1、1函数导数任意性和存在性问题探究导学语函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术” ，若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略” ，因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下：题型分类解析 一单一函数单一“任意”型战略思想一：“ ， 恒成立”等价于“当 时，xA()afxxA”；ma()f“ ， 恒成立”等价于“当 时， ”.()f min()afx例 1 ：已知二次函数 ，若 时，恒有 ，求实数 a 的取值范围.2fxa0,1x|()|1fx解： ，
2、；即 ；|()|fx12a当 时，不等式显然成立，aR.0当 时，由 得： ，2xax2211xx而 ， . 又 ， ，min21()x0ma(),0a综上得 a 的范围是 . 2,二单一函数单一“存在”型战略思想二：“ ，使得 成立”等价于“当 时，xA()afxxA”；min()af“ ，使得 成立”等价于“当 时， ”.()f max()f例 2. 已知函数 ( )，若存在 ，使得 成立，求实数2()lnfxaxR1,xe2fx的取值范围.a解析： )l(2.()2)fx ， x1ln且等号不能同时取，所以 xln，即 0lnx，1,e因而 xal2， ，,e令 gln)(2,1，又 2
3、)ln(1)(xxg ，af(x)上f(x)上af(x)上f(x)上2当 ,1ex时， 1ln,0x， 0ln2x，从而 )(g（仅当 x=1 时取等号） ，所以 )(g在 ,1e上为增函数，故 的最小值为 )(g，所以 a 的取值范围是 )三单一函数双“任意”型战略思想三： ，都有 分别是xR12“()()“fxfx12(),fx的最小值和最大值， min 是同时出现最大值和最小值的最短区间.()fx2|例 3. 已知函数 ，若对 ，都有 成立，则()sin()5fxxR12“()()“fxfx的最小值为_.12|x解 对任意 xR，不等式 恒成立，12()()fxfx 分别是 的最小值和最
4、大值.12(),f对于函数 ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 ，即半个周期.sinyx又函数 的周期为 4， 的最小值为 2.()()25f12|x战略思想四： 成立,21Ax1212()“(“fff在 A 上是上凸函数)f 0xf例 4. 在 这四个函数中，当 时，使22,log,cosyxxy12x恒成立的函数的个数是( )121()“(“fffA.0 B.1 C.2 D.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件 的函数，应是凸函1212()“(“xfxff数的性质，画草图即知 符合题意；2logyx战略思想五： 成立 在 A 上是增函数,21A12()“0“ff()fx例
5、5 已知函数 定义域为 ， ，若 ， 时，都有()fx,()f,1,mn0n，若 对所有 ， 恒成立，求实数 取值范围.()“0“fmfn21taxat解：任取 ，则 ，12x121212()()()fffxf xxyx12y xOf(x1)f(x2)x123由已知 ，又 ， ，12()0fxf120x12()0fxf即 在 上为增函数.()f, ， ，恒有 ；11,x()1fx要使 对所有 ， 恒成立，2()fta,a即要 恒成立，故 恒成立，2t20t令 ，只须 且 ，2()gat(1)g()解得 或 或 .t0t战略思想六： （ 为常数）成立 t=,21Axtxff|)(|21 mina
6、x)()(ff例 6. 已知函数 ，则对任意 （ ）都有 恒43()f1,212t|21t成立，当且仅当 =_， =_时取等号.1t2t解：因为 恒成立，maxin|()|()()|fxfff由 ，431,2易求得 ， ，max7()()6ffmin15()()26fxf .12|战略思想七： ,1Ax|)(| 2121xtxfftf|)(|21 )0(t|f例 7. 已知函数 满足：(1)定义域为 ；(2)方程 至少有两个实根 和 ；()yfx1,(fx1(3)过 图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于 1.()fx(1)证明: ； (2)证明：对任意 ，都有 .|0|1f12,x12|()
7、|fxf证明 (1)略；(2)由条件(2) 知 ，()0ff不妨设 ，由(3)知 ，12x12121|()|fxfxx又 12 2|()|()|()|()|fff fff4；122112()|()|xxfxf12|()|fxf例 8. 已知函数 ，对于 时总有3fab12123,(0,)x成立，求实数 的范围.1212|()|fxfxa解 由 ，得 ，3(ab 2()3fx当 时， ， ，0,)x1fa1212|()|ffx ， 12(|ff0a评注 由导数的几何意义知道，函数 图像上任意两点 连线的斜率()yfx12(,)(,)PxyQ的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话) 的
8、范围，利用这个结论，212(ykx可以解决形如 |或 (m0)型的不等式恒成立问题.1212|ffxmx1212()|ffxmx四双函数“任意”+“存在”型： 战略思想八： ，使得 成立 ；12,AB12()fginmin()()fg，使得 成立 .12,x12()fxaxax()()f例 9已知函数 ， ，若存在 ，对任意 ，()5lnfx2()4gmx1(0,)21,总有 成立，求实数 m 的取值范围.12()fxg解析：题意等价于 在 上的最大值大于或等于 在 上的最大值.()f0,1()g,2，由 得， 或 ，25()fxx2x当 时， ，当 时 ，10,()f(,)(0f所以在（0，
