1、1二次函数最值应用题要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题1小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 S(单位：平方米)随矩形一边长 x(单位：米)的变化而变化（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？答：当 为 15 米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是 225 平方米2.、如图所示，在一个直角MBN 的内部作
2、一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC 分别在两直角边上，设 AB=x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为多少 ？ 5 m12 mA B C D3、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围成 当花园的宽取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解： )240(xy)20(x0)(2 15240x.二次函数的顶点不在自变量 的范围内，而当 内， 随 的增大而减小，5.1yx当 时， (平方米). .8720).(2maxy答：当 米时花园的面积最大，最大面积是 187.5
3、平方米512x4、 如图，已知正方形 ABCD 边长为 8，E，F，P 分别是 AB，CD，AD上的点，(不与正方形顶点重合)，且 PEPF，PEPF，问当 AE 为多长时，五边形 EBCFP 面积最小？最小面积是多少？5、如图，有一块形状是直角梯形的铁片 ABCD，它的上底AD3cm，下底 BC8cm，垂直于底的腰 CD6cm，现要截成一块矩形铁皮 MPCN，使它的顶点 M，P，N 分别在 AB，BC，CD上，当 MN 多长时，矩形 MPCN 面积有最大值？6、某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以售出400 件根据销售经验，提高单价会导致销售量的
4、减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：设每件价格提高 元，利润为 元，则：xy )204)(30(xx当 ， （元）)20(1205)(2x5may2答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润7、：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件 元，利润为 元， 为涨价时的利润， 为降价时的利xy12y润则： )103)(406(1y
5、)60(2x当 ，即：定价为 65 元时， （元）625 650max2 x5)1).(2当 ，即：定价为 57.5 元时， （元）5.x 1maxy综合两种情况，应定价为 65 元时，利润最大8、某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可售出约 100 件，该店想通过降低售价，增加销售的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1 元，其销售量可增加约 10 件，将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？9、某商店购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经实验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能
6、卖 360 件，若按每件25 元的价格销售时，每月能卖 210 件，假定每月销售件数 y（件）是价格 x（元件）的一次函数。试求出 y 与 x 之间的关系式。 在商店不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定位多少时，才能使每月获得最大利润？，每月最大利润是多少？10. 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m 件与每件的销售价 x 元满足一次函数 m=1623x.（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的售价 x 之间的函数表达式。（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少合适？，最大利润是多少？11、某商店经销一种销
7、售成本为每千克 40 元的水产品，据市场调查若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题：当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润； 设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 之间的函数表达式， （不必写出 x 的取值范围） 当销售单价为多少元时，可获得最大月销售利润？12、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000 千克，购进价格为每千克 30 元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元。市场调查发现：单价定为 70
8、 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算） 。设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元。 （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并注明 x 的取值范围。 （2）将（1）中所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标。 并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？13、某宾馆客房部有 60 间客房供客人居住，当每个房间的定价为每天 200 时，房间可以住3满，当每个房间每天的定价每增加 10 元，就会有一个空房间，对有客人入住的房间每天支出 20 元的各种费用，设每个房间每天的定价增加 X，求：（
9、1）房间每天入住量 y（间）关于 x 元的函数关系式。 （2）该宾馆每天房间收费 z(元) 关于 x(元)的函数关系.（3）该宾馆客房部每天的利润 w( 元)关于 x(元）的函 数关系式；当每个房间的定价为每天多少元，w 有最大值？最大值是多少？14、某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元） 设每件商品的售价上涨 x元（ 为正整数） ，每个月的销售利润为 y元（1）求 y与 x的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利
10、润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？15某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价 800 元旅行社对超过 30 人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低 10 元你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有 人 ，营业额为 元，x)30(y则： 18y )10(x3025)(x当 ， （元）525max答：当旅行团的人数是 55 人时，旅行社可以获得最大营业额16、 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件
11、产品的销售价(元)与产品的日销售量 (件) 之间的关系如下表：xy若日销售量 是销售价 的一次函数x求出日销售量 (件)与销售价 (元) 的函数关系式；要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：设一次函数表达式为 则 解得 ，bkxy152,0kb401bk即一次函数表达式为 40 设每件产品的销售价应定为 元，所获销售利润为 元wyxw)10()(x52x25)(x当 ， （元）2525ma答：产品的销售价应定为 25 元时，每日获得最大销售利润为 225 元17、某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 4【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)” 的设问中， “某某”要设为自变量， “什么”要设为函数；求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10
