1、第 1 页（共 54 页）庞圣洁（二次函数难题）一选择题（共 22 小题）1 （2015陕西模拟）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点N（1，2） ，交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C则：b=2；该二次函数图象与 y 轴交于负半轴；存在这样一个 a，使得 M、 A、C 三点在同一条直线上；若 a=1，则 OAOB=OC2以上说法正确的有（ ）A B C D2 （2013泰安模拟）如图，抛物线 y=x2 x 与直线 y=x2 交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左侧） ，动点 P 从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E，再到达 x 轴上的某点F
2、，最后运动到点 B若使点 P 运动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）A B C D3 （2015潍坊模拟）若函数 y= 的自变量 x 的取值范围是全体实数，则 c 的取值范围是（ ）Ac1 Bc=1 Cc 1 Dc14 （2015天桥区一模）如图，直线 y=kx+b（k 0）与抛物线 y=ax2（a0）交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是2，点 B 的横坐标是 3，则以下结论：抛物线 y=ax2（a0）的图象的顶点一定是原点；x0 时，直线 y=kx+b（k0）与抛物线 y=ax2（a0）的函数值都随着 x 的增大而增大；第 2 页（共 54 页）AB 的长度可以等于 5；O
3、AB 有可能成为等边三角形；当 3x2 时，ax 2+kxb，其中正确的结论是（ ）A B C D5 （2013遵义）二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，若M=a+bc，N=4a 2b+c，P=2ab则 M，N ，P 中，值小于 0 的数有（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个6 （2015杭州模拟）关于 x 的方程 2x2+ax+b=0 有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：2a+b0；ab0；关于 x 的方程 2x2+ax+b+2=0 有两个不相等的实数根； 抛物线 y=2x2+ax+b2 的顶点在第四象限其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3
4、 个 D4 个7 （2015无锡校级三模）已知抛物线 y=x2+1 的顶点为 P，点 A 是第一象限内该二次函数图象上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图象于点 B，分别过点 B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连结 PA、PD，PD 交 AB 于点 E， PAD 与 PEA 相似吗？（ ）A始终不相似 B始终相似C只有 AB=AD 时相似 D无法确定第 3 页（共 54 页）8 （2015杭州模拟）下列关于函数 y=（m 21）x 2（3m1 ）x+2 的图象与坐标轴的公共点情况：当 m3 时，有三个公共点； m=3 时，只有两个公共点；若只有两个公共点，则m=3；若有三
5、个公共点，则 m3其中描述正确的有（ ）个A一个 B两个 C三个 D四个9 （2011黄石）设一元二次方程（x 1） （x2）=m（m0）的两实根分别为 ，且，则 ， 满足（ ）A12 B12 C12 D 1 且 210 （2013盐城模拟）如图，分别过点 Pi（i ，0） （i=1、2、n）作 x 轴的垂线，交的图象于点 Ai，交直线 于点 Bi则 的值为（ ）A B2 C D11 （2008西湖区校级模拟）已知二次函数 y=ax22ax+1（a0）图象上三点 A（1，y 1） ，B（2，y 2）C （4，y 3） ，则 y1、y 2、y 3 的大小关系为（ ）Ay 1y 2y 3 By 2
6、y 1y 3 Cy 1y 3y 2 Dy 3y 1y 212 （2008乐山）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，令M=|4a2b+c|+|a+b+c|2a+b|+|2ab|，则（ ）第 4 页（共 54 页）AM0 BM0CM=0 DM 的符号不能确定13 （2007包头）已知二次函数 y=ax2+2x+c（a 0）有最大值，且 ac=4，则二次函数的顶点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限14 （2012蚌埠自主招生）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且 AQBQ，则 a 的值为（ ）A B C 1 D215 （2
7、010秀洲区一模）已知点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0a3）上，若 x1x 2，x 1+x2=1a，则（ ）Ay 1y 2 By 1y 2Cy 1=y2Dy 1 与 y2 大小不能确定16 （2013天河区一模）如图，二次函数 y1=ax2+bx+c 与一次函数 y2=kx+b 的交点 A，B的坐标分别为（1，3） ， （6， 1） ，当 y1y 2 时，x 的取值范围是（ ）第 5 页（共 54 页）A1x6 Bx1 或 x 6 C 3x1 Dx3 或 x117已知关于 x 的二次函数 y=ax2+2ax+7a3 在 2x5 上的函数值始终
8、是正的，则 a 的取值范围（ ）Aa Ba 0 或 a C D18 （2012荣县校级二模）已知直线经过点 A（0，2） ，B（2，0） ，点 C 在抛物线 y=x2 的图象上，则使得 SABC=2 的点有（ ）个A4 B3 C2 D119 （2012下城区校级模拟）关于二次函数 y=2x2mx+m2，以下结论：抛物线交 x 轴有交点；不论 m 取何值，抛物线总经过点（1，0） ；若 m6，抛物线交 x 轴于 A、B 两点，则 AB1；抛物线的顶点在 y=2（x1） 2 图象上其中正确的序号是（ ）A B C D20 （2002湖州）已知抛物线 y=x2+bx+c（c0）经过点（c，0） ，以
9、该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 S，则 S 可表示为（ ）A |2+b|b+1| B c（1c） C （b+1） 2 D21 （2005茂名）下列四个函数：y=kx（k 为常数， k0）y=kx+b（k， b 为常数，k0）y= （k 为常数， k0，x0）y=ax2（a 为常数，a0）其中，函数 y 的值随着 x 值得增大而减少的是（ ）A B C D第 6 页（共 54 页）22 （2013碑林区校级一模）已知函数 y=（x m） （x n）+3，并且 a，b 是方程（x m）（xn） =3 的两个根，则实数 m，n，a，b 的大小关系可能是（ ）Amabn Bmanb C
