1、高等数学教案 3 中值定理与导数的应用重庆三峡学院高等数学课程建设组第三章 中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、 知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值 ，判断函数
2、的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。3 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数 f(x)在点 x0 的某邻域 U(x0)内有定义 并且在 x0 处可导 如果对任意 xU(x0) 有f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0) 那么 f (x0)0 罗尔定理 如果函数 yf(x)在闭区间 a, b上连续 在开区间(a, b)内可导 且有 f(a)f(b) 那么在(a, b) 内至少在一点 使得 f ()0 简要证明 (1)如果 f(x)是常
3、函数 则 f (x)0 定理的结论显然成立 (2)如果 f(x)不是常函数 则 f(x)在( a b)内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大值点 (a b) 于是 0)(limxffx li)(ff高等数学教案 3 中值定理与导数的应用重庆三峡学院高等数学课程建设组所以 f (x)=0.罗尔定理的几何意义 二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)在闭区间a b 上连续 在开区间(a b) 内可导 那么在(a b)内至少有一点 (a0 或 x0)或xx x (x0 则 f(x)在a b上的图形是凹的 (2)若在(a b)内 f (x)0 时 y0 所以曲线在0 )内为凹的
4、 例 3 求曲线 y2x 33x 22x14 的拐点 解 y6x 26x12 )1(1令 y0 得 2x因为当 时 y0 当 时 y0 所以点( )是曲线的拐点 121x210例 4 求曲线 y3x 44x 31 的拐点及凹、凸的区间 解 (1)函数 y3x 44x 31 的定义域为( ) (2) 21 3(62x(3)解方程 y0 得 1x(4)列表判断 在区间( 0和2/3 )上曲线是凹的 在区间0 2/3上曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点 例 5 问曲线 yx 4 是否有拐点？解 y4x 3 y12x 2 当 x 0 时 y0 在区间( )内曲线是凹的 因此曲线无拐点 例 6 求曲线 的拐点 3解 (1)函数的定义域为( ) (2) 321xy 32 9xy(3)无二阶导数为零的点 二阶导数不存在的点为 x0 (4)判断 当 x0 当 x0 时 y0 因此 点(0 0)曲线的拐点 ( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )f (x) 0 0 f(x) 1 11/27
