1、第三章 位置与坐标一、知识要点一、平面直角坐标系（一）有序数对：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对。1、记作（a ，b ） ；2、注意：a、b 的先后顺序对位置的影响。（二）平面直角坐标系1、历史：法国数学家笛卡儿 最早引入坐标系，用代数方法 研究几何图形 ；2、构成坐标系的各种名称；3、各种特殊点的坐标特点。（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置；2、用坐标表示平移。二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于 x 轴( 或横轴 )的直线上的点的纵坐标相同；平行于 y 轴( 或纵轴) 的直线上的点的横坐标相同。三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵
2、坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于 x 轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于 y 轴对称的点的纵坐标相同 ,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数五、特殊位置点的特殊坐标：六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下： 建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； 根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； 在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。七、用坐标表示平移：见下图坐标轴上点 P（x，y）连线平行于坐标轴的点点 P（x，y）在各
3、象限的坐标特点象限角平分线上的点X 轴 Y 轴 原点平行 X 轴 平行 Y 轴 第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第二、四象限(x,0) (0,y) (0,0) 纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同x0y0x0y0x0y0x0y0(m,m) (m,-m)P（x，y）P（x，ya）P（xa，y）P（xa，y）P（x，ya）向上平移 a 个单位长度向下平移 a 个单位长度向右平移 a 个单位长度向左平移 a 个单位长度二、例题及练习知识一、坐标系的理解例 1、平面内点的坐标是（ ）A 一个点 B 一个图形 C 一个数 D 一个有序数对学生自测1在平面内要确定一个点的位置，一般需要_个
4、数据；在空间内要确定一个点的位置，一般需要_个数据2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（ ）A 原点 O 不在任何象限内 B 原点 O 的坐标是 0C 原点 O 既在 X 轴上也在 Y 轴上 D 原点 O 在坐标平面内知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标点在 x 轴上，坐标为（x,0 ）在 x 轴的负半轴上时，x0点在 y 轴上，坐标为（0,y）在 y 轴的负半轴上时，y0第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在 y=x 直线上)；坐标点（x，y）xy0第二、 四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在 y= -x 直线上)；坐标点（x，y）xy0例 1 点 P 在 轴上对应
5、的实数是 ，则点 P 的坐标是 ，若点 Q 在 轴x3 y上 对应的实数是 ，则点 Q 的坐标是 ， 31例 2 点 P（a-1，2a-9）在 x 轴负半轴上，则 P 点坐标是 。学生自测1、点 P(m+2,m-1)在 y 轴上,则点 P 的坐标是 .2、已知点 A（m，-2 ） ，点 B（3，m-1） ，且直线 ABx 轴，则 m 的值为 。3、 已知:A(1,2),B(x,y),ABx 轴,且 B 到 y 轴距离为 2,则点 B 的坐标是 .4平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标一定（ ）A大于 0 B小于 0 C相等 D互为相反数(3)若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上
