1、1数学中的恒成立问题1.已知函数 ， 1ln()mxfxR（）求 的极值；（）若 在 上恒成立，求 的取值范围ln0a(,)a解 ： （）由导数运算法则知， 令 ，得 当2ln()mxfx()0fxemx时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递(0,e)mx()fx()fxe,ff减故当 时， 有极大值，且极大值为 f ()mf（）欲使 在 上恒成立，只需 在 上恒成立， K等价于ln0xa(,)lnxa(0,)只需 在 上的最大值小于 设 （ ） ，由（）知， 在 处lx(0,)al()gx()gxe取得最大值 所以 ，即 的取值范围为 1e1ea1,e2. 已知函数 ().fxx（1）求函
2、数 的单调区间；（2）是否存在正常数2,101xx使 不 等 式 在恒成立？如果存在，求出最小正数 ，否则请说明理由。解：（1）由 ()1:1fx x知 其 定 义 域 为 ， 求导数得到()2fx，令 ，x=0,因此 ()0,10f 在 上 为 减 函 数 在 上为增()0fx函数 （2）令 2211,()4xtt则 ，只需21()()4tt在上恒成立, 当 t=2 时，显然成立， 当221()4, ()tt t时 只 需恒成立， 又 221()()44t， ,即 最小值为 4。3.已知二次函数 g（x ）对任意实数 x 都满足 21gxx，且 1g令19()ln(,0)28fxmR（1）求
3、 g(x)的表达式；（2）设 e， ()(1)Hxfmx，证明:对任意 x1,x 2m,，恒有212|()|.Hx解：（1）设 2gxabc，于是 22111gxxacx，所以 2.ac，又 1，则 1所以 2. （2）因为对 xm， ， ()0xmH， 所以 ()Hx在 1,m内单调递减.于是 21211|()|()ln.Hx 22 3|()|lnln0.2记 3lne)hm，则 31() 03h， 所以函数()l2在 1， 是单调增函数，所以 e1()e022hm，故命题成立. 4 （ 0 ）xkxf)ln()（1）已知 0，若 0 恒成立，求 的 取值范围；)(fk（2） （ 0） ，判
4、断 是否存在极值。若存在，求出极值，若)1ln()(xxg)(xg不存在，说明理 由。解：（1） = = ，0 2 时， 0 0 )(f 2()kxx 2()1kkx)(f在（ 0.+）上单调递增 =0，符合题意。 2 时，令 =0 0)(xf )(f0f fx解得 0 时， 0， 在（0， 单调递减，则)2kx2k)(x)(xf)(k（0， ， =0 与已知矛盾 综上，0 ()(f(f（2） = ，k.Com由（1 ） = 时, .即)(xg )2(1)ln(12xx k2)(xf0 , 在（ ，+ ）没有极值点。)1ln(g0g05.已知函数 (|l().fxaxa（1）若 ,求 ()f的
5、单调区间及 fx的最小值；（2）若 0，求 x的单调区间；3（3）试比较）22ln3ln(1)n 与的大小， *(2)nN且 ，并证明你的结论。解：（1） 1,()lafxx， 1,()l,()0.xfxxf当 时() .fx在 区 间 上 是 递 增 的01n当(0,)在 区 间 上 是 递 减 的故 a=1 时 ， ()fx的 增 区 间 为 1,)， 减 区 间 为 （ 0， 1） ，min)1.fxf（2）若 ,()ln,().xaxfxxf当 时 ， 则 ()fx在 区 间 ,a上是递增的；当 10 0a时 ()f在区间 0,上是递减的，若1,()l,xfx当 时 (), 1()0f
6、xxxf ， 则()f在区间 上是递增的， 在区间 ,1)a上是递减的；当 0,()ln,()0xafxfx时 (f在区间（0，a ）上是递减的，而()f在 处连续；则 在区间 ,上是递增的，在区间（0，1 ）上是递减的， 综上：当 1,()fx时 的递增区间是 ,)a，递减区间是（0，a ） ；当 1时， ()fx的递增区间是 ，递减区间是（0，1 ） （3）由（1）可知，当 1， x时，有 1ln0x，即 lx22lnln 2223 221()3n11()234( 1( )34n2()()nn6.设函数 2l1fxbx（1）若对于定义域的任意 ，都有 成立，求实数 的值；()1fxb（2）
7、若函数 在定义域上是单调函数，求 的取值范围；()fxb4（3）若 ，证明对于任意的正整数 不等式 都成立.1bn3311()2nkf n解：（1）由 ，得 ， 的定义域为 ，对 都有0x1x()fx,(,)x ，()fx函数 定义域上连续， 是函数 的最小值，故有 ，()f ()0f ， ， . 21bf24b（2） ，又函数 在定义域是单调函数， ，或2()1xfx()fx()0fx在 上恒成立.若 ， ， 在 上恒成()0fx,()0f1020xb1,立，即 恒成立，由此得 ；若 ， ，2()b2(b()f，即 恒成立，因 在 没有最小值，不存在实数2 )x2()x,使 恒成立.综上所知
