1、二次函数经典难题（含精解）一选择题（共 1 小题）1顶点为 P 的抛物线 y=x22x+3 与 y 轴相交于点 A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点 P 旋转 180得到一个新的抛物线，且新的抛物线与 y 轴相交于点 B，则PAB 的面积为（ ）A 1 B 2 C 3 D6二填空题（共 12 小题）2作抛物线 C1 关于 x 轴对称的抛物线 C2，将抛物线 C2 向左平移 2 个单位，向上平移 1个单位，得到的抛物线 C 的函数解析式是 y=2（x+1） 21，则抛物线 C1 所对应的函数解析式是 _ 3抛物线 关于原点对称的抛物线解析式为 _ 4将抛物线 y=x2+1 的图象绕原点 O
2、旋转 180，则旋转后的抛物线解析式是 _ 5如图，正方形 ABCD 的顶点 A、B 与正方形 EFGH 的顶点 G、H 同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在 CD 上，若正方形 ABCD 边长为 10，则正方形 EFGH 的边长为 _ 6如果一条抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形 ”在抛物线 y=ax2+bx+c 中，系数a、b、c 为绝对值不大于 1 的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为 _ 7抛物线 y=ax2+bx+c 经过直角ABC 的顶点 A（1，0） ，B（4
3、，0） ，直角顶点 C 在 y 轴上，若抛物线的顶点在ABC 的内部（不包括边界） ，则 a 的范围是 _ 8已知抛物线 y=x26x+a 的顶点在 x 轴上，则 a= _ ；若抛物线与 x 轴有两个交点，则 a 的范围是 _ 9抛物线 y=x22 x+a2 的顶点在直线 y=2 上，则 a= _ 10若抛物线 y=x22 x+a2 的顶点在直线 x=2 上，则 a 的值是 _ 11若抛物线 的顶点在 x 轴上方，则 m 的值是 _ 12如图，二次函数 y=ax2+c 图象的顶点为 B，若以 OB 为对角线的正方形 ABCO 的另两个顶点 A、C 也在该抛物线上，则 ac 的值是 _ 13抛物
4、线 y=ax2+bx1 经过点（2，5） ，则代数式 6a+3b+1 的值为 _ 三解答题（共 17 小题）14已知抛物线 C1 的解析式是 y=2x24x+5，抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，求抛物线 C2 的解析式15将抛物线 C1：y= （x+1） 22 绕点 P（t ，2）旋转 180 得到抛物线 C2，若抛物线 C1的顶点在抛物线 C2 上，同时抛物线 C2 的顶点在抛物线 C1 上，求抛物线 C2 的解析式16如图，抛物线 y1=x2+2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2，回答下列问题：（1）抛物线 y2 的顶点坐标 _ ；（2）阴影部分的面积 S= _ ；（3
5、）若再将抛物线 y2 绕原点 O 旋转 180得到抛物线 y3，求抛物线 y3 的解析式17已知抛物线 L：y=ax 2+bx+c（其中 a、b、c 都不等于 0） ，它的顶点 P 的坐标是，与 y 轴的交点是 M（0，c） 我们称以 M 为顶点，对称轴是 y轴且过点 P 的抛物线为抛物线 L 的伴随抛物线，直线 PM 为 L 的伴随直线（1）请直接写出抛物线 y=2x24x+1 的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式 _ ，伴随直线的解析式 _ ；（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y=x23 和 y=x3，则这条抛物线的解析式是 _ ；（3）求抛物线 L：y=ax
6、2+bx+c（其中 a、b、c 都不等于 0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；（4）若抛物线 L 与 x 轴交于 A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点，x 2x 10，它的伴随抛物线与 x 轴交于 C、D 两点，且 AB=CD请求出 a、b、c 应满足的条件18设抛物线 y=x2+2ax+b 与 x 轴有两个不同的交点（1）将抛物线沿 y 轴平移，使所得抛物线在 x 轴上截得的线段的长是原来的 2 倍，求平移所得抛物线的解析式；（2）通过（1）中所得抛物线与 x 轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式19已知抛物线 C：y=ax 2+bx+c（a 0）过原点，与
7、x 轴的另一个交点为 B（4，0） ，A 为抛物线 C 的顶点（1）如图 1，若AOB=60，求抛物线 C 的解析式；（2）如图 2，若直线 OA 的解析式为 y=x，将抛物线 C 绕原点 O 旋转 180得到抛物线C，求抛物线 C、C的解析式；（3）在（2）的条件下，设 A为抛物线 C的顶点，求抛物线 C 或 C上使得 PB=PA的点 P的坐标20如图，已知抛物线 y=ax2+bx+ 交 x 轴正半轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，且CBO=60，CAO=45 ，求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式21已知：如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过直线 y=x+3 与坐标轴的两个交点
