1、1二次函数性质二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。这些内容是中考二次函数重点考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标例 1、对于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）21(5)3yxA开口向下，顶点坐标 B开口向上，顶点坐标， (53)，C开口向下，顶点坐标 D开口向上，顶点坐标()， ，二、求抛物线的对称轴例 2、二次函数 的图象的对称轴是直线 。32xy三、求二次函数的最值例 3、若一次函数 的图像过第一、 三、 四象限,则函数 （ (1)m2ymx）A.有最
2、大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值444m4四、根据图象判断系数的符号例 4、已知函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）cbxay2Aa0，c0 Ba0，c0Ca0，c 0 Da0，c0 五、比较函数值的大小例 5、若 A（ ） ， B（ ） ， C（ ）为1,43y2,45y3,41y二次函数 的图象上的三点，则 的大小关系是( ) 2yx12A B C D123213y3y132y六、二次函数的平移例 6、把抛物线 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物2x线的解析式为（ ）A. B. 2(1)3y 2()yxC. D. x13例 7 将抛物线 2
3、y绕原点按顺时针方向旋转 180后，再分别向下、向右平移 1 个单位，2此时该抛物线的解析式为（ ）A. 1)(32xy B. 1)(32xyC. D. 例 8 在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为 A(1,-4)且过 B(3,0).(1)求该二次函数解析式;(2)将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标.（1）把二次函数 2394yx代成 2()yaxhk的形式（2）写出抛物线 的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如 2yax的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线 2394yx中， x的取值范围是 03x
4、 ，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等） 七、求代数式的值例 9、已知抛物线 与 轴的一个交点为 ，则代数式21yx(0)m，的值为（ ）A 2006 B2007 C2008 D2009208m八、求与坐标轴的交点坐标例 10、抛物线 y=x 2+x-4 与 y 轴的交点坐标为 例 11、如图是二次函数 图像的一部分，该图在 轴右侧与 轴交点2)1(xayx的坐标是 。二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系十分密切，历来是数学中考的必考内容之一。同学们应学会熟练地将这两部分知识相互转化。二次函数 与一元二次方程 从形式cbxay2 02cbx
5、a上看十分相似，两者之间既有联系又有区别。当抛物线 的 y 的值为 0 时，cbxay2就得到一元二次方程 。抛物线与 x 轴是否有交点就取决于一元二次方程02cx的根的情况。02cbxa1.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的值等于 m,求自变量 x 的值,可以解一元二次方程ax2+bx+c=m(即 ax2+bx+c-m=0).反过来,解方程 ax2+bx+c=0(a0)又看作已知二次函数3y=ax2+bx+c 值为 0,求自变量 x 的值.2.用表格给出二次函数 y=ax2+bx+c(a0)与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的关系.一元二次方程ax2+bx+c=0 根的情
6、况二次函数 y=ax2+bx+c与 x 轴的交点情况b2-4ac0 有两个不相等的根 有两个不同的交点b2-4ac=0 有两相等的根 只有惟一的一个交点b2-4ac0 无实数根 无交点3弦长公式：如果抛物线 的图象与 x 轴有两个交点)0(2acbxy由一元二次方程求根公式得 ， ，)0,(,BAxAabB2故 这就是弦长公式，利abaBA2用此公式可以解决许多有关抛物线的问题例 1.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象（如图 1） ，由图象可知关于 x 的方程 ax2+bx+c =0 的两个根分别是 x1=1.3 和 x2=_.例 2根据下列表格中
7、二次函数 的自变量 与函数值 的对2yaxbcy应值，判断方程 （ 为常数）的一个解 的范围是20abc，（ ） x6.17 6.18 6.19 6.202yc.30.10.20.4 6.1767.8x .89x.9例 3已知函数 的图象如图所示，那么关于2yabxc的方程 的根的情况是（ ）x20abcA无实数根 B有两个相等实数根C有两个异号实数根 D有两个同号不等实数根例 4.已知抛物线 的图象与 x 轴有两个交点为 ，且mxy22),0(1x2，求 m 的值。521x例已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程2yxx的解为 20x 图 14例二次函数 是常数 中，自变量
8、 与函数 的对应值2(0yaxbcabc， ， ， )xy如下表： x1121 322 53y241 74741 42（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标（2）一元二次方程 是常数 的两个根 的取值范围20(axbcabc， ， ， )12x，是下列选项中的哪一个 1230， 125xx， 52x， 3，例 4(贵阳) 二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：2(0)yaxbc（1）写出方程 的两个根 2（2）写出不等式 的解集 xc（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围 yx（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围 2abkk例 如图 3，一元二次