10、a m bn Damnb二解答题（共 8 小题）23 （2014本溪）如图，直线 y=x4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线y= x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C，连接 BC（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）点 M 在抛物线上，连接 MB，当 MBA+CBO=45时，求点 M 的坐标；（3）点 P 从点 C 出发，沿线段 CA 由 C 向 A 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 由B 向 C 运动，P、Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 Q 点到达 C 点时，P、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 D，使
11、 P、Q 运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在，说明理由24 （2014黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B，C 两点（点 B 在点 C 的左侧） ，已知 A 点坐标为（0，3） （1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的对称轴 l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C 两点之间，问：当点 P 运动到什么位置时，PAC 的
12、面积最大？并求出此时 P 点的坐标和PAC 的最大面积第 7 页（共 54 页）25 （2014遵义）如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C若点 P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标；（2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以A，E，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由（3）当 P，Q 运动到 t 秒
13、时，APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定此时四边形 APDQ 的形状，并求出 D 点坐标26 （2014兰州）如图，抛物线 y= x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0） ，C （0，2） （1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的
14、面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标第 8 页（共 54 页）27 （2014义乌市）如图，直角梯形 ABCO 的两边 OA， OC 在坐标轴的正半轴上，BCx轴，OA=OC=4，以直线 x=1 为对称轴的抛物线过 A，B ，C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线 l 的解析式为 y=x+m，它与 x 轴交于点 G，在梯形 ABCO 的一边上取点 P当 m=0 时，如图 1，点 P 是抛物线对称轴与 BC 的交点，过点 P 作 PH直线 l 于点 H，连结 OP，试求OPH 的面积；当 m=3 时，过点 P 分别作 x 轴、直线 l 的垂线，垂足为点 E
15、，F是否存在这样的点P，使以 P，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由28 （2015黄冈模拟）已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴的交点是 A（3，0） 、B（6，0） ，与 y 轴的交点是 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）设 P（x，y） （0x6）是抛物线上的动点，过点 P 作 PQy 轴交直线 BC 于点 Q当 x 取何值时，线段 PQ 的长度取得最大值，其最大值是多少？是否存在这样的点 P，使 OAQ 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 9 页（共 54 页）29 （2014武汉）如图，
16、已知直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线 y= x2 交于 A，B 两点（1）直线 AB 总经过一个定点 C，请直接出点 C 坐标；（2）当 k= 时，在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使ABP 的面积等于 5；（3）若在抛物线上存在定点 D 使 ADB=90，求点 D 到直线 AB 的最大距离30 （2014六盘水）如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、D 两点，并经过 B点，已知 A 点坐标是（2，0 ） ，B 点的坐标是（8，6） （1）求二次函数的解析式（2）求函数图象的顶点坐标及 D 点的坐标（3）该二次函数的对称轴交 x 轴于 C 点连接 BC，并延
17、长 BC 交抛物线于 E 点，连接BD，DE，求BDE 的面积（4）抛物线上有一个动点 P，与 A，D 两点构成ADP ，是否存在 SADP= SBCD？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在请说明理由第 10 页（共 54 页）庞圣洁（二次函数难题）参考答案与试题解析一选择题（共 22 小题）1 （2015陕西模拟）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点N（1，2） ，交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C则：b=2；该二次函数图象与 y 轴交于负半轴；存在这样一个 a，使得 M、 A、C 三点在同一条直线上；若 a=1，则 OAOB=OC2以上说法正确的有
18、（ ）A B C D【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合【分析】二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ，因而将M、N 两点坐标代入即可消去 a、c 解得 b 值根据图象的特点及与直线 MN 比较，可知当1x1 时，二次函数图象在直线 MN 的下方同理当 y=0 时利用根与系数的关系，可得到 OAOB 的值，当 x=0 时，可得到 OC 的值通过 c 建立等量关系求证【解答】解：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）经过点 M（ 1，2）和点 N（1， 2） ， ，解得 b=2故该选项正确方法一：二次函数 y=ax2+bx+c，a0该二次函数图象开口向上点 M（1，2）和点 N（1， 2） ，直线 MN 的解析式为 y2= ，
