1、第一章 数与计算第一单元 同余问题1 知识前提。（1） 整除：如果整数 a 除以自然数 b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是 0),我们就称 a 能被 b 整除或 b 能整除a。（2） 乘方的意义：求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n 个相同因数 a 相乘，即，记做 。其中 a 叫做底，n 叫做指数， 读做 a 的 n 次方。na个 n（3） 幂的运算法则： 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即。mn 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即。na 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即。nnb2 同余如果两个整数的 a、b 除以同一个自然数 m
2、所得的余数相同，那么就说 a、b 对于 m 是同余的，记为 a=h（modm） 。我们把 m 称为模。如果 a、b 对于 m 是同余的，那么 a 与 b 的差能被 m 整除；反之，如果 a 与 b 的差能被 M 整除，那么 a、b 对于 m 是同余的。3 规律、方法应用。（1） 反身性规律：a 和 a 对于 m 同余。（2） 对称性规律：a 和 b 对于 m 同余，那么 b 和 a 对于 m 同余。（3） 传递性规律：如果 a 和 b 对于 m 同余，b 和 c 对于 m 同余，那么 a 和 c 对于 m 同余。（4） 同余的加减法、乘法规律：如果 a 和 b 对于 m 同余，c 和 d 对于
3、 m 同余，那么 ac，和 bd，ac 和bd，ac 和 bd 对于 m 同余。（5） 同余的乘方规律：如果 a 和 b 对于 m 同余，那么 和 也对于 m 同余。nab（6） 同余的连加规律： 和 对于 m 同余， 和 对于 m 同余， 和 对于 m 同余 和 对于 m 同余，123nab那么 和 也对于 m 同余。123na 23n例 1 有一个不等于 1 的整数，它除 300，262，205 得到的余数相同，这个整数是多少？拓展一 如果某数除 492,2241,3195 都余 15,那么这个数是几?拓展二 自然数 16520,14903,14177 除以 m 的余数相同, m 的最大值
4、是多少?拓展三 若 2836,4582,5164,6522 这 4 个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?例 2求 除以 7 的余数。0359拓展一 求 除以 13 的余数。182拓展二 求 除以 11 的余数。41328976拓展三 求 的结果除以 3 的余数。3456拓展四 把 1 至 2002 这 2002 个自然数依次写下来，得到一个 试求 A 除以 9 的余数。124012A例 3 被 7 除的余数是多少？0拓展一 除以 13 的余数是多少？12拓展二 今天是星期日，过 天是星期几？192拓展三 求 的末两位数是多少？357拓展四（1）2005 年全年
5、有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2005 年 1 月 1 日是星期六） （2）2008 年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（2008 年 1 月 1 日是星期二）检测1已知 69,90,125 被 除余数相同，求 81 被 N 除的余数是（ ） 1991 和 1769 除以某一个自然数 n,余数分别为 2 和 1,n 的最小值是( )23 13 17 183 除以 13 的余数是（ ）673812 11 9 74 除以 3 所得的余数是（ ）11 2 0 35 今天是星期二，再过 天是星期（ ）209三 四 五 六6 的个位数字是（ ）1983 2 4 67 的个位数字是
6、（ ）19751023 1 9 68 的个位数字是（ ）5052343 1 9 59 在小于 2002 的自然数中，被 18 及 33 除以余数相同的数有（ ）个。17 198 34 5110一个三位数，它的 29 倍加上 5 能被 2002 整除，这个三们数是（ ） 。345 121 150 26711一个整数乘以 13 后，积的最后三位数是 123，这样的整数最小是（ ） 。157 253 942 47112用 1，9，8，8 这四个数能排出（ ）个被 11 除余 8 的四位数。3 4 5 613 的积被 7 除的余数是（ ） 。721 2 3 5二解答题。14试证明： 能被 10 整除。
7、1121315求乘积 除以 13 所得的余数。4716今天是星期五，再过 天是星期几？364517求 除以 39 所得的余数。1234918求 的个位数字。1919 除以 13 余几？1345220试证明： 是 5 的倍数。190342170 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，问最右边的一个数被 6 除余几？222002 年全年有几个星期日？全年有几个月有 5 个星期日？（2002 年 1 月 1 日是星期二）23某年的 10 月有五个星期六，4 个星期日，这年的 10 月 1 日是星期几？24甲、乙两
