1、高一数学（上） 知识改变命运创造未来1函数表达式【教学目标】1. 让学生充分掌握求函数解析式的方法2. 学生能够独立解题【重点难点】求函数表达式的方法【教学内容】求函数解析式的常用方法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 是一次函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf解：设 ，则ba0baxbxfxf 2)()(342ba31a 或 2)(1)( xfxf 或 1设 是一元二次函数, ,且 ,)(fg 21)(1(xgx求 与 .)(xfg变式训练设二次函数 满足 ,且图象在 y 轴上截距为 1,在)(xf )2()(xffx 轴上截得的线段长为 ,求 的表
2、达式.2高一数学（上） 知识改变命运创造未来2二、 配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达()fgx()fx()fgx式容易配成 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复()gx ()f合函数的定义域，而是 的值域。 ()例 2 已知 ，求 的解析式21(xxf)0()fx解： ， )12(2xf(三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与)fgx()fx配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 ，求xf2)1()1(f解：令 ，则 ， tt2txxf)(,1)(212ttt)(xfx)22)0(1已知 f(3x+1)=
3、4x+3, 求 f(x)的解析式.变式训练若 ,求 .xf1)()(f高一数学（上） 知识改变命运创造未来3四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2xgyxy与 )3,2()(xg解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点),(M)(,yMx3,2则 ，解得： ，32yyx64点 在 上 ),(x)(gy2把 代入得：x64)()(2xy整理得 76)(2xxg五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 求,)1(2)(x
4、fxff 满 足 )(f解 x显然 将 换成 ，得：,0x fxf1)(21解 联立的方程组，得：f3)(1设函数 是定义(,0)(0,+ )在上的函数,且满足关系式)xf,求 的解析式.f412()(xf高一数学（上） 知识改变命运创造未来4变式训练若 ,求 .xfx1)() )(f例 6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解)(xf)(xg,1)(xgxf )(xgf和析式解 为偶函数， 为奇函数，)(f)(,xgxf又 ，1)(gf用 替换 得： x1)(xxf即 )(f解 联立的方程组，得， 1)(2xf xg2)(六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对
5、具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成)0(f )12()(yxfyxf立，求 x解 对于任意实数 x、y，等式 恒成立，)12()(yxfyxf不妨令 ，则有 0 1(0) 2y再令 得函数解析式为：xy)(2xf七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8 设 是定义在 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有)(xfN1)(f ba,，求abbaf )( )(xf解 ，f,)()，不妨令 ，得：1,x ，xfxf)1()(高一数学（
6、上） 知识改变命运创造未来5又 1)(1(,)1( xfxff故分别令式中的 得：,2n(2)3,()1),ffnn 将上述各式相加得： ， nf32)1(32)(f Nxx,1【过手练习】1. 已知函数 满足 ，则 = 。()fx2()34fx()fx2. 已知 是二次函数，且 ，求 的解析式。()fx 2(1)()4fxfx()fx【拓展训练】1. 求下列函数的定义域： （2 ） 2153xy 021(2)4yxx2. 设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ；fx()01， fx()2函数 的定义域为 。23. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 ；函数(1)fx23， (21)
7、fx高一数学（上） 知识改变命运创造未来6的定义域为 。1(2)fx4. 知函数 的定义域为 ，且函数 的定义域存在，f 1,()()Fxfmfx求实数 的取值范围。m5. 求下列函数的值域： 23yx()xR23yx1,231xy 1xy(5)26xy25941xy 3xx2x 245yx12yx6. 已知函数 的值域为1，3 ，求 的值。2()1xabf,ab7. 已知函数 ，求函数 ， 的解析式。2(1)4fxx()fx21)f8. 设 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则当()fx0,)x3()1)fx时 = (,0x高一数学（上） 知识改变命运创造未来7； 在 R 上的解析式为 。(
8、)fx9. 设 与 的定义域是 ， 是偶函数， 是奇函数，()g|,1xR且 ()fx()gx且 ，求 与 的解析表达式1fx()fg10. 求下列函数的单调区间： 23yx23yx261yx11. 函数 在 上是单调递减函数，则 的单调递增区间是 ()fx0,)2(1)fx。12. 函数 的递减区间是 ；函数 的递减区间是 236yx 36yx。【课后作业】1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ， ； ， 3)5(1xy 52xy 11xy； 2 ， ； ， ； ， xf)(2)(gxf)(3()gx21)5()xf。 52A、 B、 、 C、 D、 、2. 若函数 = 的定
9、义域为 ,则实数 的取值范围是 （ ）()fx342mxRmA、( ,+) B、(0, C、( ,+) D、0, 4343)3. 若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）2)1fx(A) (B) (C) (D) 0400m高一数学（上） 知识改变命运创造未来84. 对于 ，不等式 恒成立的 的取值范围是（ ）1a2()10xax(A) (B) 或 (C) 或 (D) 0x031x5. 函数 的定义域是（ ）2()44fA、 B、 C、 D、,(,)(,2)(,)2,6. 函数 是（ ） 1()0fxA、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B、奇函数，且在 (0，1)上是减函数C、偶函数，
10、且在(0，1) 上是增函数 D、偶函数，且在(0，1)上是减函数7. 函数 ，若 ，则 = 2(1)()xf()3fx8.已知函数 的定义域是 ，则 的定义fx()(01， gfafxa()()120域为 。9. 已知函数 的最大值为 4，最小值为 1 ，则 = ， = 2mnymn10.把函数 的图象沿 轴向左平移一个单位后，得到图象 C，则 C 关于原点对称的1xx图象的解析式为 11.求函数 在区间 0 , 2 上的最值2)(af12.若函数 时的最小值为 ，求函数 当 -3,-2时2(),1fxxt当 ()gt()gt的最值。13.已知 ，讨论关于 的方程 的根的情况。aRx2680x
11、a14.已知 ，若 在区间1，3上的最大值为 ，最小值为13a2()1fxa()Ma，令 。 （1）求函()N()gMN高一数学（上） 知识改变命运创造未来9数 的表达式；（2 ）判断函数 的单调性，并求 的最小值。()ga()ga()ga15.定义在 上的函数 ，当 时， ，且对任意 ，R(),0yfxf且 0x()1fx,abR。 求 ； 求证：对任意 ；求证：()(fabf(),()0Rfx有在 上是增函数； 若 ，求 的取值范围。x 2fxx函 数 练 习 题 答 案一、函数定义域：1、 （1） （2 ） （3 ）|536xx或 或 |0x1|20,2且2、 ； 3、 4、,4950,
12、;21(,)321m二、函数值域：5、 （1） （2） （3 ） （4）|y,5y|3y7,3)（5） （6 ） （ 7） （8）,2y 1|2y且 |4yyR（9） （10） （11）0,41|2高一数学（上） 知识改变命运创造未来106、 2,ab三、函数解析式：1、 ； 2、 3、2()3fx2(1)4fx2()1fx44、 ； 5、 3()1)fx 3()0)1xf 2()1fx2g四、单调区间：6、 （1）增区间： 减区间： （2 ）增区间： 减区间：1,)(,11,3（3）增区间： 减区间：3,0)0,3(,7、 8、 0,1(2,(2五、综合题：C D B B D B14、 15、 16、 17、3(,1a4m3n12yx18、解：对称轴为 （1） ， ， x0a时 min()(0)fxfmax()(2)4ff（2） ， ，时 2min()()1fxfamax()()3ffa（3） ， ，1时 2min()()fxfmax()(0)ff（4） ， ，2a时 min()(2)34fxfamax()()1ff
