1、好学者智，善思者康 400-810-26807-1数列及等差数列.题库 page 1 of 111等差数列基本概念（1）等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，常用字母 表示d即等差数列有递推公式： 1(1)na（2）等差数列的通项公式为： 1()nad（3）等差中项：如果三个数 组成等差数列，那么 叫做 和 的等差中项，即 ,xAyAxy2xyA（4）等差数列的前 项和公式： n11()()22nnaSd1 等差数列通项公式的推导： ，将这 个式子的等号两边分别相加得：321nad 1n，即 1()
2、nad1()n由等差数列的通项公式易知： ()nm2等差数列前 项和公式的推导：，111()(2)nSaad把项的顺序反过来，可将 写成：nS，()nn nad将这两式相加得：，11112()()(nnnnnSaa从而得到等差数列的前 项和公式 ，又 ，()2S1()nad得 11()()22nn d2等差数列的性质（1） ,mnmnaad（2）在等差数列中，若 ，则 ，若 ，则pqpqmnaa2pq2mpqa（3）若 均为等差数列，且公差分别为 ，则数列 也为等差数列，,nab12,d,nnb且公差分别为 。12,pd（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 an,an+m
3、,an+2m,为等差数列，公差为 md。（5）等差数列的前 n 项和也构成一个等差数列，即 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,为等差数列，公差为 n2d。(6)若等差数列的项数为 2n，则有 。1,naSd奇偶 奇 偶板块二：等差数列好学者智，善思者康 400-810-26807-1数列及等差数列.题库 page 2 of 11（7）等差数列的项数为奇数 n，则 ， 。nnSaS奇 偶 中 间 项 奇 偶且 1n奇偶（8） 为等差数列， 。na21nn（9）通项公式是 an=An+B 是一次函数的形式；前 n 项和公式 是不含常数0A 20nSAB项的二次函数的形式。 （注当 d=0 时，S
4、 n=na1, a n=a1）（10）若 a10，d0，S n有最小值，可由不等式组 来确定。1na（三）典例分析： 1.等差数列的定义【例 1】 判断数 ， 是否是等差数列 ： 中的项，若是，是第几项？527()kNna5,31,【例 2】 在等差数列 中， ， ，求它的首项、公差与 的值na40.812.a51a【例 3】 设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则 等于（ na1235a12380a1213a）A B C D120105907【变式】 在等差数列 中， ， ，则 是该数列的第（ ）项na534513a20A60 B61 C62 D63在等差数列 中， ， ，则它的首项 _，
5、前 项和 _n471 1annS【变式】 若数列 是等差数列，且 ， ，则 等于（ ）na1a3510A B C D19274【变式】 若等差数列 的前 项和 ，且 ，则 （ ）n55S27a好学者智，善思者康 400-810-26807-1数列及等差数列.题库 page 3 of 11A B C D12131415【例 4】 在等差数列 的公差为 ，第 项为 ，求其第 项 nadmana 等差数列 的前 项和记为 ，已知 ，求通项 ；若 ，求nS10203,5n24nS. n 设数列 是公差不为零的等差数列， 是数列 的前 项和，且 ，nanna239,42求数列 的通项公式2.证明等差数列
6、【例 5】 在数列 中， ， ，求证 是等差数列，并求通项 na112nna1nana【例 6】 已知 是等差数列，且 ， ，求数列 的通项公式及 的前 项na253,9a1nbananb和 nS【例 7】 设数列 满足 ， ， ，且数列 是等差数列，求数列na1624a31na()N的通项公式n【例 8】 已知数列 中， ，且对于任意正整数 有 ，na0nn1()2nSa求 ；求证： 是等差数列；求通项 12,S2S3.等差数列的性质好学者智，善思者康 400-810-26807-1数列及等差数列.题库 page 4 of 11【例 9】 若三个数 ，适当排列后构成递增等差数列，求 的值和相
