1、1分数乘法一、分数乘法（一）、分数乘法的计算法则：1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。（二） 、规律：（乘法中比较大小时）一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数。（三） 、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。（四） 、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适
2、用。乘法交换律： a b = b a乘法结合律： ( a b )c = a ( b c )乘法分配律： （ a + b ）c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）c二、分数乘法的解决问题（已知单位“1”的量（用乘法） ，求单位“1”的几分之几是多少）1、找单位“1”： 在分率句中 分率的前面； 或 “占” 、 “是” 、 “比”的后面2、求一个数的几倍： 一个数几倍； 求一个数的几分之几是多少： 一个数。几几3、写数量关系式技巧： （1） “的” 相当于 “” “占” 、 “是” 、 “比”相当于“ = ”2（2）分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分率对应量（
3、3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量三、倒数1、倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数） 。2、求倒数的方法：（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是 1的分数，再交换分子分母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。（4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。3、1 的倒数是 1； 0 没有倒数。 因为 11=1；0 乘任何数都得 0， （分母不能为10）4、 对于任意数 ，它的倒数为 ；非零整数
4、的倒数为 ；分数 的倒数是 ； ()a1aaba5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。分数除法一、 分数除法1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。2、分数除法的计算法则： 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。3、规律（分数除法比较大小时）：（1） 、当除数大于 1，商小于被除数；（2） 、当除数小于 1（不等于 0） ，商大于被除数；（3） 、当除数等于 1，商等于被除数。4、 “ ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。3二、分
5、数除法解决问题（未知单位“1”的量（用除法）： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 ）1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。（2）算术（用除法）： 分率对应量对应分率 = 单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数另一个数4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 求多几分之几：大数小数 1 求少几分之几： 1 - 小数大数 或 求多几分之
6、几（大数-小数）小数 求少几分之几：（大数-小数）大数三、比和比的应用（一）、比的意义1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如 15 ：10 = 1510= （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）23 前项 比号 后项 比值43、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程速度=时间。4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5、根据分数与
7、除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。6、 比和除法、分数的联系： 比 前 项 比号“：” 后 项 比值除 法 被除数 除号“” 除 数 商分 数 分 子 分数线“”分 母 分数值7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。 体育比赛中出现两队的分是 2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。（二） 、比的基本性质1、根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外） ，商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外） ，分数
8、值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4.化简比： 用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。（1） 两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。（2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。依据比的基本性质：5如： 1510 = 1510 = = 32235按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
9、如： 已知两个量之比为 ，则设这两个量分别为 。:abaxb和6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是 4：5，时间比则为5：4）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。（如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是 2：3）圆一、 认识圆1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径
10、。一般用字母 d 表示。直径是一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。7在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的 。21用字母表示为：d2r 或 r d8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 （经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有 1 一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有 2
11、 条对称轴的图形是： 长方形6只有 3 条对称轴的图形是： 等边三角形只有 4 条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（）。3圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母 （pai） 表示。（1）、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率 是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14
12、。（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是 倍，而不是 3.14 倍。（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。4、圆的周长公式： C= d d = C 或 C=2 r r = C 25、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：（1） 周长的一半：等于圆的周长2 计算方法：2 r 2 即 r （2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：r2r 三、圆的面积1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母 S 表示。2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图
13、形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3、圆面积公式的推导：7（1） 、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。（2） 、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3） 、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 因为： 长方形面积 = 长 宽所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径S 圆 = r r圆的面积公式： S 圆 = r 2 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r。（Rr环的宽度）S 环 = R 或环形的面积公式： S 环 =
14、 （R）。5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，而面积扩大 9 倍。6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是 23，那么这两个圆的直径比和周长比都是 23，而面积比是 497、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：48、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。9、确定起跑线：（1）、每条跑道的
15、长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。8（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2跑道的宽度（4）、当一个圆的半径增加厘米时，它的周长就增加厘米；当一个圆的直径增加厘米时，它的周长就增加 厘米。11、常用各 值结果： = 3.142 = 6.28 3 = 9.42 5 = 15.76 = 18.84 7 = 21.98 9 = 28.2610 = 31.4 16 = 50.24 36 = 113.0464 = 200.9696 = 301.444 = 12.56 8 = 25.12 25 =
16、 78.512、常用平方数结果= 121 = 144 = 169 = 196 = 225 12123214252= 256 = 289 = 324 = 3616789百分数一、百分数的意义和写法1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。3、百分数和分数的主要联系与区别：（1） 联系：都可以表示两个量的倍比关系。（2） 区别：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。、百分数的分子可以是整数
17、，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除 0 以外的自然数。94、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“”来表示。二、百分数和分数、小数的互化（一）百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。 （二）百分数的和分数的互化1、百分数化成分数：先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否 100 的分数，能约分要约成最简分数。2、分数化成百分数： 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是 100 的分数，再写成百分数形式。先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），
18、再把小数化成百分数。（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化= 0.5 = 50% = 0.2 = 20% = 0.625 = 62.5% 21 5185= 0.25 = 25% = 0.4 = 40% = 0.125 = 12.5% 4 21= 0.75 = 75% = 0.6 = 60% = 1.375 = 37.5% 3 5383= 0.0625 = 6.25% = 0.8 = 80% = 0.875 = 87.5%1647= 0.04 = 4 = 0.08 = 8 = 0.12 = 12 = 0.16 = 16 2525253254三、用百分数解决问题（一）一般应用题1、常见的百分率的
19、计算方法：10合格率 = 发芽率 = %10产 品 总 数合 格 产 品 数 %10种 子 总 数发 芽 种 子 数出勤率 = 达标率 = 总 人 数出 勤 人 数 学 生 总 人 数达 标 学 生 人 数成活率 = 出粉率 = 10总 数 量成 活 的 数 量 10出 粉 物 的 重 量粉 的 重 量烘干率 = 含水率 = %烘 干 前 的 重 量烘 干 后 的 重 量 %烘 干 前 的 重 量烘 干 后 的 重 量烘 干 前 的 重 量一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。（一般出粉率在 70、8
20、0%，出油率在30、40%。）2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。（2）算术（用除法）： 分率对应量对应分率 = 单位“1”的量 4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的相差量单位“1”的量 100% 或： 求多百分之几：(大数-小数)小数 求少百分之几：（大数-小数）大数 （二）、折扣1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折” 。