8、A、B，此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D（1）求此抛物线的解析式；（2）点 M 为抛物线上的一个动点，求使得ABM 的面积与 ABD 的面积相等的点 M 的坐标22已知抛物线 的顶点为 P，与 x 轴正半轴交于点 B，抛物线 C2与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移后的抛物线记为 C3，C 3 的顶点为M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3 的解析式23如图，抛物线 y=x2+bxc 经过直线 y=x3 与坐标轴的两个交点 A，B，此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为
9、抛物线上的一个动点，求使 SAPC：S ACD=5：4 的点 P 的坐标24已知一抛物线经过 O（0 ，0） ，B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为 （a0） （）当 a=1 时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；（）已知点 A（0，1） ，若抛物线与射线 AB 相交于点 M，与 x 轴相交于点 N（异于原点），当 a 在什么范围内取值时，ON+BM 的值为常数？当 a 在什么范围内取值时，ON BM 的值为常数？（）若点 P（t ，t）在抛物线上，则称点 P 为抛物线的不动点将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线 y=x 上，请说明理由2
10、5如图，已知抛物线 C1： y=a（x+2） 25 的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A在点 B 的左侧） ，点 B 的横坐标是 1；（1）求 a 的值；（2）如图，抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移后的抛物线记为 C3，抛物线 C3 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 O 成中心对称时，求抛物线 C3 的解析式26如图，抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A（3，0） ，B（ 1，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 M，直线 y=2x+9 与 y 轴交于点 C，与直线 OM 交于点 D现将抛物线平移，保持顶点在直
11、线 OD 上若平移的抛物线与射线 CD（含端点 C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围27如图，抛物线 y=a（x+1） 2 的顶点为 A，与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OB=OA（1）求抛物线的解析式； （2）若点 C（ 3，b）在该抛物线上，求 SABC 的值28如图，抛物线 y=x22x+c 的顶点 A 在直线 l：y=x5 上（1）求抛物线顶点 A 的坐标及 c 的值；（2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、D （C 点在 D 点的左侧） ，试判断 ABD的形状29如果抛物线 m 的顶点在抛物线 n 上，同时抛物线 n 的顶点在抛物线 m 上，那么我们
12、就称抛物线 m 与 n 为交融抛物线（1）已知抛物线 a：y=x 22x+1判断下列抛物线 b：y=x 22x+2，c：y=x 2+4x3 与已知抛物线 a 是否为交融抛物线？并说明理由；（2）在直线 y=2 上有一动点 P（t，2） ，将抛物线 a：y=x 22x+1 绕点 P（t，2）旋转 180得到抛物线 l，若抛物线 a 与 l 为交融抛物线，求抛物线 l 的解析式；（3）M 为抛物线 a；y=x 22x+1 的顶点，Q 为抛物线 a 的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ 为斜边的等腰直角三角形 MQS，使其直角顶点 S 在 y 轴上？若存在，求出点 S 的坐标；若不存在，请说明理由；（
13、4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题30如图 1 所示，已知直线 y=kx+m 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、C 两点，抛物线y=x2+bx+c 经过 A、C 两点，点 B 是抛物线与 x 轴的另一个交点，当 x= 时，y 取最大值（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点 P 是直线 AC 上一点，且 SABP：S BPC=1：3，求点 P 的坐标；（3）直线 y= x+a 与（1）中所求的抛物线交于点 M、N，两点，问：是否存在 a 的值，使得 MON=90？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由猜想当MON90