6、,则 a= .(3)已知点 P（x 2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则 x= .5过点 A（2，-3）且垂直于 y 轴的直线交 y 轴于点 B，则点 B 坐标为（ ） A （0，2） B （2，0）C （0，-3）D （-3，0）6如果直线 AB 平行于 y 轴，则点 A，B 的坐标之间的关系是（ ） A横坐标相等 B纵坐标相等C横坐标的绝对值相等 D纵坐标的绝对值相等知识点三：点符号特征。点在第一象限时，横、纵坐标都为 ，点在第二象限时，横坐标为 ，纵坐标为 ，点有第三象限时，横、纵坐标都为 ，点在第四象限时，横坐标为 ，纵坐标为 ；y 轴上的点的横坐标为 ，x 轴上的点的纵坐标为 。
7、例 1 .如果 ab0,且 ab0,那么点(a，b) 在( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限, D、第四象限.例 2、如果 xy0，那么点 P（x，y）在（ ）(A) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限 学生自测1.点的坐标是（，） ，则点在第 象限2、点 P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则 P 点的坐标是 。3 点 A 在 第 二 象 限 ， 它 到 轴 、 轴 的 距 离 分 别 是 、 ， 则 坐 标 是 ；xy324. 若点（x， y）的坐标满足 xy，则点在第 象限；若点（x， y）的坐标满足 xy，且在 x
8、 轴上方，则点在第 象限若点 P（a ，b）在第三象限，则点 P （a，b1）在第 象限；5若点 P( , )在第二象限，则下列关系正确的是 （ m1）A. B. C. D.000m16点( ， )不可能在 （ x）A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限7已知点 P( , )在第三象限，则 的取值范围是 （ 12x3x）A . B.3 5 C. 或 D. 5 或 33x53x8 （本小题 12 分）设点 P 的坐标（ x， y） ，根据下列条件判定点 P 在坐标平面内的位置：（1） 0y；（2） 0xy；（3） 0(2)点 A(1- ,)在第 象限.(3)横坐标为负,纵坐标
9、为零的点在( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)X 轴的负半轴 (D)Y 轴的负半轴（4)如果 a-b0,且 ab0,那么点(a，b)在( )(A)第一象限, (B)第二象限 (C)第三象限, (D)第四象限.(5)已知点 A（m，n）在第四象限，那么点 B（n，m）在第 象限(6)若点 P(3a-9,1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数)，那么 a= 知识四：求一些特殊图形，在平面直角坐标系中的点的坐标。过点作 x 轴的 线，垂足所代表的 是这点的横坐标；过点作 y 轴的垂线，垂足所代表的实数，是这点的 。点的横坐标写在小括号里第一个位置，纵坐标写小括号里的第 个位置，中间用
10、 隔开。例 1、X 轴上的点 P 到 Y 轴的距离为 2.5,则点的坐标为（ ）（2.5,0) B (-2.5,0) C(0,2.5) D(2.5,0)或(-2.5,0)学生自测1、点（，）到 x 轴的距离为 ；点（- ，）到 y 轴的距离为 ；点C 到 x 轴的距离为 1，到 y 轴的距离为 3，且在第三象限，则 C 点坐标是 。2.若点的坐标是（，） ，则它到 x 轴的距离是 ，到 y 轴的距离是 3.点到 x 轴、 y 轴的距离分别是、，则点的坐标可能为 。4已知点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则 M 点的坐标为（ ） A （3，2） B （-3，-2） C （3
11、，-2） D （2，3） ， （2，-3） ， （-2，3） ， （-2，-3）5若点 P（ ， ）到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ，则这样的点 P 有 （ abx2y3）.个 .个 .个 .个6.已知直角三角形 ABC 的顶点 A(2 ，0)，B(2 ，3).A 是直角顶点,斜边长为 5，求顶点 C的坐标 . 7. 直角坐标系中，正三角形的一个顶点的坐标是（0， 3） ，另两个顶点 B、C 都在 x 轴上，求 B，C 的坐标.9在平面直角坐标系中，A，B，C 三点的坐标分别为（0，0） ， （0，-5） ， （-2，-2） ，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_象限10
12、.直角坐标系中，一长方形的宽与长分别是 6，8，对角线的交点在原点，两组对边分别与坐标轴平行，求它各顶点的坐标.11在平面直角坐标系中，A，B，C 三点的坐标分别为（0，0） ， （0，-5） ， （-2，-2） ，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_象限14已知等边ABC 的两个顶点坐标为 A（-4，0） ，B（2，0） ，求：（1）点 C 的坐标；（2）ABC 的面积知识点五：对称点的坐标特征。关于 x 对称的点，横坐标不 ，纵坐标互为 ；关于 y 轴对称的点， 坐标不变， 坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标 ，纵坐标 。例 1. 已知 A(3，5)，则该点关于
