1、数学思想方法是数学知识的精髓和核心摘 要:中学阶段是一个人一生中非常重要的学习阶段。在数学教育方面,教师不应仅做知识的呈现者,更应该重视思想方法的教学,使学生在掌握数学基础知识的同时,初步形成数学的思维策略。 关键词:初中数学;思想方法;思维策略 一、初中数学思想方法教学的重要性长期以来,传统的数学教学中,只注重知识的传授,却忽视知识形成过程中的数学思想方法的现象非常普遍,它严重影响了学生的思维发展和能力培养。随着教育改革的不断深入,越来越多的教育工作者,特别是一线的教师们充分认识到:中学数学教学,一方面要传授数学知识,使学生掌握必备数学基础知识;另一方面,更要通过数学知识这个载体,挖掘其中蕴
2、含的数学思想方法,更好地理解数学,掌握数学,形成正确的数学观和一定的数学意识1。事实上,单纯的知识教学,只显见于学生知识的积累,是会遗忘甚至于消失的,而方法的掌握,思想的形成,才能使学生受益终生,正所谓“授之以鱼,不如授之以渔” 。不管他们将来从事什么职业和工作,数学思想方法,作为一种解决问题的思维策略,都将随时随地有意无意地发挥作用。 一、开展数学思想方法教育是新课标提出的重要教学要求数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育，是培养和提高学生素质的重要内容。新的课程标准突出强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数
3、学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”因此，开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。中学数学知识结构涵盖了辩证思想的理念，反映出数学基本概念和各知识点所代表的实体同抽象的数学思想方法之间的相互关系。数学实体内部各单元之间相互渗透和维系的关系，升华为具有普遍意义的一般规律，便形成相对的数学思想方法，即对数学知识整体性的理解。数学思想方法确立后，便超越了具体的数学概念和内容，只以抽象的形式而存在，控制及调整具体结论的建立、联系和组织，并以其为指引将数学知识灵活地运用到一切适合的范畴中去解决问题。数学思想方法不仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作角，而
4、且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，形成数学学习效果的广泛迁移，甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃。可见，良好的数学知识结构不完全取决于教材内容和知识点的数量，更应注重数学知识的联系、结合和组织方式，把握结构的层次和程序展开后所表现的内在规律。数学思想方法能够优化这种组织方式，使各部分数学知识融合成有机的整体，发挥其重要的指导作用。因此，新课标明确提出开展数学思想方法的教学要求，旨在引导学生去把握数学知识结构的二、初中数学思想方法的主要内容初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本最主要的有:转化的思想方法,数形结合的思想方法,分类讨论的思想方法,函数与方程的
5、思想方法等。(一)转化的思想方法转化的思想方法就是人们将需要解决的问题,通过某种转化手段,归结为另一种相对容易解决的或已经有解决方法的问题,从而使原来的问题得到解决。初中数学处处都体现出转化的思想方法。如化繁为简、化难为易,化未知为已知等,它是解决问题的一种最基本的思想方法。具体说来,代数式中加法与减法的转化,乘法与除法的转化,换元法解方程,几何中添加辅助线等等,都体现出转化的思想方法。(二)数形结合的思想方法数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而研究总是围绕着数与形进行的。 “数”就是代数式、函数、不等式等表达式,“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联
6、系,以形直观地表达数,以数精确地研究形。 “数无形时不直观,形无数时难入微。 ”数形结合是研究数学问题的重要思想方法2。初中数学中,通过数轴,将数与点对应,通过直角坐标系,将函数与图象对应,用数形结合的思想方法学习了相反数的概念、绝对值的概念,有理数大小比较的法则,研究了函数的性质等,通过形象思维过渡到抽象思维,大大减轻了学习的难度。(三)分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的,它能揭示数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳数学知识,解决数学问题。初中数学从整体上看分为代数、几何两大类,采用不同
