1、1二次函数考查重点与常见题型（复习）1 考查二次函数的定义、性质，如：已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点， 则 的值是 x 2)2(mxy m2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像。如图，如果函数 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 的图像大致是（ ）bky 12bxkyy y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3 考查用待定系数法求二次函数的解析式。如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 ，求35x这条抛物线的解析式。4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值。已知抛物线 （ a0）与 x 轴的两个
2、交点的横坐标是 1、3，与 y 轴交点的纵坐标是2yaxbc 32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】例 1 （1）二次函数 的图像如图 1，则点 在（ ）2yaxbc),(acbMA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个(1) (2)例
3、2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且 1O；4a+cO，其中正确结论的个数为( )A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)例 4、 （2006 年烟台市）如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积
4、为 ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y= x2+x- 152（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于 ， 两点 ，交 y)0,(1A),(2xB)(21x轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOA
5、CO?若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由例 7、 “已知函数 的图象经过点 A（c，2） ，cbxy21 求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩
6、形PNDM 有最大面积例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处
7、时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )A15 m B1625 m C166 m D167 m分类试题二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是 .y=x 24x+1； y=2x 2； y=2x 2+4x； y=3x； y=2x1； y=mx 2+nx+p； y =错误！未定义书签。 ； y=5x。F (4)2、若函数 y=(m2+2m7)x 2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围为 。3二次函数的对称轴、顶点、最值2抛物 y=x2+bx+c
8、 线的顶点坐标为（1，3） ，则 b ，c .4若抛物线 yax 26x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A. B. C. D.13015145若直线 yaxb 不经过二、四象限，则抛物线 yax 2bxc( )A.开口向上，对称轴是 y 轴 B.开口向下，对称轴是 y 轴C.开口向下，对称轴平行于 y 轴 D.开口向上，对称轴平行于 y 轴6已知抛物线 yx 2(m1)x 的顶点的横坐标是 2，则 m 的值是_ .148若二次函数 y=3x2+mx3 的对称轴是直线 x1，则 m 。9当 n_，m_时，函数 y(mn)x n(mn)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此
9、抛物线的开口_.。函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质1把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是 y=x23x+5，试求b、c 的值。函数 y=a(xh) 2的图象与性质1已知函数 y=2x2,y=2(x4) 2，和 y=2(x+1)2。（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线 y=2x2得到抛物线 y=2(x4) 2和 y=2(x+1)2？2二次函数 y=a(xh) 2的图象如图：已知 a= ，OAOC，试求该抛物线的解析式。12二次函数的增减性1.二次函数 y=3x26x
10、+5 ，当 x1 时，y 随 x 的增大而 ；当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大；当 x0,b0,c0 B.a0,b0,c=0 C.a0,b0,b 0 Bb -2a Ca-b+c 0 Dc0； a+b+c 0 a-b+c 0 b 2-4acbc，且 abc0，则它的图象可能是图所示的( )46二次函数 yax 2bxc 的图象如图 5 所示，那么 abc，b 24ac， 2ab，abc 四个代数式中，值为正数的有( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个7.在同一坐标系中，函数 y= ax2+c 与 y= (ac)图象可能是图所示的( )cxA B C D二次函数与 x 轴、y
11、 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）1. 已知抛物线 y5x 2(m1)xm 与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则 m 的值为( )4925A.2 B.12 C.24 D.482. 若二次函数 y(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方，则 m 的取值范围是 3. 已知抛物线 yx 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积。函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式 y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1已知
12、抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）两点，交 y 轴于 C 点且 BC5，求该二次函数的解析式。二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式 y=a(xh)2+k 求解。2已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6） ，且经过点（2，8） ，求该二次函数的解析式。三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式 y=a(xx 1)(xx 2)。3y= x 2+2(k1)x+2k k 2，它的图象经过原点，求解析式 与 x 轴交点 O、A 及顶点 C 组成的OAC 面积。二次函数应用1.某商店购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为
13、了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件。假定每月销售件数 y(件）是价格 X 的一次函数.(1)试求 y 与 x 的之间的关系式.(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入总成本）2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是放养一天需各种费用支出 400元，且平均每天还有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克 20 元。（1）设 X 天后每千克活蟹的市场价为 P 元，写出 P 关于 X 的函数关系式。（2）如果放养 X 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 千克蟹的销售额为 Q 元，写出 Q 关于 X 的函数关系式。（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额收购成本费用） ，最大利润是多少？1 xAyO1 xByO1xCyO1xDyO