8、人轮流报数，必须报不大于 2 的自然数（零除外） ，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是 20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？25 设 A 是一个有 35 位循环节的循环小数 ，把 A 的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：12350.Aa再把 的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数： 如此继续下去，能否124680.a 1 2480.na仍得到原来的循环小数？第二单元 分数的大小比较比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小。如果分数的
9、分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：1 相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。2 相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。3 交叉相乘法。分数 和 ，如果 ，那么 。abcdabcacd4 倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数反而小。5 转化法。可以把分数转化成小数进行比较。6 中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的数或算式作适当的变形。解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法。例
10、 1 比较 、 、 、 这四个分数的大小。94125037拓展一 将下列的分数由小到大的排列起来。， ， ，07拓展二 ， 。试比较 A 和 B 的大小。2198A221987987B拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。， ， ， ，3507拓展四 将下列分数由小到大排成一列不等式。、 、 、1074932例 2 比较 ， ， 三个分数的大小。5687拓展一 比较 和 的大小。613拓展二 比较 和 的大小。194325拓展三 将下列分数由小到大排成一列不等式。， ， ，172938106例 3 ，试比较 A 与 0.003 谁大谁小。465A拓展一 如果 ，试比较 A 与 的大小。57
11、910 10拓展二 用 A 表示下面的积： ，问：A 与 0.01 相比,谁大谁小?394682拓展三 比较 与 0.001 的大小.1282检测1 在中填入“”或“” 。（1） （2） （3） 680794357401245367589（4） （5） （6） 231（7） （8） （9） 6129342846（10） （11） 197302. 比较 和 的大小。53643. 把 、 、 和 按从小到大的顺序排列。24814. 在 ， ， ， ， 五个分数中，最大的分数是谁？19037525. 把下面的分数按从小到大的顺序排列。、 、 、 、 。2348146. 比较 和 的大小。023877
12、. 把 、 、 、 按从小到大的顺序排列。976598. 下面四个算式谁最大。（1） （2）207913049（3） （3）4579. 下面两个算式谁大谁小？；199254519264510. 把下面五个分数从大到小排列。、 、 、 、 。0708311. 在 、 、 、 、 中，哪个分数最大？1259321412. 比较 、 的大小。0613. 和， 谁大谁小？2041346914. 按下面各式值的大小，把 A、 B、 C、 D、 E 从小到大的顺序排列。10A10B1C0D10E15. 满足下面式子的 最小是多少？n1234()n 94816. 试比较 和 的大小。117. 如果 ，那么中
13、应填哪个自然数？2970A18. 已知： ， ，131234B12345C将 A、 B、 C 三个数从小到大排列。19. 在下式中的内填入 7 个互不相等且小于 20 的自然数，使等式成立。11A20. 下面给出 6 个分数算式：， ， ， ， ， ，其中哪一个计算结果最小？并求出它的值。37248389259031025第三单元 速算与巧算六年级所学习的简便计算主要是有关分数的巧算，除与整数、小数简便计算相同外，还有其独特的巧算方法。1 运算定律规律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，还有加、减法的运算性质、商不变的规律等。2 ()abcdab3 （1） 1()nn（2）
14、()dd（3） 11()()ndnd（4） (1)21()(2)n（5）将 分拆成两个分数单位和的方法：先找出 A 的两个约数 和 ，然后分子、分母分别乘 ，再拆分，A ab()ab最后进行约分。 1()()()abab4. 等差数列求和法：（首项+末项）项数 和。25. 约分法简章：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式，从而简化计算过程。例 1 计算 17298拓展一 计算 435拓展二 计算 5(7)()9拓展三 计算 16420拓展四 计算 8拓展五 计算 5757(89)()61610例 2 计算 34拓展一 计算 189拓展二 计算 205154
15、309拓展三 计算 .671例 3 计算 25拓展一 计算 1147036拓展二 计算 134980拓展三 计算 591712拓展四 计算 2 例 4 计算 123拓展一 计算 4567865432188拓展二 计算 123697142535拓展三 计算 90091888拓展四 计算 782342462345679计算下面各题：1. 11119867989898092. 545753. 3320264. 1895. 178958419382196. .7. 03005.70.210.98. 249. 11234239 10. 3557911. 101012. 2913. 86.34825514