7、方法进行研究,就是分类思想的体现。具体来说,实数的分类,方程的分类、三角形的分类,函数的分类等,都是分类思想的具体体现。(四)函数与方程的思想方法函数思想是客观世界中事物运动变化,相互联系,相互制约的普遍规律在数学中的反映,它的本质是变量之间的对应。用变化的观点,把所研究的数量关系,用函数的形式表示出来,然后用函数的性质进行研究,使问题获解。如果函数的形式是用解析式的方法表示出来的,那么就可以把函数解析式看作方程,通过解方程和对方程的研究,使问题得到解决,这就是方程的思想。在初中数学教材中,其它的思想方法都是隐藏在数学知识里,没有单独提出来,而函数与方程的思想方法,其内容和名称形式一致,单独作
8、为章节系统学习。 三、初中数学思想方法的教学规律数学思想方法蕴含于数学知识之中,又相对超脱于某一个具体的数学知识之外。数学思想方法的教学比单纯的数学知识教学困难得多。因为数学思想方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映,具有一定的抽象性和概括性,它强调的是一种意识和观念。对于初中学生来说,这个年龄段正是由形象思维向抽象的逻辑思维过渡的阶段,虽然初步具有了简单的逻辑思维能力,但是还缺乏主动性和能动性。因此,在数学教学活动中,必须注意数学思想方法的教学规律。(一)深入钻研教材,将数学思想方法化隐为显首先,教师在备课时,要从数学思想方法的高度深入钻研教材,数学思想方法既是数学教学设计的核心,同时又是
9、数学教材组织的基础和起点。通过对概念、公式、定理的研究,对例题、练习的探讨,挖掘有关的数学思想方法,了然于胸,将它们由深层次的潜形态转变为显形态,由对它们的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握。一方面要明确在每一个具体的数学知识的教学中可以进行哪些思想方法的教学;另一方面,又要明确每一个数学思想方法,可以在哪些知识点中进行渗透。只有在这种前提下,才能加强针对性,有意识地引导学生领悟数学思想方法。(二)学生主动参与教学,循序渐进形成数学思想方法课堂教学活动中 ,倡导学生主动参与,重视知识形成的过程,在过程中渗透数学思想方法。概念教学中,不要简单地给出定义,要尽可能完整地再现形成定义之前的分析、综合、比
10、较和概括等思维过程,揭示隐藏其中的思想方法。定理公式教学中,不要过早地给出结论。要引导学生亲自体验结论的探索、发现和推导过程,弄清每个结论的因果关系,体会其中的思想方法。在掌握重点,突破难点的教学活动中,要反复向学生渗透数学思想方法。数学教学中的重点,往往就是需要有意识地揭示或运用数学思想方法之处;数学教材中的难点,往往与数学思想方法的更新交替、综合运用,或跳跃性大等有关。因此,在教学活动中,要适度点拨或明确归纳出所涉及到的数学思想方法。在单元复习课堂上,要画龙点晴强调数学思想方法,并且可以进一步对经常用到的某种数学思想方法进行强化,对它的名称、内容、规律、应用等进行总结概括,使学生逐步掌握它
11、的精神实质。(三)不断巩固积累,使数学思想方法在应用中内化为自觉意识学生对数学思想方法的领悟和掌握具有一个“从个别到一般,从具体到抽象,从感性到理性,从低级到高级”的认识过程。首先是有感性的接触,经多次反复,不断积累,形成丰富的感性认识,然后逐渐上升为理性认识,最后在应用中,对形成的数学思想方法进行验证和发展,进一步加深理性认识,内化为解决问题时自然而然出现的思维策略。比如,对于数形结合的思想方法,初一刚开始借助数轴表示相反数,绝对值等,在学习不等式的解法时,要求用数轴找出不等式的解集或不等式组的解集,逐渐形成了借助于图形性质解决代数问题的思想方法。到初三学习函数时,通过直角坐标系将函数解析式
12、和图象进行对应研究,都是数形结合的思想方法的具体应用。这样,同一种数学思想方法,在不同的知识阶段反复再现,不断应用,使学生不仅“学会”,而且“会学”,在思维能力上不断提高。 数学思想方法是数学知识的精髓,是解决数学问题和其它问题的金钥匙,热切希望每个学生都能拥有这把金钥匙,成为祖国未来的栋梁。 核心和灵魂，其重要意义显而易见。二、对初中数学思想方法教学的几点思考1、结合初中数学大纲，就初中数学教材进行数学思想方法的教学研究首先，要通过对教材完整的分析和研究，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴。然后，建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规
