1、2010 年第七届苏北数学建模联赛承 诺 书我们仔细阅读了第六届苏北数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛报名号为：1553 参赛组别（本科或专科）：本科参赛队员 (签名) ：
2、队员 1：何伟伟队员 2：徐业帷队员 3：庄燕获奖证书邮寄地址：山东省青岛市黄岛区前湾港路 579 号山东科技大学信息学院团委2010 年第七届苏北数学建模联赛编 号 专 用 页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：1553竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2010 年第七届苏北数学建模联赛题 目 不确定环境下供应链的生产与订购决策问题摘要供 应 链 是 围 绕 核 心 企 业 ， 通 过 对 信 息 流 ， 物 流 ， 资 金 流 的 控 制 ， 从 采 购 原 材 料开 始 ， 制 成 中 间 产 品 以 及 最 终 产 品
3、 ， 最 后 由 销 售 网 络 把 产 品 送 到 消 费 者 手 中 的 将 供应 商 ， 制 造 商 ， 分 销 商 ， 零 售 商 ， 直 到 最 终 用 户 连 成 一 个 整 体 的 功 能 网 链 结 构 。 它不 仅 是 一 条 连 接 供 应 商 到 用 户 的 物 流 链 、 信 息 链 、 资 金 链 ， 而 且 是 一 条 增 值 链 ， 物料 在 供 应 链 上 因 加 工 、 包 装 、 运 输 等 过 程 而 增 加 其 价 值 ， 给 相 关 企 业 带 来 收 益 。 本文探究了在单一周期内不确定环境下供应链的生产与订购决策问题，首先在包含一个生产商和一个销售
4、商的供应链的情况下，当市场需求量确定时设定额外生产能力和生产随机变量 ，通过 的均值建立销售商成本模型和生产商利润模型，并对模型进行了分析求解，解出最优订货量为 400，最优计划生产量为 363。其次用市场随机变量 模拟市场需求不确定的情况，在上一模型的基础上用 的均值表示市场需求量并对 x其优化得出最优订货量为 405，最优计划生产量 475。之后又在上述模型的基础上设定一级生产商生产随机变量 ，对含有两级不确定关系的一级生产商、二级生产商、销售商三级供应链中最优订购量和最优计划生产量建立模型并求解出二级生产商最优订购量 280，一级生产商最优计划生产量 360。在建立模型解决问题之后用报童
5、求解法对各个问题分别求解来验证原模型的有效性。当然，纯粹的报童求解法不能解决本题中所有问题，必须得适当的变通，对于随机变量可以直接用纯粹报童求解法，而对于确定量，得对另一个自变量微分，但是总的结果形式都为 ,在此基础上运用概率统计知识中密度函数求解问题（主要是标准正DCBA态分布）和微分知识；基于形式都一样，在最后几问求解当中避免了繁琐步骤，挑选精炼结果来表述问题。另外，报童求解法只是简单的模型，故其解法也较为简单，这也是把报童模型作为验证模型的原因。【关键字】：供应链，不确定环境，决策，报童求解法。1一 问题重述供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生
6、产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。（1）考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，若假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的。建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。（2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，即市场需求量是一个随机变量，请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。（3）大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品（或原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确
7、定性，一级生产商生产原产品，二级生产商利用原材料生产成品；两级生产均具有不确定性。若假设产成品的市场需求量是确定的请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。二 问题分析对于未知的市场需求量或生产商生产能力设立随机变量来模拟它们随机波动，该变量在一定范围内满足某一分布，用该随机变量的均值来计算不确定环境下的最优订购量和最优计划生产量，相同情况下用报童模型求解对模拟结果进行比较验证。对于一级生产商、二级生产商、销售商的三层供求链，可将其分成一级生产商与二级生产商之间的供求链与二级生产商和销售商的供求链，两条供应链之间通过二级生产商的订货量进行