9、方程 x2+2x-3=0 的二根 x1，x 2(x1x2)是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x轴的两个交点 B,C 的横坐标，且此抛物线过点 A(3,6)求此二次函数的表达式二次函数的应用中考命题中，既重点考查二次函数及其图象的有关基础知识，同时以二次函数为背景的应用性问题也是命题热点之一，多数作压轴题。因此，在复习中，关注这一热点显得十分重要。应用二次函数，就是要把实际问题转化为二次函数的问题，它的基本模式是： y3214O图 3实际问题数学化数学问题实际问题的解 检验 数学问题的解5同学们难的是，如何把实际问题数学化。我们要细心研究题意，能提炼出相关信息，对相关信息进行分析、加工，看能不
10、能形成抛物线的形式。从而把实际问题转化为数学问题。例 1、 （某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用设每个房间每天的定价增加 元求：x（1）房间每天的入住量 （间）关于 （元）的函数关系式 （3 分）y（2）该宾馆每天的房间收费 （元）关于 （元）的函数关系式 （3 分）z（3）该宾馆客房部每天的利润 （元）关于 （元）的函数关系式；当每个房间的定价wx为每天多少元时， 有最大值？最大值是多少？（6 分）解决最值问题应用题
11、的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程。例 2、一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来 3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：（1）求该抛物线对应的二次函数解析式（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析。例 3、某人定制了一批地砖，每块地砖（如图
12、 1(1)所示）是边长为 0.4 米的正方形ABCD，点 E、 F 分别在边 BC 和 CD 上，CFE、ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成CFE、 ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形 EFGH(1)判断图(2)中四边形 EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E、 F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？例 4 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m
13、 的栅栏围住（如图 1）. 若设绿化带的 BC 边长为 xm，绿化带的面积为ym2.（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；O132433yx第 1月第 2月第 3月利润（万元）图 1(2)A DFB E C(1)EFGHABDC图 125mDCB A6（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？例 5 用长为 l2m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃如图 2，围出的苗圃是五边形 ABCDE，AEAB，BCAB，C=D=E设 CD=DE=xm，五边形 ABCDE 的面积为 S m2问当 x 取什么值时，S 最大?并求出 S 的最大值例 6 如图 3，
14、抛物线 （n 为常数）经过坐92xy标原点和 x 轴上另一点 C，顶点在第一象限（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；（2）已知 A 点坐标为（2，8） ，在梯形 OABC 内有一矩形 MNPQ，点 M、N 分别在 OA、BC 上，点 Q、P 在 x 轴上当 MN 为多少时，矩形 MNPQ 的面积最大？最大面积是多少？例 7 已知：如图 4，直角梯形 中， ， ，ABCDB 90A， 10BCDsin5C（1）求梯形 的面积；A（2）点 分别是 上的动点，EF， ，点 从点 出发向点 运动，点 从点F出发向点 运动，若两点均以每秒 1 个单位的速度同时出发，连接 求 面积的最大值
15、，并说明此时EC的位置，例 8 如图 5， 中， ， ， ， 为 上一动点ABCD43B120AD EBC（不与 重合） ，作 于 ， ， 的延长线交于点 ，设FG， 的面积为 BEx S（1）求证： ；EG （2）求用 表示 的函数表达式，并写出 的取值范围；x（3）当 运动到何处时， 有最大值，最大值为多少？ 例军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 与飞行时间 的关系满足 经过 秒时间炮弹到达它(m)y(s)x2105yx的最高点，最高点的高度是 米，经过 秒时间，炮弹落到地上爆炸了例 10 如图 1，一位运动员在距篮圈中心水平距离 4 米处跳起投篮，球运行的路线
16、是抛物线，当球运动的水平距离为2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米求抛物线的关系式例 11 如图 2，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔水面宽度 AB20 米，顶点 M 距水面 6 米（即 MO6 米） ，小孔顶点 N 距水面 4.5 米（NC4.5 米） 当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图 3 中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度 EF图 2yAMO Q HBNP C x图 3图 4EFNMABDEFG图 2 图 3图 1图 57x（米）y（米）BCO 图 2例 12 杂技团进行杂技表演，演员从跷
17、跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y= 53x2+3x+1 的一部分，如图（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成功？请说明理由例 13 王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线285yx，其中 y（m ）是球的飞行高度， x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2m（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行的最大水平距离（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其关系式例 14 如图，在等边三角形 ABC 中，AB=2 ，点 D、E 分别在线段 BC、AC 上（点 D 与点 B、C 不重合） ，且 ADE=60 0. 设 BD=x,CE=y.（1）求 y 与 x 的函数表达式；（2）当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？CEDBA