13、律。例如，在“因式分解” 这一章中，我们接触到许多数学方法 提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法等。这是学习这一章知识的重点，只要我们学会了这些方法，按知识方法 思想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它们去解决成千上万分解多项式因式的问题。又如：结合初中代数的消元、降次、配方、换元方法，以及分类、变换、归纳、抽象和数形结合等方法性思想，进一步确定数学知识与其思想方法之间的结合点，建立一整套丰富的教学范例或模型，最终形成一个活动的知识与思想互联网络。2、以数学知识为载体，将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教案内容之中教学计划的制订应体现数学思想方法教学的综合考虑，要明确每一阶段的载体内
14、容、教学目标、展开步骤、教学程序和操作要点。数学教案则要就每一节课的概念、命题、公式、法则以至单元结构等教学过程进行渗透思想方法的具体设计。要求通过目标设计、创设情境、程序演化、归纳总结等关键环节，在知识的发生和运用过程中贯彻数学思想方法，形成数学知识、方法和思想的一体化。应充分利用数学的现实原型作为反映数学思想方法的基础。数学思想方法是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑，它来源于现实原型又高于现实原型，往往借助现实原型使数学思想方法得以生动地表现，有利于对其深人理解和把握。例如：分类讨论的思想方法始终贯穿于整个数学教学中。在教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不重复、不
15、遗漏、标准统一、分层不越级），然后逐类讨论（即对各类问题详细讨论、逐步解决），最后归纳总结。教师要帮助学生掌握好分类的方法原则，形成分类思想。数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段，要强调和灌输思维方法，如解方程的如何消元降次、函数的数与形的转化、判定两个三角形相似有哪些常用思路等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分，要选配结构型的数学思想，如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分数讨论思想体现了局部与整体的相
16、互转化。在所有数学建构及问题的处理方面，注意体现其根本思想，如运用同解原理解一元一次方程，应注意为简便而采取的移项法则。3、重视课堂教学实践，在知识的引进、消化和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思想方法数学知识发生的过程也是其思想方法产生的过程。在此过程中，要向学生提供丰富的、典型的以及正确的直观背景材料，创设使认知主体与客体之间激发作用的环境和条件，通过对知识发生过程的展示，使学生的思维和经验全部投人到接受问题、分析问题和感悟思想方法的挑战之中，从而主动构建科学的认知结构，将数学思想方法与数学知识融汇成一体，最终形成独立探索分析、解决问题的能力。概念既是思维的基础，又是思维的结果。恰当地展示
17、其形成的过程，拉长被压缩了的“知识链 ”，是对数学抽象与数学模型方法进行点悟的极好素材和契机。在概念的引进过程中，应注意：解释概念产生的背景，让学生了解定义的合理性和必要性；揭示概念的形成过程，让学生综合概念定义的本质属性；巩固和加深概念理解，让学生在变式和比较中活化思维。在规律（定理、公式、法则等）的揭示过程中，教师应注意灌输数学思想方法，培养学生的探索性思维能力，并引导学生通过感性的直观背景材料或已有的知识发现规律，不过早地给结论，讲清抽象、概括或证明的过程，充分地向学生展现自己是如何思考的，使学生领悟蕴含其中的思想方法。数学问题的化解是数学教学的核心，其最终目的要学会运用数学知识和思想方
18、法分析和解决实际问题。例如“平行四边形的面积求法 ”的问题，通过探求解决问题的思想和策略，得到以化归思想指导将思维定向转化成求已知矩形的面积。这样以问题的变式教学，使学生认识到求解该问题的实质是等积变换，即要在保持面积不变的情形下实现化归目标，而化归的手段是“三角形位移”，由此揭示了解决问题的思维过程及其所包含的数学思想，同时提高了学生探索性思维能力。在数学知识的引进、消化和运用的过程中，要利用单元复习和阶段性总结的时间，以适当集中的方式，从纵横两方面整理、概括和提炼出数学思想方法纲要和系统。以分散方式的渗透性教学为基础，集中强化数学思想方法教育的形式，促使学生对数学思想方法由个别的具体感悟上
