1、2018 年上海市高三一模数学考试客观题难题解析2017.12一. 宝山区11. 给出函数 ， ，这里 ，若不等式2()gxbx2()4hmx,bmxR（ ）恒成立， 为奇函数，且函数 恰有()10xbR()gxtfh两个零点，则实数 的取值范围为 t【解析】根据题意， 恒成立， ，即 . 210xb24(1)0b2b为奇函数， ，即 . 分零点讨论，如图所示，当2mxm2,()4xtf，1 个零点；当 ，2 个零点；当 ，3 个零点，当 ，(,)t,t,)t4,)t2 个零点. 综上，t 的取值范围为 . ,0),)12. 若 （ ， ）个不同的点 、 、 、 满足：n3*N1(,)Qab2
2、(,)(,)nQab，则称点 、 、 、 按横序排列，设四个实数 、 、 、12naa12n k1x23使得 ， ， 成等差数列，且两函数 、 图像的所有交点31()kx23x2yx3、 、 按横序排列，则实数 的值为 1,Py,y3(,)Pyk【解析】根据题意， ， ， 成等差数列， ， 、 、 为1k2x231x23x方程 的三个解，且 . 30x23解法一： ， ，设 ，34()3cos4coscos即 ， ， ， .1cos3260n201nZ，4csos ， ， ，1x2x3cosx2 23148s0sk，即 . 22(cos01)(cos801)cos4016cos402142k解
3、法二：结合图像可知， ， ，两函数 、 消去 y 可13x13y2yx3得方程 （解分别为 ） ，消去 x 得方程 （解分别30x123326910为 ） ，设 ，21y3()fx，32()69gy3()()1y根据平移性质可知，函数 图像可由 图像按向量 平移得到，且 对称中gfx(2,)()fx心为 ， 的对称中心为 ， 与 的图像关于 对称，如图所示，(0,1)()y(2,1)()fgy(1,0)即 ， ，ABCD3132xy233211xkx解法三：利用计算器，求解三次方程 ，求出 、 、 ，代入求出 . 310x1x231k16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的
4、内积，设：数列甲： 、 、 、 、 为递增数列，且 （ ） ；1x234x5i*N,5i数列乙： 、 、 、 、 满足 （ ）yy1,iy,2则在甲、乙的所有内积中（ ）A. 当且仅当 ， ， ， ， 时，存在 16 个不同的整数，它1x235x4759x们同为奇数B. 当且仅当 ， ， ， ， 时，存在 16 个不同的整数，1243648510它们同为偶数C. 不存在 16 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数D. 存在 16 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数【解析】取特例，数列甲：1、2、3、4、5，此时内积可能为 、15、 、11、13、15，16 个数均为奇数，排除 A、C
5、 选项；再取特例，数列甲：1、2、3、4、6，可以排除 B 选项，所以选 D. 二. 徐汇区11. 若不等式 对任意正整数 恒成立，则实数 的取值范围是 1()(1)3nnana【解析】当 为奇数，不等式为 ，即 对一切奇数恒成立，3a13a ， ；当 n 为偶数，不等式为 ，对一切偶数恒成立，31nn ， ；综上所述， 的取值范围是 . 283aa83,)12. 已知函数 与 的图像关于 轴对称，当函数 与 在区()yfx()ygy(yfx()yg间 上同时递增或同时递减时，把区间 叫做函数 的“不动区间”，若区,ab,ab)间 为函数 的“不动区间”，则实数 的取值范围是 12|2|xtt
6、【解析】结合图像， 的零点 应满足 ，解得 . |y2logx2l1,t1,2t16. 如图，棱长为 2 的正方体 ， 为 的中点，点 、 分别为面1ABCDE1CPQ和线段 上动点，求 周长的最小值（ ）1ABCD1PQA. B. C. D. 02【解析】作 ，取 BC 的中点 F， ，1PG作 E 关于 的对称点 H， ，1 GE10QFEH所以选 B. 三. 普陀区11. 已知正三角形 的边长为 ，点 是 所在平ABC3MABC面内的任一动点，若 ，则 的取值|1| |范围为 【解析】根据题意，作出示意图| | |MABCAMBAC， ，|3|3|D |1|3D当 与 反向时，有最小值
