函数，试比较 与 的大小.)(xfy,0)43(f)12af题型五、已知单调性，求参数范围例 5.已知函数 2)()(2xaxf（1）若 的减区间是 ，求实数 的值；4,（2）若 在 上单调递减，求实数 的取值范
7、围.)(xf,例 6.若函数 在 R 上为增函数，求实数 的取值范围.0,)2(1)(xbxf b题型六、利用单调性，求解抽象不等式例 7.已知函数 是 上的减函数，且 ，求实数 的取值)(xfy1,)1()1(2aff a7范围.例 8.已知 是定义在 上的增函数，且 ，且 ，解)(xf,0 )()(yfxyf1)2(f不等式 .231f相应作业 4：已知 是定义在 上的增函数，且 ，且)(xf,0 )()(yfxyf，解不等式 .1)2(f 3)2(f题型七、抽象函数单调性的判断定义法解决此类问题有两种方法：“凑” ，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；赋值法，给变量赋值要
8、根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.例 9.已知函数 对任意实数 、 都有 ，且当 时)(xfxy)()(yfxyf0x，求证： 在 R 上单调递增.0)(xf8例 10.已知定义在 上的函数 对任意 、 ，恒有,0)(xfy,0，且当 时 ，判断 在 上单调性.)()(yfxyf1)(xf,相应作业 5：定义在 上的函数 对任意 、 ，满足,0)(xfy,0，且当 时 .)()(nfmfnf1（1）求 的值；（2）求证： ；)()(ffnf（3）求证： 在 上是增函数；x,0（4）若 ，解不等式 ；1)(f 2)(xfxf函数的最大（小）值1、函数的最大（小）值定义2、利用单调性求
9、最值常用结论9（1）若函数 在闭区间 上单调递增，则 ， ；)(xfyba, )(minafy)(maxbfy（2）若函数 在闭区间 上单调递减，则 ， ；ib（3）若函数 在开区间 上单调递增，则函数无最值，但值域为 ；)(xfy, )(,f（4）若函数 在闭区间 上单调递增，在闭区间 上单调递减，那么函数)(fba, cb,， 在 处有最大值，即 ；)(xfyca,x)(maxfy（5）若函数 在闭区间 上单调递减，在闭区间 上单调递增，那么函数)(fy, c,， 在 处有最小值，即 .)(xfyc,bx)(minbfy题型八、单调性法求函数最值（值域）例 11、 （1）函数 在 上的最大
10、值为_,最小值为_;12)(xf5,（2）函数 在 上的最大值为_,最小值为 _;y4,（3）函数 的值域为_;x21（4）函数 的值域为_;y（5）函数 的值域为_;21x（6）函数 的值域为_;y二次函数的区间最值的求法二次函数在给定区间 上求最值，常见类型：nm,10（1）定轴定区间：对称轴与区间 均是确定的；nm,（2）动轴定区间：（3）定轴动区间：（4）动轴动区间：1、定轴定区间可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。例 12.当 时，求函数 的最值.2x32xy相应作业 6：求函数 在 上的最值.542xy,12、动轴定区间例 13.已知函数 ，求 在 上的最值.)(2axf )(f5,动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业 7：求函数 在 上的最值.12)(axxf,03、定轴动区间例 14.已知函数 ，当 时，求 的最小值 .)(2f ,t)(xf)(tg