19、升到一般的理性认识，这有利于提高教学效果。4、通过范例和解题教学，综合运用数学思想方法一方面要通过解题和反思活动，从具体数学问题和范例中总结归纳解题方法，并提炼和抽象成数学思想；另一方面在解题过程中，充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，举一反三，触类旁通，以数学思想观点为指导，灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题。范例教学通过选择具有典型性、启发性、创造性和审美性的例题和练习进行。要注意设计具有探索性的范例和能从中抽象一般和特殊规律的范例，在对其分析和思考的过程中展示数学思想和具有代表性的数学方法，提高学生的思维能力。例如，对某些问题，要引导学生尽可能运用多种方法，从
20、各条途径寻求答案，找出最优方法，培养学生的变通性；对某些问题可以进行由简到繁、由特殊到一般的推论，让学生大胆联系和猜想，培养其思维的广阔性；对某些问题可以分析其特殊性，克服惯性思维束缚，培养学生思维的灵活性；对一些条件、因素较多的问题，要引导学生全面分析、系统综合各个条件，得出正确结论，培养其横向思维等等。此外，还要引导学生通过解题以后的反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼数学思想方法。要引导学生把握知识的整体结构，形成合理的数学模型，通过综合运用数学思想方法，融会贯通各知识点和单元，建立一个以范例和习题为中心的知识网络，纵向加深知识层次，横向联系以发展思维能力，形成全局性的数学思想方法。综
21、合以上思考，笔者认为，初中数学思想方法教学应以数学知识为载体，结合教学大纲和计划，按照启发、吸收、消化和发展的认识规律进行总体策划，分阶段、有步骤地贯彻实施。同时，要在教材的知识结构和教学设计上不断完善和丰富数学思想的理念和观点，在数学知识与数学思想方法之间建立有机的结合，形成完整的系统。思想方法在初中数学中的作用1.掌握了数学思想方法能够使数学知识更容易被理解数学以现实世界的数量关系与空间形式作为研究对象,而数和形是相互联系,也可以相互转化。把问题的数量关系转化为图形的性质问题或者把图形的性质问题转化为数量关系问题,是教学活动中一种十分重要的思维策略,这种处理问题的思想方法就是数形结合的思想
22、方法。例如讲解一次函数的性质时，我们必须结合图形来理解和记忆它的性质。先画出平面直角坐标系，画出图像先得到形，再根据图像得到它的性质，从而形成数。这就是数形结合的思想的应用。2.掌握了数学思想方法有利于数学知识的记忆对于数学概念，公式，性质的教学需用到知识的转化和类比，例如讲解二元一次方程时，就需用到转化的思想。先把二元的方程转化为一元的再求解，在解题过程中只要掌握了转化的方法与技巧，就能把题解出来，从而降低了解题的难度，使学生容易接受理解。3.掌握了数学思想方法有利于“原理和态度的迁移”学习迁移的发生应有个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。学生学习数学思想
23、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习的质量和数学能力。4.数学思想方法可以指导基础知识教学行程问题是数学教学中的一个重要内容，特别是与函数的结合，使有些学生更不易理解。他们往往对于自变量的取值问题不易理解，有些时候是把一些范围丢掉，不明白与实际问题相结合时应注意的问题。例如打的付费的题目，就需用到分类讨论的思想。再如用电付费，用水付费都会用到分类的问题，这些都需要学生把分类思想用好。5.数学思想方法可指导解题练习数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理合理，是提高数学能力的必由之路。用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习对同一数学问
