1、1角平分线的性质问题 如图，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，BC=DC，将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗？操作作已知角的平分线的方法：已知：AOB求作：AOB 的平分线作法：（1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 M、N（2）分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧两弧在AOB 内部交于点 C12（3）作射线 OC，射线 OC 即为所求探索按以下步骤折纸将AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边） ，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结
2、论？证明已知：OC 是AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PDOA，PEOB，垂足分别是 D、E求证：PD=PE证明： 2几何语言描述在 的平分线上PAOB于 ， 于DE 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等【例 1】如图，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？【例 2】如图，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P求证：点 P到三边 AB、BC、CA 的距离相等【例 3】如图， 是 的外角 的平分线上一点， 于 ， 于DABCEDFACEBC，且交 的延长线于 。E求证： 。CF3【例 4】已知：AD 是ABC 的角平分线，
3、DEAB ，DFAC，垂足分别是 E、F，BD=CD ，求证：B=C【例 5】如图，在ABC 中，已知 AC=BC，C=90，AD 是 ABC 的角平分线，DEAB ，垂足为E求证：AB=AC+CD【例 6】如图，OC 是AOB 的角平分线，P 是 OC 上一点，PDOA 交于点 D，PEOB 交于点E，F 是 OC 上除点 P、O 外一点，连接 DF、EF，则 DF 与 EF 的关系如何？证明你的结论4【课后作业】1、如图所示，BC 90，根据角平分线的性质填空：（1）若12，则_ ；（2）若34，则_ 2、如图所示，下列推理中正确的个数是（ ）因为 OC 平分AOB，点 P、D、E 分别在
4、 OC、OA、OB 上，所以 PD=PE；因为 P 在 OC 上，PDOA ，PEOB ，所以 PD=PE；因为 P 在 OC 上，PDOA ，PEOB ，且 OC 平分AOB，所以 PD=PEA0 个 B1 个 C2 个 D3 个3、如图，ABC 中，ACB=90 ，AD 平分BAC 交 BC 于 D，DE 垂直 AB 于 E，若 DE= 1.5cm，则 BC=（ ）A3cm B7.5cm C6cm D4.5cm4、如图，OP 平分AOB，PC OA 于 C，PDOB 于 D下列结论中错误的是 （ ）APCPD BOC ODCCPO DPO D OCPC5（第 2 题） （第 3 题） （第
5、 4 题）5、如图，C90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC5 cm，BD3 cm，则点 D 到 AB 的距离为（ ）A5 cm B3 cm C2 cm D不能确定6、如图，ABC 中，B 、C 的平分线交于点 O，ODAB 于 D，OEAC 于 E，则 OD 与 OE 的大小关系是（ ）AODOE BODOE COD OE D不能确定7、如图，ABCD，O 为BAC，ACD 平分线的交点，OEAC 交 AC 于 E，且 OE=2，则 AB 与 CD之间的距离等于_8、 如图，AB AD，ABCADC 90，则AC 平分BAD；CA 平分BCD；AC 平分BD；BD 平分ADC 中
6、，正确的结论是（ ）A B C D 只有 （第 5 题） （第 6 题） （第 7 题） （第 8 题）9、如图所示，ABC 中，C90，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，点 F 在 AC 上，BD DF求证：（1）DCDE；（2）CFEB610、如图，四边形 ABCD 中，AB=AD,CD=CD ，点 P 是对角线 AC 上一点，PEBC 于 E,PFCD 于 F，求证： PE=PF11、如图，点 D、B 分别在A 的两边上，C 是A 内一点，且AB=AD，BC=DC ，CEAD，CFAB，垂足分别为 E、F求证：CE=CF 12、已知， （如图）在ABC 中，BD 为ABC 的平
7、分线，AB=BC，点P 在 BF 上，PMAD 于 M，PN CD 于 N，求证：PM=PN13、如图，BD 平分ABC，DE 垂直于 AB 于 E 点，三角形 ABC 的面积等于90，AB=18 ，BC=12，求 DE 的长。714、如图 1，在 ABC 中，A， B 的角平分线交于点 O，过 O 作 OPBC 于 P，OQ AC 于 Q，ORAB与 R，AB=7 ，BC=8,AC=9（1.）求 BP、CQ、AR 的长。 （2）.如图 2 若 CDBO 于 D 求证OCD= A（3）.如图 3 若 BO 的延长线叫 AC 于 E，CO 的延长线叫 AB 于 F，若2A=60，求证：OE=OF
8、.（图 1） （图 2） （图 3）第十讲 角平分线的判定思考 角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的条件是_；结论是_如果将条件和结论互换，则可以得到命题_，那么，这个命题是真命题吗？可以证明吗？【例 1】证明如下：已知：PDOA，PEOB，垂足分别是 D、E，PD=PE求证：点 P 在AOB 的平分线上8【例 2】如图，已知 BD = CD，BFAC，CEAB求证： D 在BAC 的平分线上【例 3】如图，CAB 的角平分线与 ACB 的外角平分线交于点 P，求证：BP 平分CBN【例 4】 如图所示， BD 平分ABC，AB=BC，点 P 在 BD 上，PMAD，PNCD，M、N 为垂
9、足求证：PM=PN【例 5】 如图，在 ABC 中，D 为 BC 的中点，DE BC 交BAC 的平分线 AE 于 E，EFAB 于F，EGAC 交 AC 延长线于 G，求证：BF=CG。9【思考】若 OC 为AOB 的角平分线，PDOA 于 D，PEOB 于 E，除了可以得到 DP=PE 之外，还可以得到哪些角或线段之间的关系？【例 5】如图，在BAC 的平分线上任取一点 D，在 AB,AC 上各到一点 E 和 F，若 DE=DF，且 AEAF,求证AED+AFD=180【例 6】如图，D 是EAF 平分线上的一点，若 ACD+ABD=180，求证 CD=DB【课后作业】1、 如图，已知 P
10、AON 于 A，PBOM 于 B，且 PAPB，MON50 ，OPC30 ，则10PCA_2、如图，在ABC 中，B90，点 O 到 AB、BC 两边的距离相等，则AOC 的度数 为_（第 1 题） （第 2 题）3、如图所示，ABCD，点 P 是线段 MN 的中点，且 MNCD，点 P 到 BC 的距离等于 ，则点 P应是_的平分线与 _平分线的交点4、如图，已知点 P 在ABC 的外部， DAE 的内部，若点 P 到 BC、BD、CE 的距离都相等，则下列关于 P 的位置说法最准确的是（ ）5、 （2010，南宁）如图所示，在 RtABC 中，A90，BD 平分ABC ，交 AC 于点 D，且AB4，BD5，AD 3，则点 D 到 BC 的距离是_（第 3 题） （第 4 题） （第 5 题） 6、如图，在ABC 中，C90，AD 是三角形的角平分线，DE AB 于 E，下列结论错误的是（ ） A BDDE BC B DE 平分ADB C AD 平分EDC D ACAE7、如图所示，在ABC 中，AB AC，AD 是ABC 的角平分线， DEAB ，DFAC，垂足分别是E、F ，则下列结论中不正确的是（ ）