8、，实数 的取值范围是 . ()0fxb（3）当 时，函数 ，令函数 ，1b2()ln(1)f323()ln(1)hfxx则 ，当 时， ，函数 在32()xh0,x0h上单调递减，又 ，当 时， ， 即0,(0)h()()恒成立.故 . ， ，取 ， ，23ln(1)xx3f*kN,kxk3()f，故结论成立. 331 1kfn7.已知函数 3si()coxf(0)2（1）求 f的导数 )f； （2 ）求证：不等式 3sincos02x在 ， 上恒成立；（3）求 21()(0)singxx的最大值解：（1）4233cosinco1f （2）由(1)知 ，其中 (0)f 令 ()fxG，对242
9、331()ifxx()Gx求导得58.已知函数 f (x) = eg(x)，g (x) = (e 是自然对数的底 )1k（1）若函数 g (x)是(1 ， +)上的增函数，求 k 的取值范围；（2）若对任意的 x0，都有 f (x)x + 1，求满足条件的最大整数 k 的值；（3）证明： ln(1 + 12) + ln(1 + 23) + +ln1 + n (n + 1)2 n 3 (nN*)解：（1）设 因为 g (x)是(1 ，+) 上的增函数，221()() ,()kkgx所以 g(x)0，得到 k 1；所以 k 的取值范围为( 1，+) （2）由条件得到 f (1)2 猜测最大整数 k
10、 = 2， 现在证明12ln23,e对任意 x0 恒成立， 等价于1xe1x 3ln(1)l(),1xx设 故 x(0，2) 时，h(x)0，当 x(2 ，+)时，2233()ln)(),1()()hhxh(x)0，所以对任意的 x0 都有 h (x)h (2) = ln3 + 12，即 对任意 x0 恒成立，所以整21xe数 k 的最大值为 2； （3）由（2）得到不等式 3 332ln(),ln(1)22,1(1)(1)xkkk所 以ln(1 + 12) + ln(1 + 23) + +ln1 + n (n + 1) 所以原不等式成立 32(1)n132322,2(1)1n n69.已知函
11、数 ln(),()xfxkg（1）讨论方程 在区间 内的解的个数；f1,e（2）求证： 55ln23ln.2解：（1） 由 ，得 。令 所以，方程 在区间xgf2lnxk2ln)(xhxgf内解的个数即 为函数 的图像与直线 交点的个数。e, eh,1,l)(2 ky当 时, . 当 在区间 内变化时, , 变化如下: 3ln21)(xh 0)(xxe)(xh时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，当,eh(),()0x时， ；当 时， ；当 时， 。所以，当 或x12yexey21x21eyek21时，该方程无解；当 或 时，该方程有一个解；当 时，2ekk2k 该方程有两个解。（2） 由
12、() 知 ， .2lnxe14lnxe12 44ln3ln e21. 22131n n)1(3 .11321n . . . 44l3l2n e255ll 44lln 55l3l2 e210.已知函数 f (x) = ln (2 + 3x) 2.（1）求 f (x)在0，1 上的最大值；（2）若对 恒成立，求实数 a 的取值范围；1,|ln|()3062afx不 等 式（3）若关于 x 的方程 f (x) = 2x + b 在0，1上恰有两个不同 的实根，求实数 b 的取值范围解：（1） 31)(31() ,()0().2 3f fxx 令 得 或 舍 去当 单调递减 为函数 f 0,0, ,3
13、xfxfxff 时 单 调 递 增 ;当 时 1ln36f(x)在0，1上的最大值（2）由 33|ln|()30lnln,22afxaax得 或7设 依题意知 ah (x)或 ag (x)在233()lnln,()lnln,22x xhxgxx 上恒成立，1,62 223 316() 0,() 0,()() 3g hx AA Ag (x)与 h (x)都在 上递增， 要 使不等式成立，当且仅当1,62171,lnl.2625ahga或 即 或（3）由 2 233()l()0.()ln),fxbxxbxxxb令上递增；27977(),0,(),23 3x 令 当 时 于 是 在而 上恰7,1()
14、0,(),13xx当 时 于 是 在 上 递 减 . 7(0),(1),2()0,13fxbx即 在有两个不同实根等价于ln207727()0,ln5l(2).363631)l5bbb11. 已知函数 n()2axxf（I）讨论函数 的单调性；（II）设 1a.如果对任意 ),0(,21x， |4)(| 2121xxff，求 a的取值范围。解：（） ()fx的定义域为（0，+）. 2()afxx.当 a时， f0 ，故 ()fx在（0 ，+）单调增加；当 1时， ()f0，故()fx在（0，+）单调减少；当-1 a0 时，令 ()fx=0，解得 2ax.则当 1(0,)2ax时，()fx0；
15、1(,)2a时， ()fx0.故 ()f在 ,)单调增加，在 1(,)2a单调减少.（）不妨假设 12x，而 a-1，由（）知在（ 0，+）单调减少，从而812,(0,)x， 1212()4fxfx等价于 12,(0,)x， 21()4()4fxfx 令 ()4gf，则 ()ag，等价于 ()g在（0，+ ）单调减少，即120ax.从而2221()411xx。故 a 的取值范围为（ -，-2. 12. 已知函数 ，247xf0，（）求 的单调区间和值域；f（）设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在1a2301gxax， ， 10x，0x，使得 成立，求 的取值范围1gfx解：对函数 求导，得 ，令
