1、 导数与微分 页高阶导数一、高阶导数的定义：定义 若函数 的导函数 在点 可导，则称函数 在点 二阶可导，并称 在点)(xf)(xf0)(xf0)(xf的导0数为 在点 的二阶导数，记作 ， ，即：)(xf0 )(0xf02xdy.)()lim(lim)( 00020 00 fffxfdyf xxx 一般的，若函数 的 阶导函数 在点 可导，则称函数 在点 阶可导，)(f1n)(1fn )(xf0n并称 在点 的导数为 在点 的 阶导数，记作 ， ，即：)1(xfn0)(xf0 0)(fn0xndy.)()(lim)()(lim)( 011010)100 00 xffxffdxyf nnxnn
2、xnn 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，以前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数 在区间)(f上每一点都可导，即 ，有 在点 的唯一 阶导数与其对应，这样建立了一个函I Ix0)(xf0n数，称为 在 上的 阶导函数，简称为 在 上的 阶导数，记作：)(xfInfI。,)(nndyf二、高阶导数的计算：函数 阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法则 次n即可。除此之外我们再介绍两个计算函数 阶导数的计算公式。n1 。)()()(nnvuv2设 ，则 ； ；y 2uvvuvy； 32uvy依此类推，我们可由数学归纳法证得如下莱布尼茨公式（结果与二项式 展开式极为相n
3、v似）： )2(2)1()0()( vuCvuvunnn )()1()( nonknk vuCvuC导数与微分 页， NKknkvuC0)(其中 ， 。)()(三、高阶导数求解举例：例 1求幂函数 的各阶导数。)(Nnxy解：； ； ；1 nxy21 )(nnx32 )2(1)1( nnxxy； ； 。n2)()1( !1y 0)( y例 2求指数函数 的各阶导数。xey解： 。)(,)()( Nnynxn例 3求函数 （ 为常数）的各阶导数。ae解： ； ； ；xxy axaxey2 axaxey32 )(1)( Nnean例 4求三角函数 与 的各阶导数。xysixcos解： ； ；2in
4、cosin y 2sinsincos xxxy； 23i3sii xx；4sin2incos)4( xy一般地， ，类似可得， ，iin)(x2coss)(nxnN例 5求函数 的 5 阶导数。cosxey解： nkxkkx ,210),s(,)()( 由莱布尼茨公式得：50)()5()( cosk kkxeCy)23cos()2cos()2( 355155 xeCxeCxx导数与微分 页)25cos()24cos(545 xeCxeCxexxx sincoin10in)cs(i4e例 6求函数 的 20 阶导数。xy2解：设 ，则 ， ， ；xeu2xe2 xxeu22 xxeu20219)
5、20(，则 ， ， ；v2 v )()4( vv由莱布尼茨公式得： )18(20)19(20)()0( Cy29182 xxx eee)95(0例 7研究函数 的高阶导数。,)(2xf解： ； 0lim0)(li)0(20)( 20 0 xxffxxf x； 20li0)(li)0(2)( 0 不 存 在 xxfffxxf x。30)(kxfk不 存 在注：此题的解法对分段函数是具有一般性的，我们应该熟练掌握。例 8试求由摆线参量方程 所确定的函数 的二阶导数。)cos1(intayx)(xy解： yaa 0 x 由含参量方程求导法则的： ；2cot)s1(in)sin(co1attadxy导数与微分 页再对参量方程 应用含参量方程求导法则有：2cot)sin(dxya.2cs41)cos1()sin(t2 tataadxy