13、x 轴对称的点的坐标为_；关于 y 轴对的点的坐标为_；关于原点对称的点的坐标为_ ；关于直线 x=2 对称的点的坐标为_。例 2. 将三角形 ABC 的各顶点的横坐标都乘以 1，则所得三角形与三角形 ABC 的关系（ ）A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于原点对称 D将三角形 ABC 向左平移了一个单位学生自测1 在第一象限到 x 轴距离为 4，到 y 轴距离为 7 的点的坐标是_ ；在第四象限到 x 轴距离为 5，到 y 轴距离为 2 的点的坐标是_；3.点 A(-1,-3)关于 x 轴对称点的坐标是 .关于原点对称的点坐标是 。4.若点 A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,
14、则 m= ,n= .5已知：点 P 的坐标是( , )，且点 P 关于 轴对称的点的坐标是( , )，则m1x3n2；_,nm6点 P( ， )关于 轴的对称点的坐标是 ，关于 轴的对称点的坐标是 12x y，关于原点的对称点的坐标是 ；7若 关于原点对称 ，则 ；），（） 与，（ 13NM_,nm9直角坐标系中，将某一图形的各顶点的横坐标都乘以 1，纵坐标保持不变，得到的图形与原图形关于_轴对称；将某一图形的各顶点的纵坐标都乘以 1，横坐标保持不变，得到的图形与原图形关于_轴对称10点 A( ， )关于 轴对称的点的坐标是 （ 34x）A.( ， ) B. ( , ) C . ( , ) D
15、. ( , )34344311点 P( ， )关于原点的对称点的坐标是 （ 12）A.( ， ) B ( ， ) C ( ， ) D. ( ， )12122112在直角坐标系中，点 P( , )关于 轴对称的点 P1的坐标是 （ 3y）A ( ， ) B. ( ， ) C. ( , ) D. ( ， )2333若 a+（b+2 ） 2=0，则点 M（a，b）关于 y 轴的对称点的坐标为_13若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则此点一定在（ ）A原点 B x 轴上 C两坐标轴第一、三象限夹角的平分线上 D两坐标轴第二、四象限夹角的平分线上知识点六：利用直角坐标系描述实际点的位置。需要根据具体情
16、况建立适当的平面直角坐标系，找出对应点的坐标。学生自测：1.课间操时，小华、小军、小刚的位置如下图左，小华对小刚说，如果我的位置用(0，0)表示，小军的位置用(2，1) 表示，那么你的位置可以表示成( ) A(5 ，4) B(4 ，5) C(3，4) D(4，3)知识点七：平移、旋转的坐标特点。图形向左平移 m 个单位，纵坐标不变，横坐标 m 个单位；图形向右平移 m 个单位，纵坐标不变，横坐标 m 个单位；图形向上平移个单位，横坐标 ，纵坐标增加 n 个单位；向下平移 n 个单位， 不变， 减小 n 个单位。旋转的情形，同学们自己归纳一下。例 1. 三角形 ABC 三个顶点 A、B、C 的坐
17、标分别为 A(2，1) 、B(1，3) 、C(4，3.5)把三角形 A1B1C1 向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，恰好得到三角形 ABC，试写出三角形 A1B1C1 三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；在平面直角坐标系中，将点 M（1，0）向右平移 3 个单位，得到点 1M，则点 1的坐标为_学生自测1 （本小题 10 分）矩形 ABCD 在坐标系中的位置如图 3 所示，若矩形的边长 AB 为 1， AD为 2，则点 A， B， C， D 的坐标依次为_；把矩形向右平移 3 个单位，得矩形， ， ， ， 的坐标为_3小华若将平面直角坐标系中一只猫的图案向右平移了 3 个单
18、位长度，而猫的形状，大小都不变，则她将图案上的各点坐标_4平面直角坐标系中一条线段的两端点坐标分别为（2，1） ，（4，1） ，若将此线段向右平移 1 个单位长度， 则变化后的线段的两个端点的坐标分别为_；若将此线段的两个端点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2倍，则所得的线段与原线段相比_；若将此线段的两个端点的横坐标不变，纵坐标分别加上 1，则所得的线段与原线段相比_；若横坐标不变，纵坐标分别减去 3，则所得的线段与原线段相比_。5.线段 CD 是由线段 AB 平移得到的，点 A（-1，3）的对应点 C（2，5） ，则 B（-3，-2）的对应点 D 的坐标为 。6在平面直角坐标系中，点 P（2，1）向左平移 3 个单位得到的的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限图 3