8、联系，进而求出二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。三 问题假设1、假设交易在单一周期内进行2、假设生产商和销售商的信誉损失与缺货数量成正比3、假设市场相对稳定4、假设生产商交易商均遵守交易规则5、假设原料及商品价格稳定，不受市场需求影响6、假设二级生产商及销售商订货量一经给定不予修改四 符号说明D商品的市场需求量i一级生产商实际供应量d生产商交货量C生产商正常生产能力生产商有效生产能力生产商额外生产能力（以满足应急要求）j二级生产商原料订购量q销售商商品订购量f单位原料价格2p单位商品批发价格e单位商品销售价格m一级生产商单位商品库存成本h二级生产商单位商品库存成本g销售商单位商
9、品库存成本n二级生产商设定的一级生产商应支付的单位惩罚成本单位商品销售缺货成本k销售商设定的二级生产商应支付的单位惩罚成本M销售商的利润w生产商原料投入产出比二级生产商随机系数一级生产商随机系数G一级生产商正常生产能力一级生产商单位额外供应成本二级生产商单位额外生产成本Q 二级生产商计划生产量p一级生产商计划生产量一级生产商有效生产能力一级生产商额外生产能力t单位商品生产成本sC销售商总成本pP生产商利润s销售商利润1f一级生产商单位生产成本2二级生产商单位加工成本五 模型的建立与求解5.1：问题 1：请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。模型 I：销售商成本模型：考虑
10、包含一个生产商和一个销售商的供应链如图 1，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。市场对销售商最终产品的需求 是已知的，为满足市场需求，销售商需向生产商订购D数量为 的商品，我们假设销售商销售每一单位最终商品需要进货一单位商品，也就q是说，为了满足最终产品的需求，销售商需要总量为 的商品，生产商的正常生产能力用D表示。因为供应链通常只是复杂供应网络的一部分，生产商可能需为多个供应链上多C个销售商提供商品。因此，生产商把满足特定销售商的生产能力限定为 (其中C)，当销售商下定单时，生产商并不能确定正常供应能力的随机比例 的值(因1,0
11、(为它还要等待其它订单)仅能知道它的概率密度函数 。这导致供应链的供应不确定)(f性，为了满足销售商的需求，生产商建立额外供应能力 ，额外生产能力是生产商专门建立的，所以是确定的。在本问题中，生产商的交货数量 由其有效生产能力 、dC额外生产能力 和订单数量 决定。假设生产商的生产能力利用率等于 1，考虑到生产q3商的交货量不大于订单要求的数量，因此，1交货量 等于订单数量和基于有效生产d能力 的最大可交货量 的最小值是： (1)。CC,minqC图 1销售商生产商 Cd),(qdqD正常生产能力的随机比例 生产商实际生产量 d10销售商订购量 q市场需求量D销售商：决定商品订购量 q生产商：
12、决定额外生产量 图 2图 2 显示了在这个供应链中的相关事件，在时刻 销售商根据市场需求量 确定0D商品订购量 。在生产商得到销售商的订购 但不能确定自己的有效生产能力时，生产qq商必须在 时刻决定额外生产量 来确保满足销售商的订购量。最终的生产量 (可能1 d不满足订购量 )依赖于额外生产量和销售商的有效生产能力 。C在上述条件下，1销售商的成本模型为：(2) dqkpDdgCs其中， 表示销售商的总成本，等式右侧第一项为外部市场对销售商的外部惩罚s成本，它是当销售商的销售量小于外部需求时所要承担的， 表示单位商品的缺货成4本， 表示最终商品的需求， 表示交货数量， 。第二项是当Dd ,0m
13、axdDd外部需求满足后，因持有过多商品而造成的库存成本， 表示单位产品的库存成本，g，第三项是销售商的进货成本， 表示单位商品的批发价格。,0maxdd p第四项是销售商为激励生产商，当生产商不能满足销售商订货时，生产商必须向销售商支付一个可变的惩罚成本， 表示由销售商设定的生产商应支付的单位惩罚成本，k。当销售商发出订单 时，只有系统的分布函数 和密度函,aqq q)(F数 是可知的，由公式(2)可知销售商的预期总成本，是它的订货数量 、生产商应)(f q支付的单位惩罚成本 和生产商建立的额外供应能力 共同决定的，即k(3) dfCqkdfpqdfCp fDgDg ffCE xxqx Dq
14、xy qxqDyqxs ,01),(),(0 1),(),( 1),( )(,min0 )()()这里 ，且 是定义如下的指示函数。即C/,/)(1qD其 他如 果,01qD在上面所描述的成本函数式(3)中 表示销售商总成本 的期望值，式(3)中第)(sEsC一、二项代表预期的外部惩罚成本，其中第一项为生产商生产能力小于销售商订货量即 情况下的外部惩罚成本，第二项为在 情况下的外部惩罚成本。qC q第三、四项代表预期库存成本，其中第三项为当 时的预期库存成本，第四项为 情况下的预期库存成本。第五、六项代表预期采购成本。最后一项表示生产商预期的惩罚成本。约束 和 由生产能力约束(1)和成本函数(