16、. 191319215. 0216. 3784717. 1919319312 18. 24619. 5 25(3)()()3()()916916913920. 41.2853.7421. 283567024822.已知 ，(1)(1)6nn求 1479523. 1()()()()23423423424. 3579132604225. 119871()()()()4239 26. 25)36060 27. 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去又余下的 ，依此类推，一直减到最后余下的 ，最后得多少？1981234198第二章 有关的分数应用题第一单元 单位“1”的妙用解答分数应用题，关键要通过分析数
17、量关系，弄清每一道题把什么看作单位“1” ，找出解题的数量关系式，再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。知识、规律、方法在解答时，有的分数应用题常常会出现几个不同的单位“1” ，一般都要经过分析，转化成统一的单位“1” ，然后进行解答。例 1甲、乙两数之和为 180，甲数的 等于乙数的 ，问甲、乙两数各是多少？1415拓展一 甲、乙两数相差 30，其中甲数的 与乙数的 相等，求这两个数的和是多少？30拓展二 上元水果店运来的苹果比橘子多 1 筐，其中苹果筐数的 与橘子筐数的 相同，上元水果店一共运来苹果3712和橘子多少筐？拓展三 学校有皮球和足球共 100 个，皮球个数的 比
18、足球个数的 多 16 个，学校有皮球和足球各多少个？310例 2某工厂的甲、乙、丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的 ，3乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的 ，已知丙车间捐款 180 元，这三个车间共捐5款多少元？拓展一 兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的 ，老三修了另外三13人总数的 ，老四修了 91 米，问这条路全长多少米？14拓展二 把一堆皮球分装在四个盒子中，其中 放入甲盒， 放入乙盒。放入丙盒的皮球是甲、乙两盒皮球总数的153，丁盒放入 10 个皮球，这堆皮球一共有多少个？3拓展三 有红黄两种颜色的小球共 140 个，拿出红
19、球的 ，再拿出 7 个黄球，剩下的红球和黄球正好一样多。原来4红球和黄球各有多少个？例 3把一批面粉分给三个工厂，甲厂先分得这批面粉的 ，乙厂分得余下的 ，最后丙厂2525分得 吨，这批面粉重多少吨？14.拓展一 某校四、五、六三个年级共有学生 618 人，其中五年级人数比四年级多 10%，六年级人数比五年级少10%，求各年级有学生多少人？拓展二 有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的 。如果从乙粮库调 6 吨粮食到甲粮库，甲粮库存7粮的吨数是乙粮库的 。原来甲、乙粮库各存粮多少吨？45拓展三 甲容器中装有一定数量的糖，乙容器中装有若干千克水，先从甲容器中取出 8 克糖放入乙容器中，
20、搅拌均匀后，又将乙容器中的糖水倒 30 千克到甲容器，搅拌均匀后，甲容器中糖水的质量分数为 40%，乙容器中糖水的质量分数为 20%，甲容器中应有糖多少克？检测、反馈、应用1某车间男工人数比女工人数多 ，女工人数比男工人数少（ ） 。352. 菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的 时，装满了 4 筐还多 36 千克，收完其余部分时，又刚好装满 8 筐，共收黄瓜8（ ）千克。3. 食堂运来一批大米，第一天吃了全部的 ，第二天吃了余下的 ，第三天吃了余下的 ，这时还剩下 15 千克。251334食堂运来大米（ ）千克。 、4. 甲有若干本书，乙借走了一半加 3 本，剩下的书，丙借走了 加 2 本，再剩下
21、的书，丁借走了 加 1 本，最后甲还有 2 本书。甲原来有（ ）本书。5. 小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条的一半是上坡路，一半是下坡路。小明上学时走两条路所用的时间一样，已知下坡的速度是平路的 倍，那么上坡的速度是平路速度的（ ）26. 有两堆棋子，A 堆有黑子 350 个和白子 500 个，B 堆有黑子 400 个和白子 100 个。为了使 A 堆中黑子占 50%，B堆中的黑子占 75%，要从 B 堆中拿到 A 堆黑子多少个？白子多少个？7. 甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货 1200 吨。当甲仓库的货物运走 ，乙仓库的货物运走 以后，再从甲仓库取71513出剩下货物的 1
22、0%放入乙仓库，这时，甲、乙两仓库的货物重量恰好相等。那么甲仓库原有存货多少吨？8. 同学们乘汽车外出春游。开始上第一辆汽车的同学比上第二辆汽车的同学多 8 人。后来调走 13 个同学上第二辆汽车，这时第一辆汽车上的同学的人数是第二辆汽车上同学人数的 。参加这次春游活动的同学一共有多少人？09. 某商店分别花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果。已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是元、 元、 元。如果把这三种糖果混合成什锦糖，按 20%的利润定价，那么这种什锦糖每千克定价多少9.6018元？10. 电影票原价每张若干元，现在每张降价 3 元出售，观众增加一半，收入增加 ，一张电影票原价
