1、二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质 减减 顶点式：y=a(x-h) 2+k(a0)4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax 2+bx+c(a0)两根式：y=a(x-x 1)(x-x2)(a0)5.二次函数与一元二次方程的关系。6.抛物线 y=ax2+bx+c的图象与 a、b、c 之间的关系。三、中考知识梳理1.二次函数的图象在画二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象时通常先通过配方配成 y=a(x+ )2+ ba的形式,先确定顶点(- , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点4a2c-bba42c-公式来求得顶点坐标.2
2、.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由 a的符号来确定,当 a0时,在对称轴左侧 y随 x的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随 x的增大而增大;简记左减右增,这时当 x=- 时,y 最小值 = ;b2a4a2c-b反之当 a0时,抛物线开口向上;当 a0时,抛物线交 y轴于正半轴;当c0.bc0.02ycbxba抛 物 线 与 轴 负 半 轴 相 交对 称 轴 在 轴 右 侧点 M(a,bc)在第一象限.答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a、b、c 的符号.例 3 (2003岳阳)已知一次函数 y=ax+c二次函数 y=ax2+bx+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是(
3、).分析:一次函数 y=ax+c,当 a0时,图象过一、三象限;当 a0时,直线交 y轴于正半轴;当 c0时,二次函数 y=ax2+bx+c的开口向上,而一次函数 y=ax+c应过一、三象限,故排除 C;当 a0 即可.(2)根据二次函数的图象与 x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k的值,可确定抛物线解析式;由 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由 n1=m12+m1,n2=m22+m2得 m12+m1=m22+m2,即(m 1-m2)(m1+m2+1)=0 可求得 m1+m2=-1.解:(1)证明:=(2k+1) 2-4(-k2+k)=4k2+4k+1
4、+4k2-4k=8k2+1.8k 2+10,即0,抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)由题意得 x1+x2=-(2k+1), x1 x2=-k2+k.x 12+x22=-2k2+2k+1,(x 1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,即(2k+1) 2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.8k 2=0,k=0,抛物线的解析式是 y=x2+x.点 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称,n 1=n2.又 n1=m12+m1,n2=m22+m2.m 12+m1=m22+m2,即(m 1-m2)(m1+m2+1)=0.P、Q 是抛物上不同的点
5、,m 1m2,即 m1-m20.m 1+m2+1=0即 m1+m2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.基础达标验收卷一、选择题:1.(2003大连)抛物线 y=(x-2)2+3的对称轴是( ).A.直线 x=-3 B.直线 x=3 C.直线 x=-2 D.直线 x=22.(2004重庆)二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图,则点 M(b, )在( ).caA.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限3.(2004天津)已知二次函数 y=ax2+bx+c,且 a
6、0,则一定有( ).A.b2-4ac0 B.b2-4ac=0C.b2-4ac4,那么 AB的长是( ).A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m二、填空题1.(2004河北)若将二次函数 y=x2-2x+3配方为 y=(x-h)2+k的形式,则 y=_.2.(2003新疆)请你写出函数 y=(x+1)2与 y=x2+1具有的一个共同性质_.3.(2003天津)已知抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴为 x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_.4.(2004武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与 y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_.5.(
7、2003黑龙江)已知抛物线 y=ax2+x+c与 x轴交点的横坐标为-1,则 a+c=_.6.(2002北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:甲:对称轴是直线 x=4;乙:与 x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与 y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题1.已知函数 y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当 x0时,求使 y2 的 x取值范围.2.已知抛物线 y=- x2+(6- )x+m-3与 x轴有 A、B
8、 两个交点,且 A、B 两点关于 y轴12m对称.(1)求 m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.一、学科内综合题1.如图,二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于 B、C 两点,与 y轴交于 A点.(1)根据图象确定 a、b、c 的符号,并说明理由;(2)如果点 A的坐标为(0,-3),ABC=45,ACB=60,求这个二次函数的解析式.二、实际应用题3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 s(万元)与销售时间 t(
9、月)之间的关系(即前 t个月的利润总和 s与 t之间的关系).根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润 s(万元)与时间 t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到 30万元;(3)求第 8个月公司所获利润是多少万元?4.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面 AB的宽为 20m,如果水位上升 3m时,水面 CD的宽是 10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时 40km的速度开往乙地,当行驶
10、1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时 0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在 CD处,当水位达到桥拱最高点 O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?答案:基础达标验收卷一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C二、1.(x-1) 2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值) 3.y=-x2+2x+ 4.如 y=-x2+1 5.1 156.y= x2- x+3或 y=- x2+ x-3或 y=- x2- x+1或 y=- x2+ x-181
11、85178178三、1.解:(1)函数 y=x2+bx-1的图象经过点(3,2),9+3b-1=2,解得 b=-2.函数解析式为 y=x2-2x-1.(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.图象略.图象的顶点坐标为(1,-2).(3)当 x=3时,y=2,根据图象知,当 x3 时,y2.当 x0时,使 y2 的 x的取值范围是 x3.2.(1)设 A(x1,0) B(x2,0).A、B 两点关于 y轴对称. 120,.x2(6)0,3.m解得 m=6.(2)求得 y=- x2+3.顶点坐标是(0,3)(3)方程- x2+(6- )x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).1m3.
12、解:(1)符合条件的抛物线还有 5条,分别如下:抛物线 AEC; 抛物线 CBE; 抛物线 DEB; 抛物线 DEC; 抛物线 DBC.(2)在(1)中存在抛物线 DBC,它与直线 AE不相交.设抛物线 DBC的解析式为 y=ax2+bx+c.将 D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得92942,016.abc解这个方程组,得 a= ,b=- ,c=1.145抛物线 DBC的解析式为 y= x2- x+1.4【另法:设抛物线为 y=a(x-1)(x-4),代入 D(-2, ),得 a= 也可.】9214又将直线 AE的解析式为 y=mx+n.将 A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得 0,6.mn解这个方程组,得 m=-3,n=-6.直线 AE的解析式为 y=-3x-6.能力提高练习一、1.解:(1)抛物线开口向上,a0.又对称轴在 y轴的左侧,- 0.2ba又抛物线交于 y轴的负半轴.c0.(2)如图,连结 AB、AC.在 RtAOB 中,ABO=45,
