1、二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1 二 次 函 数 的 概 念 ： 一 般 地 ， 形 如 y ax2 bx c （ a ， b ， c 是 常 数 ， a 0 ） 的 函 数 ， 叫 做 二 次 函数 。这 里 需 要 强 调 ： 和 一 元 二 次 方 程 类 似 ， 二 次 项 系 数 a 0 ， 而 b ， c 可 以 为 零 二 次 函 数的 定 义 域 是 全 体 实 数 2. 二次函数 y ax2 bx c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常
2、数项二、二次函数的基本形式1. 二 次 函 数 基 本 形 式 ： y ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0 向上0，0 y 轴x 0 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ； x 0 时 ， y 随x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值0 a 0 向下0，0 y 轴x 0 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ； x 0 时 ， y 随x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值0 2. y ax2 c 的性质：上加下减。a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0 向上0，c y 轴x 0 时 ，
3、 y 随 x 的 增 大 而 增 大 ； x 0 时 ， y 随x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值c a 0 向下0，c y 轴x 0 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ； x 0 时 ， y 随x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值c 3. y a x h 2 的 性 质 ： 左加右减。a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0 向上h ，0 X=hx h 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ； x h 时 ， y 随x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值0 a 0 向下h ，0 X=hx h 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小
4、； x h 时 ， y 随x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值0 4. y a x h 2 k 的性质：a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0 向上h ，k X=hx h 时 ， y 随 x 的增大而增大； x h 时 ， y 随x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k a 0 向下h ，k X=hx h 时 ， y 随 x 的增大而减小； x h 时 ， y 随x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将 抛 物 线 解 析 式 转 化 成 顶 点 式 y a x h 2 k ， 确 定 其 顶 点 坐 标 h
5、 ， k ； 保持抛物线 y ax2 的形状不变，将其顶点平移到 h ， k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值 正 右 移 ， 负 左 移 ； k 值正上移，负下移” 概 括 成 八 个 字 “左 加 右 减 ，上 加 下 减 ”四、二次函数 y a x h 2 k 与 y ax2 bx c 的比较从 解 析 式 上 看 ， y a x h 2 k 与 y ax2 bx c 是 两 种 不 同 的 表 达 形 式 ， 后 者 通 过 配 方 可 以 得到前者，即 y a ，其中h= - ， k(+2)2 4- 24 24- 24五、二次函数 y ax2 bx c
6、 的性质当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x - ,顶点坐标为 . 2 (2,4 24 )当x- 时，y随x 的增大而减小； 2当x 时， y随x的增大而增大；2当x= 时，y有最小值 .2 4 24当时，抛物线开口向下，对称轴为x- , 顶点坐标为 .当 2 (2,4 24 )x- 时 ， y 随 x 的大而增大 y;当随 x 时,y随 x 的增大而减小 ;当x= 时 , y有最大值 . 2 2 2 4 24六、二次函数解析式的表示方法1. 一 般 式 ： y ax2 bx c （ a ， b ， c 为 常 数 ， a 0 ） ；2. 顶 点 式 ： y a(x h)2 k （ a
7、 ， h ， k 为 常 数 ， a 0 ） ；3. 两 根 式 （ 交点式 ） ： y a(x x1 )(x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是 抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 的 横 坐 标 ） .注 意 ： 任 何 二 次 函 数 的 解 析 式 都 可 以 化 成 一 般 式 或 顶 点 式 ， 但 并 非 所 有 的 二 次 函 数 都 可 以 写 成 交 点 式 ，只 有 抛 物 线 与 x 轴 有 交 点 ， 即 b2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二 次 项 系 数
8、a 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大2. 一 次 项 系 数 b在 二 次 项 系 数 a 确 定 的 前 提 下 ， b 决 定 了 抛 物 线 的 对 称 轴 （ 同 左 异 右 b 为 0 对 称 轴 为 y 轴 ）3. 常 数 项 c 当c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ； 当 c 0 时 ， 抛 物 线 与
9、 y 轴 的 交 点 在 x 轴 下 方 ， 即 抛 物 线 与 y 轴交点的纵坐标为负 总 结 起 来 ， c 决 定 了 抛 物 线 与 y 轴交点的位置八、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二 次 函 数 与 x 轴交点情况）：一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0 是 二 次 函 数 y ax2 bx c 当 函 数 值 y 0 时的特殊情况. 图 象 与 x 轴的交点个数： 当 b2 4ac 0 时 ， 图 象 与 x 轴 交 于 两 点 Ax1 ， 0， B x2 ， 0 (x1 x2 ) ， 其 中 的 x1 ， x 2是一元二 次方程 ax 2