24、题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。丰富的合理的联想；是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结台、函数与方程等数学思想运用的必然。结合教学实践本人认为要想把数学思想方法的教育渗透到数学教学中去，应当把握好以下几个方面：1.在知识的形成过程中渗透数学思想方法通过“问题解决”激活数学思想方法，数学的发展一再证明了：“问题是数学的心脏”。2.在数学猜想中渗透数学思想方法由于中学生数学知识还比较贫乏，如果把数学思想方法作为一门独立的学科来教学，是不太实现的。而数学知识又是数学思想的载体，那我们可以充分利用这个载体，把数学思想方法渗透到我们的数学知识教学的每一个环节。古往今来，世人给我
25、们留下的数学思想是非常丰富的。这些数学思想与我们所教学的数学知识一样，有难有易，我们应该根据数学知识的内容、学生的年龄特点分层次地选择合适的数学思想内容，进行渗透和教学。总之，数学思想方法与数学知识的获得是相辅相成的，数学思想是对知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律的理性认识，它支配着数学的实践活动，是解决数学问题的灵魂。以数学思想方法为主线展开的数学教学活动，能够使得学生更加深刻地领会数学所包含的思想方法及由此形成的数学知识体系，切实加强学生的创新和实践能力。多位研究数学思想和数学方法的数学教育专家（如张奠宙、过伯祥数学方法论稿、郑毓信数学思想、数学思想方法与数学方法论、张国栋
26、、李建华数学思想和数学教育等）对数学思想和数学方法做了区分，但大多也认同，从数学教育的角度来看，过于区分数学思想和方法没有太大意义，在这个意义上，统称它们为数学思想方法。2009 年，华东师范大学邵光华教授在他的老师顾泠沅教授的带领下，综述各种看法，求同存异，在作为教育任务的数学思想与方法一书里从数学教育的角度提出：数学思想作为一种理性认识，是关于数学内容和方法的本质认识，是对数学内容和方法进一步的抽象和概括。数学方法应被看成是在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采取的各种手段和途径。而我们作为一线一员，则主要是从数学思想方法对我们教学的重要意义来体会
27、数学思想方法的重要作用的。下面结合几个细节谈一下数学思想方法的重要作用。首先，从学习数学从最终的意义上来说，就是为了领悟数学思想方法。从传统的人教版数学教材，到新课程以课标为本百花齐放的各版本的数学教材，从小学、初中到高中学段，数学知识都是循序渐进，从算术到代数，从点线到三角形四边形，从多边形到圆，从平面到空间，但数学思想方法贯穿全过程。数学思想方法最初以很简单的数学知识和数学材料的形式渗透给学生，随着学生年龄增长和学段的上升，数学知识和材料越来丰富，数学思想方法也越来越被用新的内容逐步展开，这些数学思想和方法也组成了数学全部内容的核心。我们也可以想见，多年以后，学了数学的学生走出校门，踏入社
28、会，大多数的数学知识很快会模糊不清到忘掉，但是因为数学学习而培养起来的一些优秀的品质、习惯、思维方法和着眼点，如求真精神、探索习惯、合情推理能力、逻辑推理能力等却以工作和学习中新的内容和材料展示出来，深入骨髓。所以米山国藏在数学的精神、思想和方法中说，“纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里，长久地活跃于日常的业务中”。举个例子，根据建构主义的学习理论，人在接触到新的事物的时候，总是用原有的认知和新事物照应和联系，完成建构过程。而数学思想方法中的转化思想，以数学的内容和形式在不断的增强人的这种建构能力。比如，从北师大版实验教材编排体系来看，小学四年级下期学习了“
29、商不变定律”（即：被除数和除数同时乘以或除以一个数（0 除外），商不变），到五年级上册，学习“分数的基本性质”（即“分数的分子和分母同时乘以或除以一个数（0 除外），分数的大小不变”），二者实际上是形异质同，只要让学生根据分数形式和除法算式之间的关系，把分数的基本性质“翻译”一下就成为学过的“商不变定律”，学生自然会豁然明朗。这时，教师应抓住这个时机告诉学生，“其实，数学中许多知识都是同一件东西多种不同的形式而已。学数学的时候，要注意联系和对比，不断的把新的知识转化为和旧知识相似的形式来理解新知识，不断地把新问题转化为旧问题来解决新问题。”上面的例子表明了转化思想以数学的内容和形式对提高人们领会新事物能力的巨大作用。从这个学习过程也可以看出，数学思想方法对培养人根本的思维品质所起到的重大作用。其次，从数学教学的角度来说，把数学教学支点仅放在数学知识的教学、把教学支点放在培养学生思维能力和思维品质的教学、把教学支点放在数学的情感、精神的教学上的教学显然代表了数学教学的不同层次。数学课新在思维过程上，高在思想性上，好在学生参与度上。只有在培养学生数学思想方法的基础上，记忆知识、领会思想、