7、应的数列4,26aa a【例 10】 若关于 的方程 和 的四个根可组成首项为 的等差数列，x20xa20()xba14则 的值是_ab【例 11】 已知一个数列的通项公式是 .230na 问 是否是这个数列中的项？60 当 分别为何值时， ？nnnn， ， 当 为何值时， 有最大值？并求出最大值.a【点评】 等差数列前 项和的最大值，最小值问题n对于等差数列 a ， 时， 有最大值； ， 时， 有最小值10adnS10adnS求 最值的方法nS ，将求 的最值转化成二次函数的最值问题，结合图21 1()()dnn象或通过配方找到最值，要注意这里 中的 ；SN在等差数列 单调时，若 ，则 有最
8、大值；若 ，则 有最小值na10na n10na nS【例 12】 已知等差数列共有 项，其中奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则其公差等于0153_【例 13】 等差数列 的公差为 ，则数列 是（ ）123,na d1235,5naaA公差为 的等差数列 B公差为 的等差数列d dC非等差数列 D以上都不对好学者智，善思者康 400-810-26807-1数列及等差数列.题库 page 5 of 115.等差数列求和【例 14】 在等差数列 中，已知 ，那么 等于（ ）na1234520aa3aA B C D45810【例 15】 在等差数列 中， ，那么它的前 项和 等于（ ）na4512a
9、88SA B C D122364【例 16】 等差数列 中，已知公差 ，且 ，则 na12d13960aa 1210aa等差数列 中，已知公差 ，且 ，则 ( ) A170 B150 C145 D120【例 17】 已知等差数列 中， ， ， ，则 （ ）na1502d0nSA B C D 484951【例 18】 等差数列 中, ， ，则 _na2563a35a【例 19】 已知 为等差数列， ， （ 为正整数） ，则 的值为（ ）npqp,qpqaA B C D 02【例 20】 设等差数列的前 项的和为 ，且 ， ，求 .nnS1284206S28S【例 21】 设等差数列的前 项的和为
10、 ，且 ， ，求 .n4812【例 22】 有两个等差数列 ， ，其前 项和分别为 ， ，若对 有 成立，nabnSTnN723nST求 5ab好学者智，善思者康 400-810-26807-1数列及等差数列.题库 page 6 of 11【点评】 方法一利用了 是关于 的常数项为 的二次函数；法二通过直接的计算进行配凑；法三和nS0法四利用了等差数列求和的一些性质，对本讲涉及到的性质总结如下： ， ；下标成等差数列的项： 仍组成等差数列；()mnadmna 2,kmka在等差数列中，若 ，则有 ；pqpqmna若 ，则有 （ ， ， ， ） ；2pq2maN 为等差数列， 为前 项和，则 ，
11、nanS21()nnSa为等差数列， 为前 项和， ，有 ；b b21nS 为等差数列， 为前 项和，则 成等差数列nn 232,mm【例 23】 在等差数列 中， ， ， 为前 项和，na10235anS求使 的最小的正整数 ；0nSn求 的表达式.123T【例 24】 等差数列 的前 项和 为 ，前 项和 为 ，则它的前 项和 为namS302m2S103m3S_【点评】 非常数列的等差数列的通项公式 是一次函数的形式，前 项和公式(0)naABn是不含常数项的二次函数的形式，同时如果通项公式是一次函数形式或2(0)nSAB前 项和公式为常数项为 的二次函数形式的数列也一定是等差数列【例
12、25】 等差数列 中， ， ，问数列的多少项之和最大，并求此最大值na125917S【点评】 等差数列前 项和的最大值，最小值问题n对于等差数列 a好学者智，善思者康 400-810-26807-1数列及等差数列.题库 page 7 of 11 ， 时， 有最大值； ， 时， 有最小值10adnS10adnS求 最值的方法nS ，将求 的最值转化成二次函数的最值问题，结合图21 1()()dnn象或通过配方找到最值，要注意这里 中的 ；SN在等差数列 单调时，若 ，则 有最大值；若 ，则 有最小值na10na n10na nS【例 26】 已知数列 为等差数列，首项 ，公差 ，且 ， ，n 1
