1、1图形的相似第一部分 知识梳理1. 对应边成比例,对应角都相等的两个多边形相似。相似多边形的对应边之比叫做相似比。2. 相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似3. 相似三角形的判定方法: 三边对应成比例的两个三角形相似。 两个角对应相等的两个三角形相似。 两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似。4. 判定三角形相似,一般先找等角,当难发现等角或仅能判定一组等角时,则应转向证明边对应成比例。5. 相似三角形几种基本类型: 平行线型:常见的有如下两种,DEBC,则ADEABC 相交线型:常见的有如下四种情形,如图(1) (2) ,已知1=B,则由公共角A 得,ADEABC如下图(
2、3) ,已知1=B,则由公共角A 得,ADCACB如下图(4) ,已知B=D,则由对顶角1=2 得,ADEABC(1) (2) (3) (4) 旋转型:如图(5)已知BAD=CAE,B=D,则ADEABC,下图为常见的基本图形 母子型:如图(6)已知ACB=90,ABCD,则CBDABCACD2B CADEA BCD(5) (6)第二部分 精讲点拨考点 1.多边形相似 【例 1】已知四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似,且 A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14,若四边形 ABCD的周长为 40,求四边形 ABCD 的各边的长变式 1 下列说法正确的是( )A所
3、有的平行四边形都相似 B所有的矩形都相似C所有的菱形都相似 D所有的正方形都相似变式 2 如图,四边形 ABCD 和 EFGH 相似,求角 、 的大小和 EH 的长度 x。考点 2. 相似三角形【例 2】下列说法正确的是( )A全等三角形一定相似 B相似三角形一定全等C有一个角是 40的两个等腰三角形相似 D两个等腰直角三角形不一定相似变式 1 ABC 的三条边之比为 2:5:6,与其相似的另一个ABC最大边长为 15cm,则另两边长的和为 变式 2 已知:在ABC 中,三边长分别为 , ,2,A BC 的两边长分别为 1, ,若105ABCA BC,则A BC的第三边长为( )A B C D
4、 22考点 3. 相似三角形的判定【例 3】根据下列条件,判断 与 是否相似,并说明里由:(1) , , ; , ,3(2) , , ; , ,变式 1 在ABC 中,BEAC,CFAB,求证:ABCAEF。变式 2 已知ABC 中,AB=AC,A=36,BD 是角平分线,求证:ABCBCD变式 3 如图在 RtABC 中,ADBC 于 D。(1)求证:BACBDAADC(2)求证: ; ;CBAD2 BCA2 BA2(3)已知:BD=6,CD=3,求 AD、AB、AC; (4)已知:AC=6,BD=9,求 BC、AB、AD。考点四.探究创新【例 5】 如图,ACBADC90 0,AC ,AD
5、2。问当 AB 的长为多少时,这两个直角三6角形相似?变式 已知如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P 是 CD 边的中点,点 Q 在线段 BC 上,设 BQ ,k 4是否存在这样的实数 ,使得 Q、C、P 为顶点的三角形与ADP 相似,若存在,求出 的值;若不存k k在,请说明理由。第三部分 过关检测【基础闯关】 1. 关于相似多边形的下列叙述正确的是( )A.对应边相等的多边形叫做相似多边形 B.多边形的边数不等时也可以相似C.对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形 D.对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形2. 下列说法中,正确的是( )A.锐角三角形都相似 B.直角三角形
6、都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似3. 如图,平行四边形 ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,连结 DE,交 AC 于 G,交 BC 于 F,那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有( )对。A. 6 B. 5 C. 4 D. 34. 如图, D、 分别是 AB、 C的中点,则 :ADEBCS ( )A 12 B13 C14 D 23 5. 如图所示,给出下列条件: ; ; ;ABDC 其中单独能够判定 的个数为( )2CAB A1 B2 C3 D46. 把一个矩形剪去一个正方形,若剩余的矩形和原矩形相似,则原矩形的长与宽之比是 ADBCE5。7. 在直角坐标系中,已知
7、A(3,0) 、B(0,4) 、C(0,1) ,过 C 点作直线 交 轴于 D,使得lx以点 D、C、O 为顶点的三角形与AOB 相似,这样的直线有 条。8一个钢筋三角架长分别为 20cm、50 cm、60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的载法有 种。9. 如图,D 为 ABC 内一点,E 为 ABC 外一点,且1=2,3=4.(1)ABD 与 CBE 相似吗?请说明理由.(2)ABC 与 DBE 相似吗?请说明理由.10. 如图,点 C、D 在线段 AB 上,且
8、 PCD 是等边三角形.(1)当 AC,CD,DB 满足怎样的关系时,ACPPCB;(2)当 PCBACP 时,试求APB 的度数.第四部分 中考链接1、已知: 在直角坐标系中的位置如图所示, 为 的中点,点 为折线 上的动点,RtOAB (34)P,OBCOAB线段 把 分割成两部分PC问:点 在什么位置时,分割得到的三角形与 相似?RtA(注:在图上画出所有符合要求的线段 ,并求出相应的点 的坐标) PCC第 1 题图1 AByCPx162在 中, ,RtABC 902ABC,点 在 所在的直线上运动,作D45DE( 按逆时针方向) E, ,(1)如图 1,若点 在线段 上运动, 交 于
9、BA求证: ;AC 当 是等腰三角形时,求 的长 E(2)如图 2,若点 在 的延长线上运动, 的反向延长线与 的延长线相交于点 ,是否存DDACE在点 ,使 是等腰三角形?若存在,写出所有点 的位置;若不存在,请简要说明理由;E如图 3,若点 在 的反向延长线上运动,是否存在点 ,使 是等腰三角形?若存在,写BDE出所有点 的位置;若不存在,请简要说明理由3、一般来说,数学研究对象本质属性的共同点和差异点。将数学对象分为不同种类的数学思想叫“分类”的思想。将事物分类,然后对划分的每一类进行研究和求解的方法叫做:“分类讨论”的方法。请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:如图,在 中, ABCABC(1)若 是锐角,请探索在直线 AB 上有多少个点 D,能保证 (不包括全等)ACB(2)请对 进行恰当的分类,直接写出每一类在直线 AB 上能保证 (不包括全DC等)的点 D 的个数。45AB D CE第 25 题图 14545CDBAE ECABDE第 2 题图 2 第 2 题图 3ABC1