1、龙文教育学科教师辅导讲义课 题 二次函数知识点总汇教学目标 介绍一些些能加快速度的计算公式教学内容3 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是 ，abcxacbaxy4222 ），（ abc422对称轴是直线 .abx2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .khxay2hkhx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1）
2、 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2xya（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线 的对称轴是直线cbxy2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧； （即 、abx00ay0ab异号）时，对称轴在 轴右侧.y（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccbx2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcya2 c ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.c0ycy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图
3、像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay12.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbxa2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点 ( , ).hbxay2 hcba2（3）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数cbay2 1x2 02cxa根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴
4、相交；0x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0没有交点 抛物线与 轴相离.（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是k的两个实数根 .kcba2（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 nxyl 02acbxyG的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时 与cbak2 l l只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.GlG（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程x cb
5、xay2 021， xBA12x的两个根，故02cbaaxx2121, acbacbxxAB 4422212121216、点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等 （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 （3）点 P(x,y)到原点的距离等于yx 2yx5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM PN=)0(k 。 。xySxy,考点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值
6、） ，即当 时， 。abx2abcy42最 值如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，若在此范围内，则当21xab221xx= 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 范围内的 ab2abcy42最 值 21x2、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） 3、直线斜率： b为直线在y轴上的截距12tanxyk4、直线方程： 一般两点斜截距 1，一般 一般 直线方程 ax+by+c=02，两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:-最最常用，记牢)(1121 xxyy3，点斜 知道一点与
7、斜率 )k4，斜截 斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k 0)5 ，截距 由直线在 轴和 轴上的截距确定的直线的截距xy式方程，简称截距式：1byax记牢可大幅提高运算速度 5、设两条直线分别为， ： ： 1l1ykx2l2ykx若 ，则有 且 。 2/1/12b若 122lk6、点P（x 0， y0）到直线 y=kx+b(即： kx-y+b=0) 的距离: 1)1(20220kbyxkbyxd对于点 P（x 0， y0）到直线滴一般式方程 ax+by+c=0 滴距离有常用记牢20abcd2、 如图，已知二次函数 的图象与坐标轴交于点 A（-1， 0）和点24yaxcB（0 ，-5） （1）
8、求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点 P， 使 得 AB P 的 周 长 最 小 请 求 出 点 P 的 坐 标 解：（1）根据题意，得 2 分.045,)1()(02ca解得 3 分.,1ca二次函数的表达式为 4 分52xy（2）令 y=0，得二次函数 的图象与 x 轴 的另一个交点坐标 C（5, 0）.5 分由于 P 是对称轴 上一点，2x连结 AB，由于 ，26OBA要使ABP 的 周 长 最 小 ， 只 要 最 小 .6 分P由 于 点 A 与 点 C 关 于 对 称 轴 对称，连结 BC 交对称轴于点 P，则 = BP+PC =BC， 根据两点之间，线段最短
9、，可得x BA的 最 小 值 为 BC.B因 而 BC 与 对 称 轴 的交点 P 就是所求的点.8 分2设直线 BC 的解析式为 ，根据题意，可得 解得bkxy.50,bk.5,1k所以直线 BC 的解析式为 .9 分5因此直线 BC 与对称轴 的交点坐标是方程组 的解，解得2,2xy.3,2yx所求的点 P 的坐标为（2，-3）.10 分压轴题中求最值此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。典型例题：1 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC， B 90， BC 6，AD3， DCB 30.点 E、 F 同时从 B 点出发，沿射线 BC 向右匀速移动.已知F 点移
10、动速度是 E 点移动速度的 2 倍，以 EF 为一边在 CB 的上方作等边 EFG设 E 点移动距离为 x（x0）. EFG 的边长是_（用含有 x 的代数式表示） ，当 x2 时，点 G 的位置在_；若 EFG 与 梯形 ABCD 重叠部分面积是 y，求当 0 x2 时 ， y 与 x 之间的函数关系式；当 2 x6 时， y 与 x 之间的函数关系式；探求中得到的函数 y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.B E F CA DG解： x，D 点 当 0 x2 时， EFG 在梯形 ABCD 内部，所以 y x2；43分两种情况：.当 2 x 3 时，如图 1，点 E、点 F 在
11、线段 BC 上， EFG 与 梯形 ABCD 重叠部分为四边形 EFNM，FNCFCN30,FNFC62x.GN3x6.由于在 RtNMG 中，G60，所以，此时 y x2 （ 3x6） 2 .482398372x.当 3x6 时，如图 2，点 E 在线段 BC 上，点 F 在射线 CH 上， EFG 与梯形 ABCD 重叠部分为ECP，EC6x, y （ 6 x） 2 .8239832x当 0 x2 时， y x2在 x0 时，y 随 x 增大而增大，4x2 时，y 最大 ；当 2 x 3 时， y 在 x 时，y 最大 ；2398372718739当 3x6 时， y 在 x6 时，y 随
12、 x 增大而减小，xx3 时，y 最大 .89综上所述：当 x 时，y 最大 71739如图，直线 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点；直线 与 AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点643 xy45D.点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动.过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB、OD 于 P、Q 两点，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN.设正方形 PQMN 与ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为 S（平方单位） ，点 E 的运动时间为 t（秒）.（1）求点 C 的坐标.（2）当 00 时，直接写出点（ 4， ）在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围.29【参考公式：二次函数 y=ax2+bx+c 图象的顶点坐标为（ ）.】abc4,22解：（1）由题意，得 解得.45,63xy.415,3yxB E F CA DGNM图 1B E C FA DGPH图 2C（3, ）. 415（2）根据题意，得 AE=t，OE=8-t. 点 Q 的纵坐标为 (8-t)，点 P 的纵坐标为 t， PQ= (8-t)- t=10-2t.4543543当 MN 在 AD 上时，10-2t=t，t= . 310当 0 ，S 的最大值为 . 2525（4）46.
