1、1函数奇偶性与单调性的综合应用 专题【寄语:亲爱的孩子,将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己!】教学目标:1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质;.2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质;3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性.教学重难点:函数单调性的证明;根据单调性或奇偶性分析函数的性质.【复习旧识】1.函数单调性的概念是什么?如何证明一个函数的单调性?2.函数奇偶性的概念是什么?如何证明一个函数的奇偶性?3.奇函数在关于原点对称的区间上,其单调性有何特点?偶函数呢?【新课讲解】一、常考题型1.根据奇偶性与单调性,比较两个或多个函数值的大小;2.当题目中出
2、现“ 0(或0)”或“ 0(或0)”时,往往21)(xff)(xf还是考察单调性;3.证明或判断某一函数的单调性;4.证明或判断某一函数的奇偶性;25.根据奇偶性与单调性,解某一函数不等式(有时是“ 0(或0)”时 的取)(xf x值范围);6.确定函数解析式或定义域中某一未知数(参数)的取值范围.二、常用解题方法1.画简图(草图),利用数形结合;2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化;3.证明或判断函数的单调性时,有时需要分类讨论.三、误区1.函数的奇偶性是函数的整体性质,与区间无关;2.判断函数奇偶性,应首先判断其定义域是否关于原点对称;3.奇函数若在“ ”处有定义,必有“ ”;0x0)(
3、f4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质,因题而异;5.运用单调性解不等式时,应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制.四、函数单调性证明的步骤:(1) 根据题意在区间上设 ;(2) 比较大小 ;(3) 下结论 .函数奇偶性证明的步骤:(1)考察函数的定义域 ;(2)计算 的解析式,并考察其与 的解析式的关系;(3)下结论 .【典型例题】例 1 设 是定义在(,)上的偶函数,且它在0,)上单调递增,)xf若 , , ,则 , , 的大小关系是( )a3(log2b)1(log3fc)(fabc3A Bcba acbC D 【考点】函数单调性;函数奇偶性,对数函数的性质.【解析】 因为
4、log f(1),那么 x 的取值范围是( )A( ,1) B(0, )(1,)110 110C( ,10) D(0,1)(10,)1103.下列函数中既是奇函数,又在定义域上是增函数的是( )A y3 x1 B f(x) 1C y1 D f(x) x34.如图是偶函数 y f(x)的局部图像,根据图像所给信息,下列结论正确的是( )6A f(1) f(2)0 B f(1) f(2)0C f(1) f(2)b0,给出下列不等式: f(b) f( a)g(a) g( b); f(b) f( a)g(b) g( a); f(a) f( b) f(3)f(2) B f() f(2) f(3)C f(
5、)0,则21)(x一定正确的是( )A f(3)f(5) B f(5) f(3)C f(5) f(3) D f(3) f(5)8定义在 R 上的偶函数 f(x)在0,)上是增函数,若 f(a)bC| a|b09.若偶函数 f(x)在(,0)内单调递减,则不等式 f(1)0 的解集;(2)已知偶函数 f(x)(xR),当 x0 时, f(x) x(5 x)1,求 f(x)在 R 上的解析式16.(本小题满分 12 分)设函数 y f(x)的定义域为 R,并且满足 f(x y) f(x) f(y), f 1,当 x0 时, f(x)0.)( 3(1)求 f(0)的值;(2)判断函数的奇偶性;(3)如果 f(x) f(2 x)b0, f(a)f(b), g(a)g(b) f(b) f( a) f(b) f(a) g(b) g(a)g(a) g(b) g(a) g( b),成立又 g(b) g( a) g(b) g(a),成立10.答案 15 11.答案 (,)解析 若 a0, f(x)在0,)上是减函数,且 f(),即|m|,两边平方,得 m0,即 f(4x5) f(0),又 f(x)为增函数,4 x50, x .54即不等式 f(4x5)0 的解集为 .x|x54