23、多少元？1511. 王师傅要加工一批零件，若每小时多加工 12 个零件，则所用的时间比原计划少 ；若每小时少加工 16 个零件，9则所用的时间比原来多 小时。这批零件共有多少个？3512. 金放在水里称，重量减轻 ；银放在水里称，重量减轻 。一块金银合金重 770 克，放在水里称，共减轻了 501910克。这块合金含金银各多少克？13. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相对开出，经 4 小时相遇，相遇后各自继续前进。又经过 3 小时，甲车到达 B地，乙车离 A 地还有 70 公里，求 A、B 两地相距多少公里？14. 二年级两个班共有学生 90 人，其中少先队员有 71 人，又知一班少先队员
24、占本班人数的 75%，二班的少先队员占本班人数的 ，求两个班各有多少人？5615. 张师傅做一种零件，第一天做了这批零件的 12.5%，第二天比第一天多做了 25%，第三天比第二天多做了 8 只，这时正好完成这批零件的一半，这批零件共有多少只？16. 兄弟三人，老大比老二的年龄大 20%，老二比老三的年龄大 20%，老大比老三的年龄在百分之几？17. 某工厂的 27 位师傅共带徒弟 40 名，每位师傅可以带一各徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带一名徒弟的师傅是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有多少位？18. 已知甲校学生数是乙校学生数的 40%，甲校女生数是甲校学生数的 30%，乙校男
25、生数是乙校学生数的 42%，那么两校女生总数占两校学生总数的百分比是多少？19. 某商店到橘子产地去收购橘子，收购价为每千克 1.20 元，从产地到商店距离 400 千米，运费为每吨货物每运 1 千米收 1.50 元，如果不计损耗,商店要实现 25%的利润，每千克橘子零售价应是多少元？20. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多,并且都只有黑白两种棋子。第一堆里的黑子数与第二堆里的白子数一样多，第三堆里的黑子数为全部黑子的 ，把三堆棋子集中在一起，白子为全部棋子的几分之几？2521. 纸箱中有若干个乒乓球，其中 是一级品， （ 为正整数）是二级品，其余的 91 个是三级品。共有多少个乒145n乓球？第
26、二单元 工程问题工程应用题中的工作(或工作 )一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工程看作单位 “1”，再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率。一般要用到下面三个关系式：工作量=工作效率工作时间，工作时间=工作量工作效率，工作效率=工作量工作时间。在解答时要注意以下几点。1 有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。2 涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答。3 对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作
27、时间。例 1 打印一份稿件，甲单独打 4 小时打了这份稿件的 ，乙接着又打了 2 小时，打了这份稿件的 ，剩余的甲、13 14乙共同打，还需几小时？拓展一 一件工作，甲单独做要 20 天完成，乙单独做要 12 天完成。这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了 14 天，问甲、乙两人各做了多少天？拓展二 一件工作，若单独完成，甲需 10 小时，已需 15 小时，丙需 20 小时。现由三人合做，中途甲因故停工几小时，结果 6 小时才将工作完成。问甲停工几小时？拓展三 有甲、乙两人合做一项工程，需 天完成。若甲一人独做 8 天后，再由乙独做 10 天完工，问甲、乙单独做89各需
28、几天完工？拓展四 一个水池，甲、乙两管同时开，5 小时灌满，乙、丙两管同时开，4 小时灌满。如果乙管先开 6 小时，还需要甲、丙两管同时 2 小时才能灌满（这时乙管关闭） ，那么乙管单独开灌满水池需要多少小时？例 2 修一段公路，甲队单独做要 40 天，乙队单独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果距中点 750 米处相遇，这段公路长多少米？拓展一 甲、乙两人同时共同加工一批零件。完成任务时甲做了全部零件的 。已知乙每小时加工 12 个零件，甲单独58加工完成这批零件要 12 小时，这批零件有多少个？拓展二 有一批零件，甲单独做要用 天，比乙单独做多用了 天。现两人合作 4 天后，剩下 210 个零件由甲单独18212去做，自始至终甲共做了多少个零件？拓展三 栽一批黄瓜，兄弟二人合栽 8 小时完成。现哥哥先栽了 3 小时后弟弟又独栽了一小时，还剩总棵数的 没有16栽。已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽 7 棵，这块地共栽黄瓜多少棵？例 3 一项工程，甲单独做需 12 小时，乙单独做需 18 小时，若甲先做 1 小时，然后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时两人如此交替工作，问完成任务时共用多少个小时？拓展一 一项工程，甲单独做 6 小时完成，乙单独做 10 小时完成，如果按甲、乙、甲、乙的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少个小时完成？
