1、2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设 )(yx是直接函数， )(xfy是它的反函数，假定 )(yx在 I内单调、可导，而且 0，则反函数 在间 ,|xI内也是单调、可导的，而且 )(1yxf(1)证明： Ix，给 以增量 x),0(xI由 )(fy 在 I 上的单调性可知 )(xfx于是 y1因直接函数 )(x在 I上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(fy在 I上也是连续的，当 0x时，必有 0y)(1limli00yxyx 即： )(yf【例 1】试证明下列基本导数公式().arcsin)().log)l11232xtxa证 1、设 yxsin为直接函数， xyar
2、csin是它的反函数函数 i在 )2,(yI上单调、可导，且 ycos0因此，在 1,x上， 有ycos)arsin(注意到，当 )2,(y时， 0， 221sin1coxyy因此， 21)arcsin(x证 2 设 xtgy， ),(I则 arc， x)tgyx在 I上单调、可导且 0cos12yx故 222cos)(1( xtgytarct 证 3 axaayyx ln1l)(1log(类似地，我们可以证明下列导数公式： (arcos)(ln)xxtg12二、复合函数的求导法则如果 )(xu在点 0可导，而 )(ufy在点 )(00x可导，则复合函数fy在点 可导，且导数为 )(00xuf
3、dxy证明：因 )(lim0fu，由极限与无穷小的关系，有 )0,时当 ufy用 x去除上式两边得： xuf)(0由 x在 的可导性有： 0u， 0limli0ux)(limli0fxyxx00lili)(uf即00xfdxy上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：若 u()在开区间 Ix可导， yfu()在开区间 Iu可导，且 xI时，对应的 u，则复合函数 x在 内可导，且dxy(2)复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。【例 2】 )(xfy，求 dy引入中间变量， 设 vx()， uv()，于是 yfu()变量
4、关系是 u，由锁链规则有：dyxd(2)、用锁链规则求导的关键引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。【例 3】求 yxsin2的导数dy。解：设 u，则 ui， x2，由锁链规则有：dxux(s)(cos)cs2【例 4】 设 ytgxln2，求dy。由锁链规则有 dxvuydx21cosvu(基本初等函数求导)s2xtg( 消中间变量) in1由上例，不难发现复合函数求导窍门中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。请看下面的演示过程： )2(cos12)(21)ln( xxtgtxgtdxy xttg in)(cos21【例 5】证明幂函数的导数公式 1)(x，( 为实数)。证明：设 yxeln1lnln)( xexeyxx