7、0，当 与 同向时，D有最大值 6，所以 的取值范围为 . | |0,612. 双曲线 绕坐标原点 旋转适当角度可以成为函数 的图像，关于此函213xyO()fx数 有如下四个命题： 是奇函数；()f ()fx 的图像过点 或 ； 的值域是 ；x3(,2,2()fx3(,)2 函数 有两个零点；则其中所有真命题的序号为 )yfx【解析】作出双曲线图像，旋转适当角度，使得其中一条渐近线垂直于 x 轴，如图中红色实线或红色虚线所示，结合图像，可知正确. 16. 定义在 上的函数 满足 ，且 ，则R()fx201()4xxf()(1)fxf函数 在区间 上的所有零点之和为（ ）35()2gxf1,A
8、. 4 B. 5 C. 7 D. 8【解析】作出 图像如图所示，周期为 2，设()f，即求 与 交点31()2xh()fxh横坐标之和. 结合图像可知，共有 3 个交点，其中两个交点关于 点对称，另一个交点的横坐标(,)为 1，所以交点的横坐标之和为 ，即215所有零点之和为 5四. 长宁区/嘉定区11. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， （ ），若nanS1a12nSa*N，12()nb则数列 的前 项和 nnT【解析】 ， ，1a12Sa，112()2nnnnna奇数项 1、3、5、成等差数列，偶数项 2、4、6、成等差数列，综上 ，na， ， ， ，()()nnnb1b213b14，消项
9、求和， . 11()nnT12. 若不等式 对满足 的任意实数 、 恒成立，则实数 的2()xycx0xyxyc最大值为 【解析】典型恒成立问题， ，参变分离得 ，()xy221()yxcxy，即求 的最小值，(0,1)ytx21()tft221()4()()1tttft，当且仅当 时等号成立，c 的最大值为 . 24tt15. 对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ，其中 为 和 的夹角，|os若两个非零的平面向量 和 满足： ； 和 的夹角 ； 和ab|ab(0,)4ab的值都在集合 中，则 的值为（ ）ba|,2nxNA. B. C. 1 D. 52312【解析】根据题意， ， ， ，
10、的值在|1bacos(,)2|cosbaba集合 中， ， ，|,2nxN|1ba|2(,2)ab， 的值在集合 中， . 选 B. 2|cos(1,)|,2nxN32ab16. 已知函数 ，且 ， ，1202()xf1()fxf1()()nnfxfx，则满足方程 的根的个数为（ ）1,23n()nfxA. 个 B. 个 C. 个 D. 个22n2()n【解析】画出 、 、 的图像，如图所示，由图可知， 有 2 个根，1()fx2f3()fx 1()fx有 个根， 有 个根，归纳可得， 有 个根. 2()fx23nfn五. 金山区10. 向量 、 是平面直角坐标系 轴、 轴的基本单位向量，且
11、，ijxy|2|5aij则 的取值范围为 |2|a【解析】本题与 2016 年虹口一模 17 题几乎一样，根据题意， ， ，设 ，(1,0)i(,1)j(,)axy根据 的几何意义， 轨|2|5a迹是一条线段（图中 AB） ， 的几何意义为|2|i到点 的距离，由图可知，距离最短(,)xy(,0)为 ，最长为 ，范围为65CD3AD65,311. 某地区原有森林木材存有量为 ，且每年增长率为 25%，因生产建设的需要，每年年a末要砍伐的木材量为 ，设 为第 年末后该地区森林木材存量，则 10n na【解析】根据题意， ，待定系数， ，可得 ，1540a15()4na25a 是首项为 ，公比为
12、的等比数列，25na23 13()4nna，即 . 本题要注意 ， . 3()4 5()4nna1a1524012. 关于函数 ，给出以下四个命题： 当 时， 单调递减且|1xfx()yfx没有最值； 方程 （ ）一定有实数解； 如果方程 （ 为常()fxkb0()fxm数）有解，则解的个数一定是偶数； 是偶函数且有最小值；其中假命题的序号()yfx是 【解析】根据图像可得， 在 单调递增，错误； 正确； 只有一个解，(0,1) ()0fx错误； 为偶函数，最小值为 0，正确；假命题是. 16. 给出下列四个命题：（1）函数 （ ）的反函数为 （arcosyx1cosy） ；xR（2）函数 （
13、 ）为奇函数；（3）参数方程 （ ）所表示21myxN221txytR的曲线是圆；（4）函数 ，当 时， 恒成立；其中21()sin()3xfx2071()fx真命题的个数为（ ）A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个【解析】 定义域为 ， 的值域不为 ，不能互为反函数，错误；cosyxRarcosyxR ， 为偶数， 为奇数， 为奇函数，正确；mN(1)21m21myx 消参可得方程为 ， ，不是一个完整的圆，错误； 恒成立，2yx()2f即 在 上恒成立，因为 且有周期性， ，2sin()3x017,)2sin0,1x()0,)3x结合图像性质可知，不能恒成立，错误. 正确