15、3)的具体情况),(qx(y导出。根据上述销售商成本函数，销售商的利润讨论如下：1 、假设 ， 服从(0,1)上的均匀分布。qD)(fdfCqk dfpqdfCpg DfEx xqxqy qxDxs ,0 1),(),(0),( 1),( ,0)()(52、假设 ， 服从(0,1)上的均匀分布。qD)(fdfCqk dfpqdfCpg DgfEx xqxqDx qxyys ,0 1),(),(01),( ),()(0)(模型求解：当 取最小值时，销售商利润最大，此时所对应的 即为销售商的最优订购量。)(sE q在供应链模式下，假设销售商与生产商的合作情况是合作双方完全不了解对方的决策方案，因此
16、，合作双方在完全独立的情况下分别以自己的目标最优进行各自的决策，在这种情况下，销售商和生产商之间除了订货数量，他们不交换任何信息。由题意： =40， =60， =40， =5， =25， =0， =400， 。peghkD25又由于商品生产量的波动区间为0.85,1.15，设生产商的正常生产能力为 =500，C设 。50把上述假设带入模型 I 中讨论得： 400。此时销售商利润最大。q模型 II：生产商利润模型在本问题中，当给定一个销售商的订货量 ，生产商的利润模型即为：(4) )(, dqkCtChpdPkq 其中， 为当销售商给定 ， 时生产商的收益。等式右边第一项为生产商向销pkq, k
17、售商提供商品的销售利润。第二项是当生产商生产能力过剩时，生产商对没卖出商品的库存成本，每单位库存成本为 。第三项是生产商为实际生产成本，其中第一项为h为满足销售商订货量而建立额外生产能力的成本，单位额外生产能力的成本为 ，第四项为批发缺货成本(若生产能力不足，生产商向销售商交付的惩罚成本)。在密度函数 已知时，生产商的的预期收益模型，即)(f(5) 10),(0 1),(),(, )( )( dCftdfCqk dfqChpqpPEx qxxq式(5)中 表示生产商利润 的期望值，式(5)预期收益包括预期收入(右式的ppP第一、二项)，预期库存成本，建立额外生产能力的实际成本和预期的惩罚成本。
18、模型求解：同模型 I 把 =40， =60， =40， =5， =25， =0， ， =400，又由于此eghk25D时的 是变量且和 有关，设 。有一题得 ，代入模型中求解得 363。qq2.040q模型验证：报童问题求法：求解销售商利润时分两种情况：当 时， ；Dd)()(dgpes 6当 时， 。Dd)()(dDkpeds 很显然第一种情况斜率小于零的一次函数（自变量为 d，因变量为 ） ，故当 d 趋sp近于 D 时利润最大；第二种情况斜率大于零的一次函数（自变量为 d，因变量为 ） ，s故当 时利润最大。d综上所述，当 时销售商的利润达到最大，故销售商最优订购量为 D；Dd求解生产商
19、利润时：当 时，销售额为 ，库存成本为 ，所以利润Q)(tpd)(Qh；当 时，销售额为 ，缺货成本为 ，所以)()(htpdQdn利润 ；设 满足标准正态分布, dn)(f 10 )()()( QdQdp dfQntpfht又因为对于批量的生产计划来说， 、 都很大，近似可认为是连续的，故上式写为： ddd dp dQfhtpQfndtQftft )()()()(00对上式进行关于 d 的求导，即： ddddp QfnfthpfhQfth ftpfnfft 00 )()()(所以，欲取极值， ，即使: 0pP )()(0dfDft7nthpdQffd)(0 nthp)(Qf d Q由题目已知
20、， 代入上式中， ，20,15,40t 351204nthp，有题目生产量波动区间0.85,1.15，所以 ， ),(2uN Q5.0.ud，查二项分布附表可知： ,所以，xde21 862.)3.(，又因为此时 为最优订购量即为 400，即QQud048.15.30. d684.108. 所以，最优计划生产量约为 381，最优订购量为 400经验证模型 I 模型 II 具有一定的可靠性。5.2：问题 2：在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，即市场需求量是一个随机变量，请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。模型 III：销售商利润模型：销售商的利润为： ),min( qDhqpDePs其中第一项为销售商的销售营业额，第二项为销售商进货成本，第三项为销售商订货量大于市场需求时的库存成本， ，第四项为销售商订货量,0ax小于市场需求时的信誉损失成本， 。qq由于商品的市场需求量是随机的，2设 为市场上该商品的随机需求量，它的密度函数为 则市场需求量的均值为 ，根据式(3)，则销售商的期望利润为：)(xf 0)(dxf
