1、7-1第七讲第七讲 图像数字化图像数字化【 目录目录 】一、概述 .1二、取样 .2三、量化 .51、均匀量化 .52、非均匀量化 .6四、重建 .7【 正文正文 】一、概述一、概述图图 像像 进进 入入 计计 算机，是 进进 行数字行数字 图图 像像 处处 理的第一步。一幅黑白理的第一步。一幅黑白 图图 像可以看像可以看成是一个二成是一个二 维连续维连续 函数： ，其函数 值值 表示表示 为为 位置位置 (x,y)处图处图 像的亮度。),(yxf计计 算机中的数字算机中的数字 图图 像是以矩像是以矩 阵阵 或二或二 维维 数数 组组 来表示的：来表示的： 。数字 图图 像的像的 处处nmf理
2、就是理就是 对对 矩矩 阵进阵进 行运算，得到所需要的行运算，得到所需要的 东东 西。取样 量化原始图像 数字图像采样图像从二从二 维连续连续维连续连续 函数函数 到数字到数字 图图 像矩像矩 阵阵 ，涉及到在不同位置，涉及到在不同位置),(yxf nmf上取出函数上取出函数 值值 作作 为样为样 本（ 取样取样 ），并用一 组计组计 算机能算机能 实现实现 的离散数的离散数 值值 来表示来表示 这这些些 样样 本点的本点的 值值 （量化量化 ）两个步）两个步 骤骤 ，这这 两个步两个步 骤统骤统 称称 为图为图 像的数字化。像的数字化。现现 在的在的 问题问题 是， 经经 数字化后得到的数字
3、化后得到的 图图 像像 能否保持能否保持 的原有信的原有信nf),(yxf息，即在空 间间 上上 对对 取取 样样 的密度多大才是合适的，在幅度上以多少等的密度多大才是合适的，在幅度上以多少等 级级),(yxf表示表示 样样 本的亮度才足本的亮度才足 够够 ，然后，用怎 样样 的方法才能从的方法才能从 恢复出恢复出 ，nmf,f即即 重建重建 图图 像， 这这 是今天要是今天要 讨论讨论 的的 问题问题 。二、取样二、取样7-2【导语导语 】取取 样样 是是 图图 像像 进进 入入 计计 算机的第一个步算机的第一个步 骤骤 。事 实实 上，在数字 图图 像像 处处 理理),(yxf学学 诞诞
4、生之前， 对对 某些某些 图图 像已像已 经经 采用取采用取 样样 技技 术进术进 行行 处处 理了。如 传传 送送 电视图电视图 像，需要在需要在 摄摄 像管上逐行像管上逐行 扫扫 描描 获获 取取 图图 像信息， 经经 光光 电转换电转换 后，把 图图 像信息以像信息以 电电 的的形式送出去。上述形式送出去。上述 过过 程是在空程是在空 间间 的一个方向上完成的一个方向上完成 对图对图 像的取像的取 样样 ，标标 准准 电视电视的取的取 样样 点是点是 625 行。在数字在数字 图图 像中，需要在空像中，需要在空 间间 两个方向上都两个方向上都 进进 行取行取 样样 。对图对图 像像 沿沿
5、),(yxf方向取方向取 点，沿 方向取方向取 点，便得到了矩点，便得到了矩 阵阵 。xMyNNMsnmf),(【取取 样样 】设设 一个二一个二 维维 取取 样样 函数：mnynxyxs ),(),(如下如下 图图 所示： x yxy它是一个沿它是一个沿 方向方向 间间 隔隔 为为 ，沿 方向方向 间间 隔隔 为为 的二的二 维维 狄拉克函数狄拉克函数 阵阵xy列，如右 图图 。取 样样 后得到的后得到的 图图 像可以表示像可以表示 为为 ： mns nxmfyfxyf ),(),),(),(),( 根据狄拉克函数的根据狄拉克函数的 筛选筛选 性性 质质 ，有： mns yxff ),(),
6、(),(说说 明明 这这 一步相当于以矩形点一步相当于以矩形点 阵阵 均匀取均匀取 样样 ，取 样样 点的位置在点的位置在 ，x组组 成均匀的网格点上。其中成均匀的网格点上。其中 。yn,.210,n【推推 导导 】现现 在看看取在看看取 样样 前后的前后的 谱谱 函数的形式：函数的形式：7-3),(yxf ),(yxfF),(yxfs ),(yxfFs求傅立叶变换求傅立叶变换比较取样前后频谱关系 ),(yxsF先求先求 。对对 于：,F nmmn ymxynxyxs ,)(因因 为为 其中其中 是周期是周期 为为 的周期函数。周期函数可以展开的周期函数。周期函数可以展开xg)()(为为 傅立
