1、2015 年全国研究生数学建模竞赛 E 题 数控 加工 刀具运动的 优化 控制 数控加工 技术 正朝着高速高效 高精度 方向发展，高速加工要求机床各运动轴 都 能 够 在极短的时间内达到高速运行状态并实现高速准停， 研究开发 数控加工刀具运动 满足高速、高精度要求的 、 有效柔性加减速控制方法，已成为现代高性能数控系统研究的 重点 。 基于 计算机 的数控系统 的 工作原理是： 首先通过计算机组成的数控编程系统对读入的零件信息进行存储和译码等处理后通过输入装置 将它们 传输给加工控制系统，然后由数控系统对输入的指令进行信息处理和轨迹插补计算出数控机床各坐标 轴方向 上刀具 运动的控制信息 （这
2、个环节就是题目 要求完成的任务） ， 进而 通过机床驱动以及机床运动将 刀具在 各坐标轴 方向上的 运动合成为刀具实际加工轨迹 和速度控制 ，加工出所需的工件。 上述环节的难点在于数控机床对 加工刀具 在三个坐标轴方向的运动（本题不考虑更复杂的五轴控制等，）实行的是分别控制，但显然它们之间必须相互协调； 加工刀具行走 的 路线一定 是 一系列 首尾相接的 直线段，因此加工刀具的运动轨迹一般与工件几何形状之间肯定存在误差；每一机床都有对应的分辨率，上述任一直线段对应的坐标增量 记为 ,x y z ，则 ,x y z 的长度一定都是分辨率的整数倍，故加工刀具的运动方向 受限制，并 影响 到加工刀具
3、 在三个坐标轴方向上的速度、加速度 ； 要求机床运动平稳，速度光滑、加速度连续 等 。 加工刀具运动的优化控制 则 是在数控机 床 所 提供的精度 、速度、加速度等限制条件下， 寻求对 机床 刀具在 各坐标 轴方向上的 运动 进行合理控制，进而 优化 其加工效率 。 类似方程式赛车，有经验的车手可根据赛道特点及赛车的性能（如速度、加速度等） 对赛车的 行进路线及过程进行优化。 而 对于一般曲线加工， 加工控制算法就是 在满 足误差要求的条件下，通过插补的方法， 找出 若干小直线段 组成 加工刀具的运动轨迹 ，同时 计算出刀具 对应的 运动 速度 、加速度 。 目前， 数控加工 对单 个 坐标运
4、动的 控制方法 有多种，其中较有代表性的是基于 S 型曲线的加减速控制方法 。 其特点是 将加减速过程分为 7 个阶段 （每一段对应的 加加速度为常量 ） ：加加速段、匀加速段、减加速段、匀速段、加减速2 段、匀减速段、减减速段， 从而 渐变 地 控制各段的加速度使机床运动速度按 S型曲线形式平滑变化， 以 保证速度光顺，加速度连续，在一定程度上增强机床运行的平稳性。 S 型加减速控制曲线如图 1 所示。 加 加 速匀 加 速减 加 速 匀 速 加 减 速 匀 减 速 减 减 速T1T2T1T1T1T2T30J- J0am a x- am a x0Vm a x图 1 S 型加减速控制曲线的速度
5、、加速度、加加速度随时间变化规律 在 基于 S 型曲线 的 运动过程中，对于速度和加速度都有一定的 限制性 要求，速度 V 不大于机床最大速度 maxV ，加速度 a 不大于机床最大加速度 maxa ，加加速度为 常量 constJ 。 图中各个阶段 的 速度、加速度、加加速度随时间的变化规律如 附录所示。 在 目前采用的 S 型速度控制曲线中，加速度每次都是从 0 增加，最后又降为0， 而 在实际运动过程中电机启动时允许有一个瞬时启动加速度 a0，即认为加速度可以从 0 瞬间提高到瞬 时 加速度 a0， 或瞬间 从 a0 下降到 0， 速度也有类似功能，这样整个加速 过程及速度的变化规律有一
6、些改变 。 假设不考虑刀具尺寸大小 及 刀具磨损 ， 加工刀具 抽象为一点。 希望 同学 们 在深入研究 数控加工 优化 控制 的基 础上，完成以下工作： 1、 设 加工型线为折线， 在 指定 加工误差 （指在加工型线的法线方向上加工型线与刀具实际轨迹 的 差值的最大值） 的条件下， 建立 实时加工 优化 控制 算法， 当 相邻两折线段 夹角为 90 和 135 时， 讨论 通过 折线 交点时 对应 各坐标运动 速度的变化 ； 2、 设加工型线是 由 直线 段 和圆弧 段 （相切或不相切） 组成 的连续曲线 ，在 指3 定 加工误差的条件下， 不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度， 建立实时加工
7、 优化 控制 算法 ，讨论圆弧半径的变化对算法 效率 的影响 ； 并应用所建立的模型对下面的 加工路径示例 进行检验； 3、 在 第 2 问 基础上， 考虑 瞬时 启动加速度 及瞬时 启动速度 ， 建立相对应的 实时加工 优化 控制算法 ； 并应用所建立的模型对下面的 加工路径示例 进行检验； 4、 结合前 3 问，分析 S 型曲线的加减速控制方法的优缺点， 在满足精度和速度 要求 的条件下，建立 能 提高机床运行 平稳性 的优化 控制 运动 模型 （如刀具在各坐标轴方向上的 运动满足加加速度连续变化等） 。 加工路径示例： 1) 图 2 所示是一个圆角矩形切割路径 的示意图 ，路径的四个角是