14、时，a 的取值范围 （不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 M、N 两点之间的距离为|MN|= ）参考答案与试题解析一选择题（共 1 小题）1顶点为 P 的抛物线 y=x22x+3 与 y 轴相交于点 A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点 P 旋转 180得到一个新的抛物线，且新的抛物线与 y 轴相交于点 B，则PAB 的面积为（ ）A 1 B 2 C 3 D6考点： 二次函数图象与几何变换菁优网版权所有分析： 根据题目意思，求出 A 和 B 的坐标，再求三角形的面积则可解答： 解：当 x=0 时，y=3 ，所以 A
15、的坐标是（0，3） ，y=x 22x+3=（x1） 2+2，把它绕顶点 P 旋转 180得到一个新的抛物线是 y=（x1） 2+2=x2+2x+1，x=0 时，y=1，所以 B 的坐标是（0，1） ，P 的坐标是（1，2） ，PAB 的面积= 2（32）=1故选 A点评： 本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和考查抛物线将一般式转化顶点式的能力，难度较大二填空题（共 12 小题）2作抛物线 C1 关于 x 轴对称的抛物线 C2，将抛物线 C2 向左平移 2 个单位，向上平移 1个单位，得到的抛物线 C 的函数解析式是 y=2（x+1） 21，则抛物线 C1 所对应的函数解析式是 y= 2（x1
16、） 2+2 考点： 二次函数图象与几何变换菁优网版权所有专题： 应用题分析： 根据题意易得抛物线 C 的顶点，进而可得到抛物线 B 的坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线 B 的解析式，而根据关于 x 轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线 C1 所对应的函数表达式解答： 解：根据题意易得抛物线 C 的顶点为（ 1，1） ，是向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位得到抛物线 C 的，抛物线 B 的坐标为（1，2） ，可设抛物线 B 的坐标为 y=2（x h） 2+k，代入得：y=2（x1） 22，易得抛物线 A 的二次项系数
17、为 2，顶点坐标为（1，2） ，抛物线 A 的解析式为 y=2（x 1） 2+2，故答案为 y=2（x1） 2+2点评： 本题主要考查了讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于 x 轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中3抛物线 关于原点对称的抛物线解析式为 考点： 二次函数图象与几何变换菁优网版权所有分析： 根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可解答： 解： 关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，抛物线 y= x2+x+2 关于原点对称的抛物线的解析式为： y= （ x） 2+（x）+2，即y= x2+x2
18、故答案为：y= x2+x2点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键4将抛物线 y=x2+1 的图象绕原点 O 旋转 180，则旋转后的抛物线解析式是 y= x21 考点： 二次函数图象与几何变换菁优网版权所有分析： 根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可解答： 解：根据题意，y= （x） 2+1，得到 y=x21故旋转后的抛物线解析式是 y=x21点评： 考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式5如图，正方形 ABCD 的顶点 A、B 与正方形 EFGH 的顶点 G、H 同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在 CD 上，若正方形 ABCD 边长为 10，则正方形 EFGH 的边长为 5 5 考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： 首先建立平面坐标系：过点 G 作 GMx 轴于点 M，进而得出抛物线解析式，进而表示出 G 点坐标，再利用 FG+MG=10，进而求出即可解答： 解：如图建立平面坐标系：过点 G 作 GMx 轴于点 M，设抛物线解析式为：y=ax 2，正方形 ABCD 边长为 10，B 点坐标为：（5，10） ，将 B 点代入 y=ax2，则10=25a ，解得：a= ，设 G 点坐标为：（a， a2） ，