7、叶傅立叶 级级 数形式。有：nxnjeCg2其中： 1)(1)(12222 xxnjx xnjmn dedC 所以有：所以有： 和和 xmjex21)( nyjny2)(则则 ： nyjmxjFyxs 22),(根据傅立叶根据傅立叶 变换变换 的的 线线 性性性性 质质 ：mnyjxmjeyxs 21),(根据傅立叶根据傅立叶 变换变换 的平移性的平移性 质质 ：mnynvxusF)1,(),(再求再求 ，有：),(yxfvuss ),(),(),( fFs mns dvuynx,117-4由由 线线 性性得：性性得： mns dvuFynxyxvuF ,1,1),(由由 筛选筛选 性得： m
8、ns vuF,),(【分析分析 】现现 在来看看取在来看看取 样样 前后函数前后函数 频谱频谱 的关系。假 设设 是一个有限是一个有限 带宽带宽 函函),(yxf数，表示 为为 ：若若 ，则则 有：),(),(yxfvuF在区域在区域 之外， 。则则 有下面有下面 图图 形：vuw0),(vuFx1y1uv vu2vwR 域采样前的频谱图 采样后的频谱图表明弃养表明弃养 图图 像的像的 谱谱 是原来是原来 的的 谱谱 沿沿 轴轴 和和 轴轴 分分 别别 以以 和和),(yxf),(vuFvx1无限周期性重复的无限周期性重复的 结结 果。 显显 然，如果存在一个理想的低通然，如果存在一个理想的低
9、通 滤滤 波器：y1其 它0,1),( vuwvuH则则 ： ),(,),(HvyFxs存在的条件是：存在的条件是：7-5，即 。vuwyx21vuyx21【定理定理 】说说 明明 满满 足以上条件，相足以上条件，相 邻邻 的的 R 域不会彼此混叠，可以用理想的低通域不会彼此混叠，可以用理想的低通 滤滤 波波器取出一个完整的器取出一个完整的 R 域，以确保取域，以确保取 样样 后不失真地再后不失真地再 现现 原信号原信号 ，这这 就是就是),(yxf取取 样样 定理。三、量化三、量化对图对图 像像 的取的取 样样 完成之后，得到取完成之后，得到取 样值样值),(yxf在在 进进 入入 计计 算
10、机前， 还还 需要量化。),(yxfs具体地，在 样样 本本 值值 的取的取 值值 范范 围围 内内 进进 行分行分 层层 ，然后用单单 个个 值值 来代表来代表 这这 一一 层层 内所有的内所有的 值值 。根据 计计 算机内整数存算机内整数存放的放的 惯惯 例，可以把 样样 本本 值值 的取的取 值值 范范 围围 分成分成 个个 层层 次，ik2一般一般 ，即可将象素灰度，即可将象素灰度 值值 分成分成 64、128、256 个个8,76i层层 次，就是通常所次，就是通常所 说说 的的 64、128、256 个灰度个灰度 级级 。层层 次越多， 则则 由量化了的取由量化了的取 样值样值 恢复
11、的恢复的 实际图实际图 像越像越接近原接近原 图图 。但量化噪声。但量化噪声 总总 是存在的。最最 简单简单 的量化方案是均匀量化，即子区的量化方案是均匀量化，即子区 间长间长 度均匀。然而如果然而如果 样样 本本 值值 在某个取在某个取 值值 范范 围围 内内 频频 繁出繁出 现现 ，而在其它范，而在其它范 围围 内很少出内很少出现现 ，可以 进进 行非均匀量化。行非均匀量化。1、均匀量化、均匀量化对对 取取 样样 后的后的 图图 像像 ，设设 ：),(yxfZskZ0则则 ，均匀量化可用下面的，均匀量化可用下面的 图图 来表示：来表示：0123Z1kZkqq kqZ即即 对对 量化成量化成
