1、直线与圆在生活中的应用河南省三门峡市卢氏一高 赵建文数学来源于生活，并反过来为生活服务，本文将直线方程与圆的方程在生活中的应用作以简单介绍，供同学们复习时参考。一、付钱多少问题例 1 甲乙丙丁四人到花店去买花，甲 买了 6 枝郁金香和 3 枝康乃馨所付的钱多于 24 元 ，乙买了 4 枝郁金香和 5 枝康乃馨所付的 钱少于 22 元，丙买了 2 枝郁金香，丁买了 3 枝康乃馨，请问丙丁二人谁付的钱多？解析：设郁金香花每枝 元，康乃馨每枝 元，则 、 满足xyxy，要判断 的正负，是线性规划问题。632450xyz32作出可行域及目标函数，由图知当 过 A（3，2）时， zmax=0,当 B（0
2、，4.4）时，z min=-13.2，z(-yxz13.2,0),故丁付钱多。点评：本题考查了线性规划在生活中的应用，掌握数学建模方法是解决实际问题的关键。配套练习：2007 年 5 月 7 日 12 时一飓风中心在某港口南偏东 600方向上，距港口 400 千米的海面上形成，并以每小时 25 千米的速度向正北方向移动，距飓风中心 350 千米以内的范围将受飓风影响，请你预报该港口是否受飓风影响及受影响的时间段。参考答案：以该港口为原点，正东方向、正北方向分别为 、 轴，xy建立直角坐标系。则飓风形成时飓风中心坐标为 P0 ，飓风中心在直线： 移动，(23,)203x飓风形成 t 小时后，飓风
3、中心 P ，有题知当 |OP|0, 0）,则矩形1403yx),0yx0y两边长分别为 、 ， ,0xy0则矩形面积 =300403120yxS20)43(12yx当且仅当 即 时，430yx50maxS点评：本题通过画图将实际问题转化为几何问题，再通过建立坐标系，转化为解析几何中的最值问题，利用均值定理解决之。配套练习：在半径为 100 米的圆形空地上，请你帮忙设计一个矩形游泳池，使游泳池的面积最大。参考答案：要使游泳池面积最大，则矩形必外接于圆，以圆心为原点，矩形的对称轴分别为 x、y 轴建立坐标系。则圆的方程为： ，2210xy设矩形在第一象限的顶点 A ，则矩形的面积为(cos,10i
4、n)()22(10cos)2(sin)S2当 ，即 时， m2,此时矩形的长和宽都为4maxSm()2cs1.在圆形空地修建一个边长为 141.4m 正方形。三、相遇问题例 3 甲、乙两人同时从半径为 3km 的圆形社区中心出发，甲向东走，乙向北走，甲出发不久，因有事改变前进方向，斜着沿着切于社区周界的方向前进，后来恰好与乙相遇，甲、乙两人的速度都一定，其比为 3：1，问甲、乙二人在何处相遇？解析：以社区中心为原点，正东、正北方向分别为 、 轴，建立直角坐标系。xy设甲、乙二人的前进速度分别为 3 km/h、 km/h，甲出发 小时，在 P 点改变前进v0方向，又经过 小时在 Q 点相遇，则
5、P（3 ，0） ，Q(0 ， ( + )）,0y v则|OP|=3 ,|PQ|=3 ,|OQ|= ( + )vxv0yxy又|OP| 2+|OQ|2=|PQ|2， 2000 )3()()3(整理得 54xy又 00,54,xyxy于是 将代入得00()33PQvkx34PQk法一：由于切线 PQ 与 y 轴的交点 Q 对应的纵坐标 ( + )的值即为所求，现转化为v0xy“当直线 与圆 相切时，求纵截距 的值” 。4yxb29b由圆心到切线的距离等于半径得， ，解得 ，2|31()4b15(0)4因此，甲、乙相遇的地点在离社区中心正北 km 处。5法二：由POQ 的面积得，则 000(3)3(
6、),vxyv00()3xy由，得 ， ，053vx021y2154OQkm点评：本题考查了圆的切线知识在生活中的应用，合理的建立直角坐标系，构建解析几何模型，通过设元、找关系，转化为数学问题，并作出定量或定性的分析与判断，是解决实际问题的关键。配套练习：中国南海某岛驻岛部队的地面雷达搜索半径为 200 海里，外国一海洋测量船正在在该海岛正东 250 海里处以每小时 20 海里的速度沿西北方向航行，问该海岛雷达能否发现该外国测量船，如能，求能观测到该测量船的时间长。参考答案：以该岛为原点，正东、正北方向分别为 、 轴，xy建立直角坐标系。则雷达最大观测范围是一个圆，其方程为：，220xy外国测量
7、船的航行路线所在的直线方程为：，5海岛到外国测量船的航行路线距离为：|AB/|=|AC|+|CB/|=|AC|+|CB|C 点即为所求点。故车站应选在过 A 村庄作公路的垂线，距垂足 0.5 千米处（在 B 村庄一侧） 。点评：本题考查了点关于直线对称在生活中的应用，合理建立坐标系，构造数学模型是解决实际问题的关键。配套练习：某市现有自市中心 O 通向正东和西南方向两条主要公路，为了解决交通拥堵问题，市政府决定修一条环城公路，分别与通往正东和西南方向的公路交于 A、B 两点，要求 A、B 间为直线且距离最短，市中心到 AB 环城路距离为 10 千米，请你确定 A、B 两点的最佳位置（不要求作近似计算） 。参考答案：以 O 点为原点，正东方向为 轴，正北方向为 轴，建立坐标系。xy设 A ，B （其中 ） ，(,0)a(,)b0,ab则 AB 的方程为 ，即yx()bx ，22|10()ab ，210()abA20(1)ab0， 。当且仅当 即 时取等号，而|AB| 20(1)ab2(取最小值。2()(ab此时 ，|10(2)OA|102()OBA、B 两点的最佳位置是离市中心均为 km 处。
