1、第 1 页 共 13 页二次函数专题复习一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 2yaxbca，0a这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全0bc，体实数2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项bc， bc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yaxc上加下减。3. 的性质：2yaxh左加右减。的符号 开口方向
2、 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 c向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大x0x值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0第 2 页 共 13 页4.
3、 的性质：2yaxhk三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax， 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(kO；4a+cO，其中正确结论的个数为( )A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C
4、(2，3) D(3，2)例 4、如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y= x2+x- 15（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次
5、方程的关系第 8 页 共 13 页例 6、 “已知函数 的图象经过点 A（c，2） ， cbxy21求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。解答 （1）根据 的图象经过点 A（c，2） ，图象的对称轴是 x=3，得cbxy21,321,2bc解得 .,c所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。.2312xy（2）在解析式中令 y=
6、0，得 ，解得0.53,21xx所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标),5是 ).0,53(令 x=3 代入解析式，得 ,25y所以抛物线 的顶点坐标为312x),253(所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。),(函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点
7、P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数第 9 页 共 13 页（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=
8、kx+b则 解得 k=-1，b=40，即一次函数表152,0kb达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10） （40-x）=-x 2+50x-400=-（x-25） 2+225产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 的顶点坐标是( )
9、247yxA.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 把抛物线 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）A. B. C. D. 2()yx2()yx21yx21yx3.函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )k0k4.已知二次函数 的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号;2(0)yaxbc当 和 时,函数值相等; 当 时, 的值只能取 0.其中正1x34a2yx确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个第 10 页 共 13 页5.已知二次函数 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由2(0)yaxbc图象可知关
10、于 的一元二次方程 的两个根分别是 （ 2x12.3x和）. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数 的图象如图所示，则点 在（ ）2yaxbc(,)acbA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程 的正根的个数为（ ）2xA.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为yA. B. 2yx2yxC. 或 D. 或2yx2yx二、填空题9二次函数 的对称轴是 ，则 _。23yxb2xb10已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x
11、 的取值范围是_.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当 0 时，函数值 随自变量 的增大而增大；yx满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可） 。12抛物线 的顶点为 C，已知直线 过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的2()6yx3ykx三角形面积为 。13. 二次函数 的图象是由 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单2412bc位得到的,则 b= ,c= 。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方，桥的高度是 ( 取 3.14). 三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是 ,图象经过(1,-6),且与 轴的交点为(0, ).30xy52(1)求这个二次函数的解析式;(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?第 15 题图