12、 ,则则 ：),(yxfZs)(nmf1,.0),(kiqnmf且当且当 时时 ，对应对应 的的1is。,iiiZfminfmaxfif1k 个区间0q121kq00000000000000010000001011111111定义7-6注意， 这这 里的里的 是一列是一列 实实 数数 值值 ，对应对应 原始原始 图图 像的小范像的小范 围围 的亮度的亮度 值值 。在 计计iq算机中， 对对 量化的量化的 实实 数数 值值 在在 进进 行行 编码编码 。通常的 编码编码 方式是自然方式是自然 编码编码 法，我 们们称称 BCD 编码编码 。下面下面 讨论讨论 均匀量化的均匀量化的 误误 差：设设
13、 的概率密度用的概率密度用 表示， 则则 ：Z)(Zp。1022kiiii dq如果如果 图图 像的灰度分布是均匀的，即：像的灰度分布是均匀的，即： Pp)(则则 ： 1022kiZiiidq。3313ki iii当当 确定之后， 误误 差也就确定了。差也就确定了。iq前面指出前面指出 ，但是没有指出，但是没有指出 在区在区 间间 的位置， 显显 然， 取取 值值 不不,1iiZiqiq同， 也不同。 为为 得到得到 的最小的最小 值值 ，可：22，即 ，得到最佳量化，得到最佳量化 值值 ： 。0iq021iiiq 21iiiZ设设 子区子区 间间 的的 长长 度度 为为 ，则则 ，有：,iZ
14、Lkp122310332kLi 可可 见见 ，当量化 层层 次次 加大加大 时时 ， 成比例成比例 缩缩 小，量化 误误 差也减少了。差也减少了。k2、非均匀量化、非均匀量化已有取已有取 样值样值 ，其 值值 分布在分布在 ，并已知在 中取中取 值值 的的),(yxfZs kZ,0kZ,0概率密度概率密度 为为 。现现 在从量化在从量化 误误 差最小的角度，来差最小的角度，来 选选 定每个子区定每个子区 间间 的的 。)(p iq是子区是子区 间间 上的一个确定上的一个确定 值值 ，因此 显显 然然 大的位置，子区大的位置，子区 间应该间应该iq1,i iq取的小一些，取的小一些， 小的位置，
15、子区小的位置，子区 间应该间应该 取的大一些，取的大一些， 这这 种量化称非均匀量化。种量化称非均匀量化。i现现 在在 对对 于： 1022kiZiii dZpq令：7-7，得到： .02212 ZpqZpqZiii 21iiqZ，得到 .12iiZii dq 11iiiZidp0Z12Z3 1kZkqq kqp即即 是量化是量化 值值 的中的中 间值间值 。而 是子区是子区 间间 上上 构成的曲构成的曲 边边 梯梯ii i1,iZ)(p形的形心。【解法解法 】已知： 、 、 、 ，求 、 。0kpiq重新确定的值 0q任取一 值0公式求出 值1Z公式求出 值q类推直至求出 值1k检验公式是否
16、成立结 束均匀量化是非均匀量化的一个特例。均匀量化是非均匀量化的一个特例。四、重建四、重建7-8图图 像的重建是像的重建是 图图 像取像取 样样 的逆的逆 过过 程。完成从 图图 像像 到到 连续图连续图 像像),(yxfs的的 变换变换 。当 满满 足采足采 样样 定理定理 时时 ，有：),(yxf ),(,vuHyFxvus即： ,),( yxfhf s因因 为为 ： 其 它0,1),( vuwvuH所以： ycxcwyxhvuvu2sinsi4,则则 ： ),()()2(n),( xfwkf sv又： mns ynmyxfyxf , 则则 ： )2(sin)(si*),(,),( ywcxcxfkf vun mn ynmyxfyxf ),(,),( dwccvu(2si)2simn yxyxfkyxf ),(,),( ccvu(sin)si mn ynxmfmwf ,)2(2),( 表明，重建 图图 像是位于像是位于 上的上的 许许 多个二多个二 维维 的的 sinc 函数加函数加 权权 求求yx,和的和的 结结 果。一一 维维 的情况：的情况：。 102sin)(Mmuxfxckxf7-9一般采用一般采用 简单简单 的插的插 值值 来重建来重建 图图 像。