9、1）上， .max135ln2ff又 在 上的最大值为 ，所以有()gx,2(),g5，1 85ln2()35ln22 18()mfg 85ln2m所以实数 的取值范围是 .ml战略思想九：“ ， ，使得 成立”1xA2B12()fxg“ 的值域包含于 的值域”.()f例 10设函数 325()4fxx（1）求 的单调区间（2）设 ，函数 若对于任意 ，总存在 ，使得a 32()ga10,x0,1x成立，求 的取值范围10()fx解析：（1） ，令 ，即 ，解得： ， 25()3fxx()fx 253 53 的单增区间为 ；单调减区间为 和 . ()fx,15,1,)（2）由（1）可知当 时，
10、 单调递增， 当 时， ，0x()fx 0x()0,(1)fxf即 ；()4,3f又 ，且 ， 当 时， ， 单调递减， 2gxa1 0,1()g ()当 时， ，即 ， 0,1(),()g2()31,xaa又对于任意 ，总存在 ，,0x使得 成立 ， 10()fx4,32,即 ，解得： 23a 1a 例 11已知函数 ;()ln()fxRx(1) 当 时，讨论 的单调性；12a（2）设 ，当 时，若对 ， ,使 ，求实()4gxb1a1(0,2)x1x12()fxg数 的取值范围；b解：（1） （解答过程略去，只给出结论）当 a0 时，函数 f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+ ）上单
11、调递增；当 a= 时，函数 f(x)在（0， +）上单调递减；2f(x)上f(x)上g(x)上g(x)上6当 00,此时与（）矛盾； 当 b1,2时, 因为g(x) min=4b 20，同样与（ ）矛盾； 当 b（2，+）时，因为g(x) min=g(2)=84b.解不等式 84b ，可得 b .187综上，b 的取值范围是 ,+).五双函数“任意”+“任意”型战略思想十： ，使得 成立12,xAB12()fxgminax()()fxg例 12.已知函数 ，若对任意349(),cf ，都有 ，求 的范围.12,x12()xgc解：因为对任意的 ，都有 成立，,12()fxg ， ，maxin(
12、)()f 2()3f令 得 x3 或 x-1 ； 得 ；0,1()0f3x 在 为增函数，在 为减函数.()fx2,2 ， . ， .13,()6fmax()f1832c24例 13已知两个函数 ;2381,()5,3,kgxxkR7(1) 若对 ,都有 成立，求实数 的取值范围；3x()fxgk(2) 若 ,使得 成立，求实数 的取值范围；(3) 若对 ,都有 成立，求实数 的取值范围；12x12()fxk解：（1）设 ,（1）中的问题可转化为：3()hgx时， 恒成立，即 .3,x0xmin()0h； 2()616(2)1x当 变化时， 的变化情况列表如下：x(),hx-3 (-3,-1)
13、 -1 (-1,2) 2 (2,3) 3(x)+ 0 0 +h(x) k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k-9因为 ,所以，由上表可知 ，(1)7,(2)hkhkmin()45hxk故 k-450，得 k45,即 k 45,+).小结：对于闭区间 I，不等式 f(x)k 对 xI 时恒成立 f(x)mink, xI. 此题常见的错误解法：由f(x) maxg(x) min 解出 k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)maxg(x) min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.（2）根据题意可知， （2）中的问题等价于 h(x)= g(x)f(x) 0 在
14、 x-3,3时有解,故h(x) max0.由（1）可知h(x) max= k+7，因此 k+70，即 k7,+).(3)根据题意可知， （3）中的问题等价于f(x) maxg(x) min，x-3,3.由二次函数的图像和性质可得, x-3,3时, f(x) max=120 k.仿照（1） ，利用导数的方法可求得 x-3,3时, g(x) min=21.由 120k21 得 k141,即 k141,+).说明：这里的 x1,x2 是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“ x”恒成立，还是“ x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两
15、个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.六双函数“存在”+“存在”型战略思想十一： ，使得 成立12,xAB12()fxgf(x)g(x)f(x)g(x)y xy图2图1O Oab bax8；minax()()fxg，使得 成立 .12,AB12()fxgmaxin()()fg例 14已知函数 ， .若存在 10,2， 1,x，3()ln4f4b使 ，求实数 b取值范围.12()fxg解析： ，221(1)()xfx在 上单调递增，在 上单调递减， .f0,(,)min1()()2fxf依题意有 ，所以 .又 ，minax()()fxgmax12g4gb从
16、而 ,解得 .21)(87b战略思想十二：“ ，使得 成立”等价于12,xAB12()fxg“ 的值域与 的值域相交非空”. ()f()g例 15已知函数 ， .是否存在实数 ，存32()(1)()fxaxxaR19()63gxa在 ， ，使得 成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，1,x20, 12fga说明理由.解析：在 上 是增函数，故对于 ， .,1963gx0,x1,63gx设 ，22hxfaa当 时， , .1,)(xh1-5-要存 在 ， 使得 成立，x2,012hxg只要 , 32-a5-a6,3考虑反面， , 2,则 或 6 ，解得 或 ，2153a31-2a57135713a从而所求为 .7579