10、bx c 0a 0的两根 当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当 0 时，图象与 x 轴没有交点.1 当 a 0 时 ， 图 象 落 在 x 轴 的 上 方 ， 无 论 x 为 任 何 实 数 ， 都 有 y 0 ；2 当 a 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 2. 抛 物 线 y ax2 bx c 的 图 象 与 y 轴 一 定 相 交 ， 交 点 坐 标 为 (0 ， c) ；中考题型例析1. 二次函数解析式的确定例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3
11、,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3) 、C(2,6)各点代入上式得解得 3=+3=+6=4+2+ =1=0=2 解 析 式 为 y=x2+2.(2)解 法 1:由 A(-1,0)、B(3,0)得 抛 物 线 对 称 轴 为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设 解 析 式 为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,
12、y=0 代 入 上 式 得 0=a(-2)2-8,a=2. 即 解 析 式 为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x2-4x-6.解 法 2:设 解 析 式 为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解 得 a=2,解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.函数有最小值-8. =-8.4(3)(2)24又a0,a=2.解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9
13、)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由 抛 物 线 的 对 称 性 可 得 A、B 两 点 坐 标 分 别 为 A(-4,0),B(2,0), 设 出 两 根 式 y=a(x-x1)(x-x2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一 般 地 ,已 知 三 个 条 件 是 抛 物 线 上 任 意 三 点 (或 任 意 3 对 x,y 的 值 )可 设 表达 式 为 y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最 值 ,可 选 用 y=a(x-h)2
14、+k 来 求 解 ;若 三 个 条 件 中 已 知 抛 物 线 与 x 轴 两 交点 坐 标 ,则 一 般 设 解 析 式 为 y=a(x-x1)(x-x2).2. 二次函数的图象例 2 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在( ).A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 分析:由图可知:抛物线开口向上 a0.抛物线与y 轴 负 半 轴 相 交 c 0b bc0.对称轴 x 2a 在 y轴右侧 b 0点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a、b、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax
15、2+bx+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).分析:一次函数 y=ax+c,当 a0 时,图象过一、三象限 ;当 a0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c0 时 ,二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 开 口 向 上 ,而 一 次 函数 y= ax+c 应 过 一 、 三 象 限 ,故 排 除 C;当 a0 即可.(2)根 据 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 即 是 一 元 二 次 方 程 的 根 .由 根 与 系 数 的 关 系 ,求 出 k 的 值 ,可 确 定 抛 物 线 解 析 式 ; 由 P、Q 关 于 此 抛 物 线 的 对 称
16、 轴 对 称 得 n1=n2, 由 n1=m12+m1,n2=m22+m2 得 m12+m1=m22+m2,即(m 1-m2)(m1+m2+1)=0 可 求 得 m1+m2= - 1.解:(1)证明:=(2k+1) 2-4(-k2+k)=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.8k 2+10,即0, 抛物线与 x 轴总有两个不同的交点. (2) 由题意得 x1+x2=-(2k+1), x1 x2=-k2+k.x 1 2+x2 2=-2k2+2k+1,(x 1+x2)2-2x1x2=- 2k2+2k+1, 即(2k+1) 2-2(-k2+k)=-2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2-2
17、k= - 2k2+2k+1.8k 2=0, k=0,抛物线的解析式是 y=x 2+x.22点 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称,n 1=n2.又 n 1=m12+m1,n2=m 2+m2.m 12+m1=m 2+m2,即(m 1-m2)(m1+m2+1)=0.P、Q 是抛物上不同的点,m 1m2,即 m 1-m20.m 1+m2+1=0 即 m 1+m2=-1.点评:本 题 考 查 二 次 函 数 的 图 象 (即 抛 物 线 )与 x 轴 交 点 的 坐 标 与 一 元 二 次方 程 根 与 系 数 的 关 系 .二 次 函 数 经 常 与 一 元 二 次 方 程 相 联 系 并 联 合 命 题 是 中 考 的热 点 .二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 y x2 4x 7 的顶点坐标是( )A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 把抛物线 y 2x2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）A. y 2(x 1)2 B. y 2(x 1)2 C. y 2x2 1 D. y 2x2 13.函数 y kx2 k 和 y k (k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
