1、 1 南开大学 2000 年数学分析考研试题 1. 设 22s in , , 0 , 0,0 , 0 , 0x y x y xyxyf x yxy ， 证明 ,f xy 在点 0,0 处连续，但不可微 . 2. 设 fu具有连续的导函数，且 lim 0u f u A ， 0R ， 2 2 2, : , , 0D x y x y R x y （ 1） 证明 limu fu ； （ 2） 求 22RDdI f x y dxdy； （ 3） 求2lim RR IR. 3.（ 1）叙述 fx于区间 I 上一致连续的定义； （ 2） 设 fx， gx都于区间 I 上一致连续且有界， 证明 F x f x
2、 g x 也于 I 上一致连续， 4.设函数列 nfx 于区间 I 上一致收敛于 fx，且存在数列 na ，使得当 xI 时，总有 nnf x a，证明 fx于 I 上有界 . 5.设 0na ， 1,2,n ，1nnkkSa， 证明（ 1）若1nn naS收敛，则1 nn a也收敛 . （ 2)如果 1 ，1nn naS收敛，问1 nn a是否也收敛？说明理由 . 6.设 ,f xt 于 ,a c d 上连续， ,a f x t dx于 ,cd 上一致收敛，证明 ,a f x d dx 收 敛 . 南开大学 2000 年数学分析考研试题解答 1.解： 0,0 0f ， 2 22, x y x
3、yf x y xy 222212x y x yxy 12 xy， , 0 , 0li m , 0 , 0 0xy f x y f ，于是 ,f xy 在点 0,0 处连续 . 显然 0,0 0xf ， 0,0 0yf ， 当 22 0xy 时， 22, 0 , 0 0 , 0xyf x y f x f yxy 2 2 2 2si nx y x yx y x y 的极限不存在， 所以 ,f xy 在点 0,0 处不可微 . 2.（ 1）证明 由 lim 0u f u A ， 存在 0M ，当 uM 时，有 2Afu ， f u f u f M f M f u M f M 2A u M f M ，
4、 由此，可知 limu fu ； （ 2） 解 22RDI f x y dx dy 2200Rd f r rdr 21 022 f R f ； （ 3） 解 2220l i m l i m4RRRf R fIRR 2 2lim42Rf R RR 2lim44R f R A . 3 4.证明 由于 nfx 在 I 上一致收敛于 fx， 对 1 ，存在正整数 N ，当 nN 时，有 1nf x f x， xI ， 1Nf x f x， xI ， NNf x f x f x f x 1 Na ， xI ， 即知 fx在 I 上有界 . 5、 设 0na ， nn aaaS 21 ， 证明 ： （ 1
5、）当 1 时， 1n nnSa 收敛 ； （ 2） 当 1 ，且 nn Slim时， 1n nnSa 发散。 （ 3） 当 1 ，且 1n na 收敛 时， 1n nnSa 收敛。 证明 对任意正整数 n ， 1 nnn SSa ，（ 00 S ）， 因为 0na ，所以 nn SS 1 ， （ 1 ） 当 1 时 ， 利 用 不 等 式dxxS SSSa nnSSn nnnn 111， 得 dxxdxxdxxSa NnnSSNnSSNn nn 12211111 ， 2Nn nnSa 有 界，故 1n nnSa 收敛 ； 4 （ 2） 当 10 ，且 nn Slim时， 111)( NNNNn
6、 NnNn nn SSSSaSa ， 1Nn nnSa 无 界 ，所以 1n nnSa 发散； 当 1 ，且 nn Slim时， 方法一 21111 pnnpnnpnpnnk pnkpnnk kk S SS SSS aSa ， 对任意大的 n ，然后取 p 充分大，就可使上式成立，于是 1nk kkSa 不是基本列，故 1k kkSa 发散。 方法二 因为 dxxS SSSa nnSSn nnnn 1 11 11， 122 1 lnln1111SSdxxdxxSa NSSNnSSNn nn Nnn ， 从 而 2 1k kkSa 发散， 若 nnSa 不收敛于 0，则 1k kkSa 发散，
7、若 nnSa 收敛于 0， 则得 111 nnnnnnn SaS aSSS ， 121 1 nnSS ，（ n 充分大）， 121 nnnn SaSa ， 于是 1k kkSa 发散。 5 当 0 ，且 nn Slim时， 1n nnSa 1n na 发散； 当 0 ，且 nn Slim时， 因为 11 11 SSSaSa NNnnNn nn ， 所以 1n nnSa 发散； （ 3）当 1 ，且 SSnn lim存在有限， )(1 111 kkkkkkk SSSS SSSa ， ,3,2k ， 由于 )(112 1 kkkSSS 收敛，所 以 1k kkSa 收敛； 因为 0lim SSnn
8、， SSnn lim， 从而 SaSannnn1lim ，由 1n na 收敛 ， 得 1n nnSa 收敛。 例如 1,nna S n。 6、 假设 ( , )f xu 在 ,a 中连续，如果对 ,u ，积分 ( , )a f x u dx都 收敛，但 积分 ( , )a f x dx发散，证明 ( , )a f x u dx在 , 上非一致收敛 证 明 用反证法 假 若 dxuxfa ,在 , ) 上一致收敛 ， 所以 0,0 0 A ， 当 0“, AAA 时 ， , )u ， 有 dxuxfAA“ ,， 又由 ( , )f xu 在 ,a 中连续， 6 由条件得 ),( uxf 在 , AA 上一致连续，从而 ),(),(lim xfuxfu ， 且关于 , AAx 是一致收敛的；或者说 dxuxfAA ),(在 , 上连续， 在 dxuxfAA“ ,中， 令 u ，可见 “ ,AA dxxf， 即得 ( , )a f x dx收敛 这与条件 ( , )a f x dx发散矛盾 ， 所以假设不成立 故 ( , )a f x u dx在 , 上非一致收敛