14、的只有，所以选 D. 六. 青浦区10. 已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是 2log()0()3xaf a【解析】由题意，当 ，02l()y有一个零点， 且 ， ；0a()f1a当 时， 有两个不同的零0x23yx点， ， ；综上， . 944911. 已知 为数列 的前 项和， ，平面内三个不共线的向量 、 、nSna12aOAB满足 ， ， ，若 、 、 在同一直线OC1()()nOAB*nNC上，则 2018【解析】由题意， 、 、 在同一直线上， ，即 ，BC11nnaa1nna， ， ， ， ， ，可知周期为12a30451a6078906，且每 6 项之和为 0，
15、， .28322018236Sa12. 已知函数 和 同时满足以下两个条件：()()fxmx(xg 对任意实数 都有 或 ；f 总存在 ，使 成立；0(,2)0()则 的取值范围是 【解析】由题意，根据 对任意实数 都有 或x()0f，可得 ， ，解得 ；()0gxm(1)0f3m根据 总存在 ，使 成立，0,2x0)fg可得 ，解得 ；综上，(2)f(,2)16. 在平面直角坐标系 中，已知两圆 和 ，又点 坐Oy1:Cxy2:14CxyA标为 ， 、 是 上的动点， 为 上的动点，则四边形 能构成矩形的(3,1)MN1Q2 MQN个数为（ ）A. 0 个 B. 2 个 C. 4 个 D.
16、无数个【解析】数形结合，如图所示，选 D七. 虹口区10. 设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过焦点 的直线交椭圆于 、2143xy1F21FM两N点，若 的内切圆的面积为 ，则 2MF2MNFS【解析】设内切圆半径为 ， 的周长为 ，根据题意， ， ，r2MNFC1r48Ca214MNFSC11. 在 中， 是 的中点，点列 （ ）在直线 上，且满足ABDnP*A，若 ，则数列 的通项公式 1nnnPaP1aana【解析】 ，2，1 1()22nnnnnBCAPBC 与 共线，但不与 共线， ， ， . PCnP0na12n1()nna12. 设 ，其中 ， ，如果函数 与函数2()xfxa
17、b,bNxRyfx都有零点且它们的零点完全相同，则 为 y (,)a【解析】设零点 ， ， ， ，00()f0()0ffb，2()fxa当 ， ， ，有唯一零点 ，符合；当 ，a4()fxx0a，)f有两个零点 和 ， 和 ，10x2()()2()ff fx()2fa 已满足有两个相同的零点 和 ，方程 无解，()f 10x2a()2fa即 无解， ， ；20xa248a1综上， 为 或 . (,)b,(1,)16. 已知 Rt 中， ， ， ，在三角形ABC9AB6C所在的平面内有两个动点 和 ，满足 ， ，MN|2MN则 的取值范围是（ ）|NA. B. 32,44,6C. D. 5223
18、1,631【解析】以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴建立直角坐标系，根据题意， 点的轨迹为 ，设 N 点M24坐标为 ， N 为 MC 中点，则 M 点为 ，(,)mn(,6)mn代入方程 可得到 点轨迹 ，24xy2231是一个以 为圆心，1 为半径的圆，设圆心 为(0,3) (0,)，可得 ， 的最小值为 ，D5B|N14BD最大值为 ，选 B. 16八. 杨浦区11. 已知函数 ， ，设 ，若函数3()cos(incos)2fxxxR0()gx为奇函数，则 的值为 【解析】 ， 为奇3()cos(incos)sin()2fxxx(sin2)3gx函数，且 ， ， ， .
19、023k6k*N12. 已知点 、 是椭圆 上的两个动点，且点 ，若 ，则CD214xy(0,2)MDC实数 的取值范围为 【解析】数形结合，取极端情况. 作 CEy 轴， DFy 轴，同理3MDFBCEA1当 D 点位于 ，C 点位于 时， 等于 3；(0,1)(0,)当 D 点位于 ，C 点位于 时， 等于 ， . 1,316. 设 、 、 、 是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足 ，B 0ABC， ，用 、 、 分别表示 、 、 的面积，0A0AS23D则 的123S最大值是（ ）A. B. 2 C. 4 D. 8【解析】构造如图所示的长方体，根据题意，该长方体的体对角线长度等于球的直径，为 2，设 ， ，ADaCb， ，ABc224abc132cS，2 221()()()()4选 B. 九. 松江区