16、 解得 f24167xf， 217x0fx，或 ，当 变化时， 、 的变化情况如下表：12x7xf， fx 0 12， 1，f， 0 x72A4A3所以，当 时， 是减函数；当 时， 是增函数；当 时，10， fx12x， fx01x，的值域为fx43，（）对函数 求导，得 ，因此 ，当 时， gx23gxa， 10x，2310gxa，因此当 时， 为减函数，从而当 时有， x0x， gxg，又 ， ，即当 时有2ga1， 213a，9任给 ， ，存在 使得 ，则1x0， 143fx， 01x， 01gxf，即 解 式得 或23a， ，24a（ ）（ ） （ ） a53解 式得 ，又 ，故：
17、的取值范围为（ ） 1a312a13. 已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbfa（1）求 的值； ,b（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；t22()()0ftftkk解：（1）因为 是奇函数，且定义域为 R，所以 ，()fx (f1022xbfaa又 ，知 而当 时 是奇函数. )1(ff 2.4a,1b()fx（2）由（ ）知 ，易知 f(x)在(-,+)上为减函数. 或令1()2xxf，21x则 ， ，即 ,210x012x 2121)(21 xxxff )(21xff函数 在 R 上为减函数. )(xf方法二：由（）知 , ， 12()1xxf2)1(ln)xf
18、，即 函数 在 R 上为减函数. 0)(ln,02ln, 2xxR0)(ff是奇函数，不等式 ,等价于 ，()f 2(ftftk222()()()ftftkft因 为减函数， ，即 对一切 横成立，x2tk3014120.3k14. 设函数 ,当点 是函数 图象上的点时，点()log()0,1)afxa(,)Pxy()fx是函数 )图象上的点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (,Qxayx10（1）写出函数 的解析式； ()ygx（2）若当 时，恒有 ,试确定 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2,3a()1fxga解 头htp:/w.xjkygc
19、om126t126.hp:/wxjkygco (1) 设点 Q 的坐标为(x,y),则 x=x2a,y=y 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 即 x=x+2a,y=y 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点 P(x,y)在函数y=loga(x3a )的图象上，y=log a(x+2a3a),即 y= ,g(x)=loga 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j la(2) 由题意得 x3 a=(a+2)3a= 2 a+20; = 0,又 a0 且1)3a1,0a 1,|f(x)g( x)|=|loga(x3 a)log a |=|loga(x24ax +
20、3a2)|1, 1log a(x24ax+3 a2)1,x10 a1, a+22a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j f(x)=x24ax+3a 2 在a+2,a+3上为减函数，(x)=loga(x24ax+3a 2)在a +2,a+3上为减函数，从而(x) max=(a+2)=loga(44a),(x) min=(a+3)=loga(96a),于是所求问题转化为求不等式组 的解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )4(log6910a由 loga(96a)1 解得 0a ,由 loga(44a )1 解得 0a ,所求 a 的取值125795范围是 0a 头h
21、tp:/w.xjkygcom126t:/.j 57915. 定义在 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有D)(f DxM成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的上界. 已知函数|()|fxMDfx；124xxa（1）当 时，求函数 在 上的值域，并判断函数 在 上是否为有f,0fx,0界函数，请说明理由；（2）若函数 在 上是以 3 为上界的有界函数，求实数 的取值范围。fx0, a解：（1）当 时， , 在 上递减，所以 ，1a1()24xxfx)(f,0()03fx即 在 的值域为 ,故不存在常数 ，使 成立, 所以函数 在)(xf,3M|()|fx上不是有界函数。,（2）由题意， 在 上恒成立。 ,)(xf1, 3f, xxa4214 在 上恒成立xxxx 120,