13、a0d()naN21nba求数列 的前 项和 nbnS【例 27】 （山东省东营市东营区二中 09年必修五模块考试）已知二次函数 ，其中 221039610fxnxn*nN 设函数 的图象的顶点的横坐标构成数列 ，求证：数列 为等差数列；y ana 设函数 的图象的顶点到 轴的距离构成数列 ，求数列 的前 项和 f ynddnS【例 28】 等差数列前 项的和为 ，其中，项数为奇数的各项的和为 ，求其第 项及公10140 1256差【点评】 本题也可以直接设首项与公差，列方程组解出结果，再求第六项的值，但计算过程比较复杂，如果能灵活地运用等差数列的相关性质，可以大大简化计算本题中用到了结论：若
14、 ，则 ，mnstmnstaa且当 ，有 ；2mnk2ka若 ，则 ，st()nstd这几个结论由通项公式都很容易得到由此结论可以很容易地解出下面这类题：等差数列 中， ， ，则 等于_.na14739a6927a9S解：法一：，1473691346792()()()a 258()6a好学者智，善思者康 400-810-26807-1数列及等差数列.题库 page 8 of 11 963279S法二： ， ，1444313aa69663279aa996()()(9)22【例 29】 四个不相等的正数 ， ， ， 成等差数列，则（ ）abcdA B C D2adbc22adbc2adbc【例 3
15、0】 （2006 江西文）在各项均不为 的等差数列 中，若 ，则 等于（ ）0na2110()nna 214nSA B C D2【例 31】 已知 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 等于22()()0xmxn4mnA B C D134138【例 32】 已知 ， ， ， ， ， 成等差数列， ， ， ， 成等比数列，则0xyxabyxcdy的最小值是（ ） 2()abcdA0 B1 C2 D4【例 33】 等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比为nanS12S3na_【例 34】 在等差数列 中， ，若它的前 项和 有最大值，那么 中最小的是第na10nnSnS_
16、项【例 35】 设数列 满足 ， ， ，且数列 是等差数列，求数列na1624a31na()N的通项公式n【例 36】 已知 ，22()(1)57fxnxn板块三：等差数列综合好学者智，善思者康 400-810-26807-1数列及等差数列.题库 page 9 of 11 设 的图象的顶点的纵坐标构成数列 ，求证 为等差数列()fx nan 设 的图象的顶点到 轴的距离构成 ，求 的前 项和xb【例 37】 已知数列 是等差数列，其前项和为 ， nanS347,2a 求数列 的通项公式； 设 是正整数，且 ，证明 ,pqpq21()pqpq【例 38】 已知数列 为等差数列，首项 ，公差 ，且
17、 ， ，na1a0d()naN21nba求数列 的前 项和 nbnS【例 39】 在等差数列 中， ， ， 为前 项和，na102352anS求使 的最小的正整数 ；0nSn求 的表达式.123T【例 40】 设等差数列 的公差为 , ，且 ，求当 取得最大值时 的值nad10a910,SnSn好学者智，善思者康 400-810-26807-1数列及等差数列.题库 page 10 of 11【点评】 法三中涉及到了不等式的一些性质，对于没有听过寒假预科班课的同学，可以用 的单1yx调性解决以上的不等式运算【例 41】 有固定项的数列 的前 项和 ，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）na2nS
18、后，余下的项的平均值是 79求数列 的通项 ；nn求这个数列的项数，抽取的是第几项【例 42】 已知 ， 成等差数列( 为正偶数)又231() nfxaxax123na， ， ， ， n， ，求数列的通项 ；试比较 与 的大小，并说明理由2(1)fnnn1)f【例 43】 求 的值222134(1)n【例 44】 已知等差数列 ， ， ， 的两边长分别为 ， ，且na1248aABC3bS3ca60A求 的面积；求 的值；判断 形状ABC【例 45】 （2007 上海理 20）若有穷数列 （ 是正整数） ，满足 即 （ 是正整数，12,.na1211,.nnaa1inia且 ） ，就称该数列为“对称数列” 。i 已知数列 是项数为 7 的对称数列，且 成等差数列， ，试写出nb1234,b142,b的每一项n
