1、1利润最大化问题摘要公司是以营利为目的而存在，公司要想在变化的市场中利润最大化，就得在销售收入和成本之间找到平衡点。本文通过公司调查市场得到的数据，包括成本、售价和预期销售量、广告费和销售增长因子之间的关系进行分析，试图为公司的运营找到最好的广告费用投入和出售价格，从而使公司利润最大化。针对问题，本文采用了 MATLAB 首先由散点图推测售价和预期销售量之间线性关系，广告费用和销售增长因子之间存在二次多项式的关系。通过题目提供的数据编程拟合得出以上两个关系式的系数。再通过，销售利润=销售收入-销售成本推算出销售利润和售价、广告费用的恒等式，最后用 fminsearch 找到利润最大值。关键词：
2、利润最大化 MATLAB 拟合 2一、问题重述公司是以营利为目的而存在，公司要想在变化的市场中利润最大化，就得在销售收入和成本之间找到平衡点。要想获得最大利润就必须调查市场，再分析由市场得到数据，确定销售价格和广告费用的投入，最终利润的最大化，为今后公司的生产与销售提供依据。二、问题分析本文为了确定是利润最大化的销售价格、广告费用投入，再根据题目提供的数据，从以下步骤讨论分析问题：1、为了减少变量，可以充分挖掘销售价格和预期销售量之间的关系、广告费的投入和销售增长因子之间的关系。2、用 MATLAB 拟合出以上两个关系式的系数，再用销售价格的代数式表示预期销售量、广告费用的投入的代数式表示销售
3、增长因子。3、利用销售利润=销售收入-销售成本计算出最佳的销售价格和广告费用投入、最大利润。三、模型假设本文假设有市场得到的数据是能代表市场的，近期公司所从事的行业不会有大的波动。四、符号说明sj ：销售价格；ggfy ：广告费用投入；yqxsl ：预期销售量；xszzyz ：销售增长因子；profit ：利销售润；fmin ：最大利润的相反数；u ：对应销售价格和广告费用投入；tggfy ：广告费用投入变量取点；tyqxsl ：预期销售量取点；tsj ：销售价格取点；txszzyz ：销售增增长因子取点。3五、模型的建立与求解一、寻找变量关系求解销售价格和预期销售量之间的关系、广告费的投入和
4、销售增长因子之间的关系。售价 200 250 300 350 400 450 500 550 600预期销售量（千桶）41 38 34 32 29 28 25 22 20表 2广告费（千元） 0 10 20 30 40 50 60 70销售增长因子 100 140 170 185 195 200 195 180拟合销售价格和预期销售量之间的关系 ，程序如下：sj=2:0.5:6;yqxsl=41 38 34 32 29 28 25 22 20;plot(sj,yqxsl,:o)title(销售价格和预期销售量的关系);xlabel(销售价格 -sj);ylabel(预期销售量 -yqxsl);
5、由图推测 sj 和 yqxsl 之间存在线性关系，下面进行拟合关系系数。程序为 ： p=polyfit(sj,yqxsl,1) 运行结果 ： p1= -5.1333 50.4222 。所以 yqxsl=-5.1333*sj+50.4222拟合效果检测程序如下 ：4tsj=2:0.5:6;tyqxsl=polyval(p,tsj);plot(sj,yqxsl,:o,tsj,tyqxsl,-*);title(销售价格和预期销售量的关系);xlabel(销售价格-sj);ylabel(预期销售量-yqxsl);结果如下 ：可以看出两者是高度拟合的。拟合广告费用的投入和销售增长因子之间的关系 ，程序如
6、下：ggfy=0:10:70;xszzyz=1 1.4 1.7 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80;plot(ggfy,xszzyz,:o);title(广告费用投入和销售增长因子之间的关系);xlabel(广告费用 -ggfy);ylabel(销售增长因子 -xszzyz);5由图推测 ggfy 与 xszzyz 之间存在二次项的关系，下面进行拟合关系系数。程序为 ：p2=polyfit(ggfy,xszzyz,2) 结果为 ：p2 = -0.0004 0.0409 1.0188 。所以 xszzyz=-0.0004*ggfy2+0.0409*ggfy+1.0188 。拟合效果
7、检测程序如下 ：tggfy=0:10:70;p2=polyfit(ggfy,xszzyz,2)txszzyz=polyval(p2,tggfy);plot(ggfy,xszzyz,:o,tggfy,txszzyz,-*);title(广告费用投入和销售增长因子之间的关系);xlabel(广告费用 -ggfy);ylabel(销售增长因子 -xszzyz);结果如下 ：6可以看出拟合效果良好。二、建立模型由销售利润=销售收入-销售成本，以及以上找到的变量关系，建立模型利润 2(2)(5.130.42)(.040.491.08)profitsjsj gfygfyf以下围绕着这个等式找出最大利润和对
8、应的销售价格、广告费用。求解最大值可以把函数前加个负号转换成求解最小值，程序如下 ：function profit=mymax(p)sj=p(1);ggfy=p(2); 2(2)5.130.42)(.04.0491.08)profitsjsj gfygfyf定义初始值为 销售价格=2 ， 广告费用投入=0 ，u,fmin=fminsearch(mymax ,2,0)运行结果为： u = 5.9113 35.2075 fmin =-118.9437 。取 fmin 的相反数得到最大利润额。所以最终模型为 2(2)5.130.42)(.040.491.08)profitsjsj gfygfyf7对
9、应的销售价格 sj=5.9113 广告费用投入=35.2075；最大利润 profit=118.9473有上面讨论可知，公司要获得最大利润就应该在广告费用中投入35207.5 元，对应的销售价格为 5.9113 元，从而公司的最大利润为 118.9437 万元。六、模型评价本文通过市场调查的数据分析得出公司今后的生产和销售模型，使公司利润最大化，处理方法灵活，模型浅显易懂是本文的优点，但始终是数据有限，并且两次运用拟合，再通过公式组合出模型，这样误差无法测量，模型最终得出的售价是四位小数，在现实中实现较难。这是本文的缺陷。七、模型改进根据在模型评价中提出缺陷，模型可以在以下方面进行改进：第一、收集更多反映市场的数据；第二、少用了拟合，或者使用拟合更精确的模型。八、参考文献1 刘卫国， MATLAB 程序设计教程 ，中国水利水电出版社， 2012.22 （美）Frank R.Giordano,Maurice D.Weir,William P.Fox 机械工业出版社 ，2005.1
