1、- 1 -二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函cbaxy,(2)0ayx数.2.二次函数 的性质2ax（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.yy（2）函数 的图像与 的符号关系.2x当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y2axy）（ 03.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxay24.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中khxay2.ackbh422，5.二次函数由特殊到一般，可分
2、为以下几种形式： ； ；2axykxy2； ； .2hxaykhxy2 cb26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxyx7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开a口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是abcxacbaxy4222 ，对称轴是直线 .），（ cb42- 2 -（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的
3、解析式化为 的形式，得到khxay2顶点为( , )，对称轴是直线 .hkhx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线cbxay2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称abx00轴在 轴左侧； （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.yaby（3） 的大小
4、决定抛物线 与 轴交点的位置.ccxy2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xc2 c ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负c0cycy半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxyhx( ,0)hka( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，11.用待定系数法求二次函数的解析式- 3 -（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、
5、的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：x1x2.21xay12.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).cbxay2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( ,hbxay2 h).cbha2（3）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元cy2x1x2二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一0bxa元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；x有一个交点（顶点在 轴上）
6、 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像nxyl 02acbxy的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同Gcbxaynk2的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时 与 只有一个交点；l lG方程组无解时 与 没有交点.G（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为x cbxay2，由于 、 是方程 的两个根，故021， BA1
7、x202xacbx1,- 4 - acbacbxxxxAB 442221212121第二部分 典型习题考点 1:函数的三种形式.抛物线 yx 22x2 的顶点坐标是 （ ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）2. 抛物线 y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. x 轴上 D. y 轴上3抛物线 的顶点坐标是 yx（ ）A （2，1） B （-2，-1） C （-2，1） D （2，-1 ）4如图，抛物线 与 x 轴交于点 ，对称轴为2abc(,0)，则下列结论中正确的是xA 0aB当 时，y 随 x 的增大而增大1C cD 是一元二次方程
8、 的一个根3x20abxc5 抛物线 y=x2+bx+c，经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_.6.已知抛物线 .245yx（1）直接写出它与 x 轴、y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将 化成 的形式2 2()yaxhk7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x -1 0 1 2 3 4 y 8 3 0 -1 0 3 (1) 求该二次函数的解析式； (2) 当 x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？- 5 -(3) 若 A（m,y 1）,B(m+2, y2)两点都在该函数的图象上，计算当 m 取何值时，12?y8
9、. 抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 0 4 4 0 8 （1）根据上表填空： 抛物线与 x 轴的交点坐标是 和 ； 抛物线经过点 (-3, )； 在对称轴右侧，y 随 x 增大而 ；（2）试确定抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式.解: （1） 抛物线与 x 轴的交点坐标是 和 ； 抛物线经过点 (-3, )； 在对称轴右侧，y 随 x 增大而 .（2）考点 2.a、b、c 符号问题1、已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）cbxay2ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0第 1,2题
10、图 第 3题图2.二次函数 的图象如上图所示，则下列结论正确的是（ ）cbxay 2Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c03 已知二次函数 yax 2bx c 的图象如上图所示，则下列结论中正确的是 ( )Aa0 Bc0 C 42 Dabc04.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如右图所示，则下列结论正确的是（ ）Aa+b+c 0 Bb -2aCa-b+c 0 Dc0； a+b+c 0 a-b+c 0 b 2-4acbc，且 abc0，则它的图象可能是图所示的( )7二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示，那么 abc，b 24ac， 2ab，a
11、bc 四个代数式中，值为正数的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个考点 3：二次函数的增减性1.二次函数 y=3x26x+5 ，当 x1时，y 随 x的增大而 ；当 x 2 时,y 随 x的增大而增大；当 x0)的图象与 x 轴交于点 (x1, 0)和(x 2, 0), 且 x14，那么 AB 的长是( )A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m4.某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度AB5 cm，拱高 OC0.9 cm，线段 DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1） 在比例图上，以直线 AB为 x轴，抛物线的对称轴为 y轴，以 1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE与 AB的距离 OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到 1米） 4.