8、半径为 0.5 的 整圆的 1/4 圆弧。矩形 外围 大小是： 41 41（单位： cm）。 图 2 圆角矩形切割路径 2) 在实际加工 过程中 ，从坐标为 (-20.500， -20.000， 0.000) 的 节点 1 位置开始下刀，该点处的瞬时速度为 0.13； 从 节点 1 到 节点 2 (-20.500， -17.708，0.000)的过程中，要求最大速度为 0.19。 从 节点 2 (-20.500， -17.708， 0.000) 出发 ， 顺时针加工 ， 回到该点 (-20.500， -17.708， 0.000)（记为节点 11），期间要求最大速度为 1.26， 节点 11
9、处的 终止速度为 0.13。 表 1 给出 加工过程中对最大速度的要求。 表 1 圆角矩形切割路径加工中速度要求 20.520.5XYO4 路径节点 节点坐标 (X、 Y、 Z) 用户设定的最大频率 F 最大频率 F 转换后对应的速度 1 (-20.500,-20.000,0.000) 2773 0.13 2 (-20.500,-17.708,0.000) 4029 0.19 3 (-20.500,20.000,0.000) 26865 1.26 4 (-20.000,20.500,0.000) 26865 1.26 5 (20.000,20.500,0.000) 26865 1.26 6 (
10、20.500,20.000,0.000) 26865 1.26 7 (20.500,-20.000,0.000) 26865 1.26 8 (20.000,-20.500,0.000) 26865 1.26 9 (-20.000,-20.500,0.000) 26865 1.26 10 (-20.500,-20.000,0.000) 26865 1.26 11 (-20.500,-17.708,0.000) 2773 0.13 表中 最大频率指的是控制脉冲的 最大 频率， 本题 可以不予考虑，对应的速度指的是刀具的运动速度，单位是 m/min 运动过程中，机床对于速度 、加速度、加加速度 等
11、的限制条件如下： 进给速度 V 范围 Vmin, Vmax： 0.13, 6 单位 m/min 加速度 a 范围 Amin, Amax： 0.02, 0.6 单位 m/s 加加速度 constJ ： 300 单位 mm/s 瞬时启动速度 0V ： 0V = 0.13 单位 m/min 瞬时启动加速度 0a ： 0a = 0.02 单位 m/s 误差 1 m 分辨率： 11280mm 附录 ： 图中各个阶段速度、加速度、加加速度随时间的变化规律如下面所示： (1) 加加速段 211 (0 , 2constJJa JtV Jt t T 其中 1 max constT a J ，这个过程中加速度达到
12、最大 maxa ，加速度和速度都在增加。 (2) 匀加速段 5 m a x21 m a x 1 1 1 201 + ( ) ( , 2 c o n s tJaaV J T a t T t T T T 其中 22 m a x 1 m a x( ) /constT V J T a ，这个过程中加速度不变，速度在增加。 (3) 减加速段 m a x 1 2221 m a x 2 m a x 1 2 1 2 1 2 1 2()11+ + ( ) ( ) ( , 2 22c o n s tc o n s tJJa a J t T TV J T a T a t T T J t T T t T T T T
13、这个过程中加速度在减小，速度在增加，一直增加到 maxV ，当 122t T T时，maxVV 。 (4) 匀速段 m a x 1 2 1 2 300( 2 , 2 JaV V t T T T T T 这个过程中加速度为 0，速度保持 maxV 不变， 3T 的长短由路径长度决定。 (5) 加减速段 1 2 32m a x 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 2 )1 ( 2 ) ( 2 , 3 2c o n s tJJa J t T T TV V J t T T T t T T T T T T 这个过程中加速度在增加，速度在减小，这段其 实与减加速段是对称的。 (6) 匀减速段 m ax2
14、m ax 1 m ax 1 2 31 2 3 1 2 301 ( 3 ) 2( 3 , 3 2 co n s tJaaV V J T a t T T Tt T T T T T T 这个过程中加速度保持 maxa 不变，速度在减小，这段其实与匀加速段是对称的。 (7) 减减速段 6 m a x 1 2 322m a x 1 m a x 2 m a x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 3 2 )11 ( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2 , 4 2 22c o n s tJJa a J t T T TV V J T a T a t T T T J t T T T t T T T T T T 这个过程中加速度在减小直到为 0，速度也在减小直到为 0，当 1 2 342t T T T 时，0V 。这段其实与加加速段是对称的。
